1 Неопределенный интеграл


Название1 Неопределенный интеграл
страница1/3
Дата публикации26.11.2013
Размер0.59 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Информатика > Документы
  1   2   3
Тема 1 Неопределенный интеграл
Практическое занятие 1 Первообразная и неопределенный интеграл
1.1 Определение первообразной функции

1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

1.3 Основные свойства неопределенного интеграла

1.4 Таблица неопределенных интегралов
1.1 Определение первообразной функции

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции . В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции требуется найти такую функцию , что .

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции по известной производной или дифференциалу этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Функция , , называется первообразной для функции на множестве , если она дифференцируема для любого и имеет место соотношение:

или .

Любая непрерывная на множестве функция имеет на этом отрезке первообразную .

Если – некоторая первообразная функции на множестве , то все первообразные этой функции определяются выражением

,

где – произвольная постоянная.
^ 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Операция отыскания первообразной функции называется интегрированием.

Совокупность всех первообразных функции на множестве называется неопределенным интегралом и обозначается

.

Выражение называется подынтегральным выражением, подынтегральной функцией, переменной интегрирования, а постоянной интегрирования.

Неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых ( – параметр), обладающих следующим свойством: все касательные к кривым в точках с абсциссой параллельны между собой:

.

На рисунке 1.1 изображен неопределенный интеграл от функции :

,

который представляет собой семейство парабол .



Рисунок 1.1 – Интегральные кривые

Кривые семейства называются интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси .
^ 1.3 Основные свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает свойствами:

– производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

,

;

– неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

;

– постоянный множитель , , можно выносить за знак неопределенного интеграла:

;

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

;

(инвариантность формул интегрирования) любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

или ,

где – дифференцируемая функция.

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответствующих формул дифференцирования.
1.4 Таблица неопределенных интегралов

Каждая из нижеследующих формул верна на каждом промежутке, принадлежащем области определения подынтегральной функции:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. , , .

  8. , , .

  9. .

  10. .

  11. .

  12. .

  13. , .

  14. , .

  15. , , .

  16. , , .

  17. ,

  18. ,

Некоторые из приведенных формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Если первообразная функция является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях или функция интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в элементарных функциях. Используя основные правила интегрирования, можно находить интегралы от более сложных функций.

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.
^ Вопросы для самоконтроля
1 Сформулируйте определение первообразной функции и перечислите свойства первообразной.

2 Приведите примеры функций, имеющих и не имеющих первообразных.

3 Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции .

4 Имеет ли функция



первообразную?

5 Найдите первообразную для функции , которая в точке принимает значение, равное 10.

6 Известно, что две первообразные для функции в точке отличаются на 2. На сколько отличаются эти же первообразные в точке ?

7 График какой первообразной для функции проходит через точку с координатами ?

8 Сформулируйте определение неопределенного интеграла.

9 В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

10 Перечислите свойства неопределенного интеграла.
^ Решение типовых примеров
1 Используя основные свойства неопределенного интеграла, вычислить интегралы:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) и) .

Решение. а) имеем:

.

б) имеем:

.

в) имеем

.

г) имеем:







.

д) имеем:



.

е) имеем:

.

ж) имеем:

.

и) имеем:



.
^ Задания для аудиторной работы
1 Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов, вычислить следующие неопределенные интегралы:

а) ; ж) ;

б) ; и) ;

в) ; к) ;

г) ; л) ;

д) ; м) ;

е) ; н) .

^ 2 Доказать, что функция не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку .


Задания для домашней работы
1 Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов, вычислить следующие неопределенные интегралы:

а) ; и) ;

б) ; к) ;

в) ; л) ;

г) ; м) ;

д) ; н) ;

е) ; о) ;

ж) ; п)
Практическое занятие 2 Общие методы интегрирования
2.1 Непосредственное интегрирование

2.2 Метод замены переменной (подстановка)

2.3 Метод интегрирования по частям
^ 2.1 Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.
^ 2.2 Метод замены переменной (подстановка)

Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным.

Теорема 1 Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве . И пусть множество значений функции , на котором определена функция . Тогда если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула замены переменной:

. (2.1)

Суть метода замены переменной состоит в том, что в интеграле переменную заменяют переменной по формуле , учитывая .

Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала. По определению дифференциала функции имеем . Переход от левой части этого равенства к правой называют «подведением» множителя под знак дифференциала. Пусть требуется найти интеграл вида

.

Внесем в этом интеграле множитель под знак дифференциала, а затем выполним подстановку

.

Если интеграл – табличный, его вычисляют непосредственным интегрированием.
^ 2.3 Метод интегрирования по частям

Вычисление некоторых типов неопределенных интегралов основывается на теореме 2.

Теорема 2 Пусть функции и две дифференцируемые функции переменной на промежутке . И пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет производную и справедлива формула интегрирования по частям:

. (2.2)

С помощью формулы интегрирования по частям отыскание интеграла сводится к вычислению другого интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл более прост для вычисления, чем исходный.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы:

, , , где – многочлен степени , , . Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить и применить формулу интегрирования по частям раз;

, , , , , где – многочлен степени  , . Данные интегралы вычисляются по частям, принимая за функцию, являющуюся множителем при ;

, , где , . Они вычисляются двукратным интегрированием по частям и решением уравнения относительно искомого интеграла.
  1   2   3

Похожие рефераты:

Неопределённый интеграл
А2Вычислить интеграл, применяя метод введения нового аргумента.1 ; 2
Методические указания для выполнения заданий для самостоятельного...
Е задания для срс 3 состоят из следующих частей: неопределенный интеграл, определенный интеграл, несобственные интегралы, приложения...
Первообразная и неопределенный интеграл
Определение: Функция F(X) называется первообразной функцией  функции f(X) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Задания по алгебре и началам анализа для 11 класса учащихся экстернатной группы
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица первообразных. Свойства неопределенного интеграла
Открытое акционерное общество «интеграл»-управляющая компания холдинга...

Неопределённый интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции. Многие задачи физики, механики,...
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза