Решение физических задач методами


Скачать 136.2 Kb.
НазваниеРешение физических задач методами
Дата публикации28.01.2014
Размер136.2 Kb.
ТипРешение
referatdb.ru > Физика > Решение
Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»






УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
__________________ И.В. Семченко

(подпись)
_________________

(дата утверждения)
Регистрационный № УД-_______/баз.



РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учебная программа для специальности

1-31 04 01 Физика (по направлениям)

1-31 04 01-02 (управленческая деятельность)

специализации

1-31 04 01-02 16 Компьютерное моделирование физических процессов

2010
СОСТАВИТЕЛЬ:

Е.А. Дей – доцент кафедры теоретической физики УО «ГГУ им. Ф.Скорины», кандидат физико-математических наук, доцент.


РЕЦЕНЗЕНТЫ:
П.В. Астахов − начальник кафедры естественных наук Гомельского инженерного института МЧС РБ, кандидат физико-математических наук, доцент
^ Ю.В. Никитюк – заместитель декана физического факультета УО «Гомельский государственный университет», кандидат физико-математических наук


РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:
Кафедрой теоретической физики УО «ГГУ им. Ф.Скорины»
(протокол № ___ от _________________ 2010);

^

Методическим советом физического факультета



(протокол № ___ от _________________ 2010);


Ответственный за редакцию: Е.А. Дей

Ответственный за выпуск: Е.А. Дей


^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Внедрение в учебный процесс персональных ЭВМ, обладающих высокими вычислительными и графическими возможностями, позволяет соединить, с одной стороны, этап теоретического анализа при постановке и решении физической задачи с возможностью численного и графического исследования результатов и, с другой стороны, ввести в рассмотрение ряд задач, представляющих несомненный физический и теоретический интерес, но не имеющих аналитического решения. С развитием вычислительной техники персональный компьютер во все большей мере становится рабочим инструментом физика.

Целью преподавания дисциплины является фоpмиpование у студентов современных представлений о методах численного решения уравнений в частных производных, формирование навыков исследования на этой основе физических пpоцессов и систем методами вычислительного эксперимента.

Основными задачами спецкурса являются: формирование у студентов понимания математических основ компьютеpного моделиpования, знания основных соотношений метода конечных разностей и метода конечных элементов, особенностей применения этих методов для решения физических задач; овладение методами программной реализации расчетных соотношений и проведения численных исследований при решении конкретных физических задач; приобретение навыков компьютерного моделиpования физических полей на основе численного pешения уpавнений в частных пpоизводных.

В первой части дисциплины излагаются методы построения компьютерных моделей систем с распределенными параметрами на основе уравнений в частных производных, алгоритмы численного pешения уpавнений в частных пpоизводных методом конечных pазностей. Вторая часть курса посвящена изучению, и практическому применению метода конечных элементов, который в настоящее время является одним из самых распространенных методов решения прикладных задач. Метод конечных элементов рассматривается в формулировке Галеркина.

Отличительной особенностью курса является его синтетическая направленность, так как при решении каждой задачи в компьютерной модели применяются знания по физике, численным методам и работе с прикладными пакетами компьютерных вычислений.

Предполагается, что реализация численных методов будет проводиться в вычислительной среде Mathcad, позволяющей с минимальными затратами времени реализовать вычислительные алгоритмы и, таким образом, в большей степени сосредоточить внимание на изучении их качественных свойств, а также выполнить подробное численного и графическое исследование физических задач.

В целом содержание данного спецкурса создает необходимую математическую, алгоритмическую и практическую базу для последующего выполнения студентами курсовых и дипломных работ, связанных с компьютерным решением физических задач.

В результате изучения спецкурса студент должен знать:

- постановку краевых задач для одномерных и двумерных уравнений теплопроводности, колебаний, Шредингера, Пуассона;

- способы получения конечно-разностных производных;

- методы перехода к системе конечно-разностных соотношений;

- методы численного решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей;

- итерационные методы решения разреженных систем линейных уравнений;

- функции формы одномерных и двумерных конечных элементов;

- методы получения системы линейных уравнений с применением конечных элементов;

Студент должен уметь:

- формулировать математическую модель физической задачи по словесному условию;

- выполнять конечно-разностную или конечно-элементную аппроксимацию уравнений в частных производных;

- выполнять программную реализацию численного решения в системе Mathcad;

- проводить графическое исследование результатов.

При построении и исследовании компьютерных моделей физических процессов и систем используются знания, полученные при изучении предыдущих общих курсов и спецкурсов: «Теоретическая механика», «Программирование и математическое моделирование», «Методы математической физики», «Численные методы».

Дисциплина «Методы конечных разностей и конечных элементов в компьютерном моделировании» изучается студентами 4 курса специальности 1-31 04 01 «Физика (по направлениям) 1-31 04 01-02 (управленческая деятельность) со специализацией 1-31 04 01-02 17 «Компьютерное моделирование физических процессов».

Общее количество часов – 138; аудиторных часов – 70, из них: лекции – 20, практические занятия – 10, лабораторные занятия – 40 часов, самостоятельная управляемая работа студентов – 6 часов. Форма отчетности – зачет.


^ ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН




п/п


Название темы

Лекции

Практи-ческие

Лабора-торные занятия


Всего


СУРС

1

Постановка краевых задач для основных уравнений в частных производных

2







2




2

Конечно-разностные производные

2




2

4

2

3

Численное решение граничной задачи для ОДУ-2 методом конечных разностей

2

2

4

8




4

Явные и неявные конечно-разностные схемы для одномерных нестационарных УЧП

2

2

8

12




5

Решение уравнения Пуассона на плоскости методом конечных разностей

2

2

6

10




6

Метод дробных шагов для решения двумерных нестационарных УЧП

2




4

6




7

Численное решение уравнения Шредингера методом конечных разностей

2

2

6

10




8

Функции формы одно-мерных и двумерных конечных элементов

2

2

2

6




9

Решение одномерной граничной задачи мето-дом конечных эле-ментов

2




2

4

2

10

Решение уравнения Пуассона на плоскости методом конечных элементов

2




6

8

2




Всего часов

20

10

40

70

6


^ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
РАЗДЕЛ 1. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
^ Тема 1. Постановка краевых задач для основных уравнений в частных производных

Краевые задачи для уравнений в частных производных. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Варианты граничных условий. Уравнение малых продольных колебаний стержня. Варианты граничных условий. Одномерная граничная задача как стационарный предел нестационарных уравнений. Уравнения колебаний и теплопроводности на плоскости и в пространстве. Типы краевых задач для уравнения Пуассона. Краевые задачи для уравнения Шредингера. Система безразмерных единиц для уравнения Шредингера.
^ Тема 2. Конечно-разностные производные

Основные этапы МКР. Вывод первых конечно-разностных производных. Вывод второй конечно-разностной производной. Оценка погрешности конечно-разностной аппроксимации производных. Получение формул для конечно-разностных производных методом неопределенных коэффициентов.
^ Тема 3. Численное решение граничной задачи для ОДУ-2 методом

конечных разностей

Общая постановка граничной задачи для ОДУ-2. Получение системы линейных уравнений в методе конечных разностей. Общая структура системы линейных уравнений. Основное соотношение метода прогонки. Прямой и обратный ход метода прогонки. Программная реализация метода прогонки в среде Mathcad.
^ Тема 4. Явные и неявные конечно-разностные схемы для

одномерных нестационарных УЧП

Пространственно-временная сетка для нестационарной задачи. Представление частных производных в конечно-разностном виде. Явная схема для одномерного уравнения теплопроводности. Учет граничных условий. Учет начальных условий. Программная реализация вычислений по явной схеме. Явная схема для одномерного уравнения колебаний. Решение тестовых задач с применением явной разностной схемы.

Неявные конечно-разностные схемы. Схема Кранка-Николсона. Система сеточных уравнений. Метод прогонки на каждом временном шаге. Программная реализация вычислений.

Сходимость и устойчивость разностных схем. Спектральный метод исследования устойчивости. Условия устойчивости для явных конечно-разностных схем.
^ Тема 5. Решение уравнения Пуассона на плоскости методом

конечных разностей

Решение задачи Дирихле для прямоугольной области. Получение системы конечно-разностных уравнений. Программная реализация вычислений. Варианты метода итераций решения системы уравнений. Метод верхней релаксации. Учет границ произвольной формы. Решение уравнения Пуассона для систем с аксиальной симметрией.
^ Тема 6. Метод дробных шагов для решения двумерных

нестационарных УЧП

Постановка задачи. Недостатки явных и неявных конечно-разностных схем для двумерных нестационарных задач. Метод расщепления. Расчетные формулы первого полушага по времени. Расчетные формулы второго полушага по времени. Способы организации вычислений и данных для многомерных нестационарных уравнений в частных производных.
^ Тема 7. Численное решение уравнения Шредингера методом

конечных разностей

Численное решение одномерного стационарного уравнения Шредингера. Численное решение двумерного стационарного уравнения Шредингера. Методы численного решения одномерного нестационарного уравнения Шредингера. Численное решение двумерного нестационарного уравнения Шредингера. Программная реализация вычислений.


^ РАЗДЕЛ 2. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Тема 1. Функции формы одномерных и двумерных конечных

элементов

Непрерывные функции и КЭ. Классификация КЭ. Интерполяция Лагранжа и одномерные конечные элементы. Линейные и квадратичные одномерные конечные элементы. Основные свойства функций формы конечных элементов. Структура данных для конечных элементов на плоскости. Функции формы билинейных прямоугольных конечных элементов. Разбиение плоской области на треугольные элементы. Функции формы линейных треугольных конечных элементов. Дифференцирование и интегрирование функций формы.
^ Тема 2. Решение одномерной граничной задачи методом

конечных элементов

Формулировка метода взвешенных невязок. Частные случаи реализации метода взвешенных невязок. Метод Галеркина по системе конечных элементов. Решение граничных задач МКЭ в формулировке Галеркина. Программная реализация вычислений. Применение одномерных КЭ высших порядков.
^ Тема 3. Решение уравнения Пуассона на плоскости методом

конечных элементов

Слабая формулировка метода Галеркина на плоскости. Получение системы линейных уравнений и построение глобальной матрицы жесткости в методе конечных элементов. Учет граничных условий первого, второго и третьего рода. Применение прямоугольных конечных элементов. Применение треугольных конечных элементов. Программная реализация вычислений.



^ ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Примерный перечень практических занятий
1. Программная реализация метода прогонки

2. Исследование устойчивости конечно-разностных схем для нестационарных УЧП.

3. Программная реализация решения уравнения Пуассона методом конечных разностей.

4. Программная реализация решения уравнения Шредингера методом конечных разностей.

5. Функции формы одномерных и двумерных конечных элементов

Примерный перечень лабораторных занятий
1. Численное исследование конечно-разностных производных

2. Разработка и отладка программного блока по методу прогонки

3. Численное решение граничной задачи для ОДУ-2 методом конечных разностей

4. Решение одномерного уравнения колебаний по явной конечно-разностной схеме

5. Решение одномерного уравнения теплопроводности по явной конечно-разностной схеме

6. Решение одномерного уравнения теплопроводности методом Кранка-Николсона

7. Численное решение физических задач на основе уравнений колебаний и теплопроводности

8. Разработка и отладка программного блока для решения уравнения Пуассона методом конечных разностей

9. Исследование эффективности метода ускоренной верхней релаксации

10. Численное решение физических задач на основе уравнения Пуассона

11. Разработка и отладка программного блока для решения уравнений теплопроводности и колебаний на плоскости

12. Численное решение физических задач для уравнений теплопроводности и колебаний на плоскости.

13. Решение одномерного стационарного уравнения Шредингера методом конечных разностей.

14. Решение одномерного нестационарного уравнения Шредингера методом конечных разностей.

15. Решение двумерного стационарного уравнения Шредингера методом конечных разностей.

16. Графическое исследование функций формы одномерных и двумерных конечных элементов

17. Решение одномерной граничной задачи методом конечных элементов

18. Разработка и отладка программного блока для решения уравнения Пуассона на плоскости методом конечных элементов

19. Разработка и отладка программного блока для решения уравнения Пуассона в цилиндрических координатах

19. Решение физических задач для стационарных систем методом конечных элементов

Рекомендуемые формы контроля знаний
1. Текущий опрос на практических занятиях

2. Защита отчетов по лабораторных работам

^ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ:


  1. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин – М.: Наука, 1978. – 512 с.

  2. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский – М.: Наука, 1971. – 288 с.

  3. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд – М.: Мир, 1979. – 392 с.

  4. Поттер, Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер – М.: Мир, 1975. – 392 с.

  5. Годунов, С. К. Разностные схемы / С.К. Годунов, В.С. Рябенький – М.: Наука, 1977. – 439 с.

  6. Гулд, Х. Компьютерное моделирование в физике. Часть 1. / Х. Гулд, Я. Тобочник – М.: Мир, 1990. – 349 с.

  7. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в при­мерах и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон – М.: Наука, 1972. – 367 с.

  8. Демидович, Б.П. Основы вычислительной матема­тики / Б.П. Демидович, И.А. Марон – М.: Наука, 1966. – 664 с.

  9. Дульнев, Г.Н. и др. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г.Н. Дульнев и др. – М.: Высшая школа, 1990. – 207 с.

  10. Жаблон, К. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике / К. Жаблон, Ж.-К. Симон – М.: Наука, 1983. – 235 с.

  11. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич – М.: Мир, 1975. – 541 с.



ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ


  1. Сильвестер, П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари – М.: Мир, 1986. – 229 с.

  2. Тихонов, А.H. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский – М.: Наука, 1972. – 735 с.

  3. Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров / С. Фарлоу – М.: Мир, 1985. – 383 с.

  4. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп – М.: Мир, 1982. – 238 с.

Похожие рефераты:

Решение физических задач методами

Цель курса: Состоит в изложении основных закономерностей электромагнитных...
Задачи изучения: ознакомить с основными методами наблюдения и экспериментального исследования электромагнитных явлений, с главными...
Решение многих конкретных задач методами волновой оптики чрезвычайно сложно. В
Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 23 августа 2007 г. №138
Решение задач линейного программирования. Практическая работа №2
Решение задач оптимизации с использованием Microsoft Excel. Решение задач линейного программирования
Методические указания к практическим работам Содержание Практическая работа №1
Решение задач оптимизации с использованием Microsoft Excel. Решение задач линейного программирования
Урок физики в 11 класса Решение задач по теме «Дифракция света»
Методы работы учителя и учащихся: демонстрационный эксперимент, беседа в сочетании с фронтальным экспериментом, решение задач
Урок физики и русского языка на тему: «Деепричастие. Решение физических задач»
Цели: Систематизировать знания о деепричастии и деепричастном обороте; систематизировать знания по теме: Физические явления
«Моделирование и решение физических задач с помощью таблиц excel»
...
Решение задач по образцу с применением не более двух формул, правил,...
Показатели оценки результатов учебной деятельности учащихся при осуществлении контроля с использованием десятибалльной шкалы
Доказательства теорем и решение задач
Однако осуществление таких действий вслепую не считается решением задач, поскольку решение должно сопровождаться некоторым процессом...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза