Тема: Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным


Скачать 68.25 Kb.
НазваниеТема: Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным
Дата публикации17.09.2013
Размер68.25 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
Жук Е.В.

Тема: Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

Цели урока:

  • расширение знаний учащихся по теме;

  • развитие общего кругозора, внимания, памяти;

  • повышение интереса к предмету;

  • воспитание умения общаться, общей культуре

Высказывание записанное на доске:

«Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.»

Госер

Ход урока
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы», и тема факультативного занятия «Квадратные уравнения, приводимые к ним».

Многие ученые-математики занимались изучением уравнений, их классификацией, способами решения. Это и Виет, Фибоначчи, Ферма. А для того, чтобы узнать имя еще одного математика, для этого проведем математическое «Поле чудес». Задание: Я задаю вам вопросы по способам решения квадратных уравнений (необходимо предлагать более простой рациональный способ).

Задание 1


А

2 – 2х – 5 = 0,

Д

х2=5,

И

2 + 14х=0,

Н

х2 +5х +4=0,

О

х2 + 4х +4=0,

Т

х2 – 4=0,

Ф

2 – 11х + 5=0,

Е

х2 + 2х = х2 + 6




  1. Какое уравнение можно решать извлечением квадратных корней?

(Д)

  1. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?

(И)

  1. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена?

(О)

  1. В каком уравнении надо применять общую формулу?

(Ф)

  1. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент?

(А)


  1. Какое уравнение удобно решать по т. Виета?

(Н)

  1. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов?

(Т)


В результате получили имя Диофант.

Греческий математик Диофант, живший в III веке, занимался решением уравнений с целыми коэффициентами различных видов, в том числе и квадратных. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Долгое время пытались отыскать общий способ решения диофантовых уравнений. Однако, в 1970 году Ленинградский математик Ю.В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Итак, мы повторим простейшие способы решения квадратных уравнений. В том числе и по т. Виета. Сформулируем теорию Виета.

Определение: Если приведенное квадратное уравнение имеет два корня, то сумма его корней равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком (- в), а произведение свободному члену.

Всегда ли можно применить т. Виета?

Нет, только когда

Задание 2

Решить, если возможно, уравнения по т. Виета и назвать сумму полученных решений

1 Найти произведение корней уравнения:

х2 – 9х +20=0 х1х2 = 20

2 Найти сумму корней х1 + х2 = -20 уравнения:

2 + 4х – 35 = 0

3 Найти произведение корней уравнения (Решений нет):

х2 – 10х +100 = 0
Сумма: 20-2=18

Посоревнуемся, кто быстрее назовет это число?

Сегодня мы познакомимся с новым методом позволяющим решать подавляющее большинство квадратных уравнений устно (по аналогии с решением приведенных квадратных уравнений с помощью т. Виета).
Метод переброски

  1. Рассмотрим квадратное уравнение:

ах2 + вх +с = 0 (1)

Д= в24ас, если , то

  1. Рассмотрим второе квадратное уравнение:

у2 + ву +ас = 0 (2)

Д= в2- 4ас, , то

Сравнивая корни (1) и (2) квадратных уравнений можно заметить, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на а.

(Во (2) уравнении первый коэффициент равен 1.

Второй коэффициент совпадает. Свободный член второго уравнения получен как произведение первого коэффициента на свободный член).
Задание 3

Решить уравнения методом переброски

1 2 – 7х – 3=0

у2- 7х – 18=0, Д>0

у1=9 или у2=-2

х1= х2

х1= 1,5 х2

Ответ: 1,5; -

2 (Решить у доски)



, Д>0

= - 1 или



х1 = -

Ответ: ; .
3 , Д>0



у1= 20 или у2= - 3

х1 = х2 =

х1=5 х2=

Ответ: 5; .

4 2012 х2+2010 х – 2=0

у2+2010 у - 22012=0, Д0

у1= - 2012 или у2=2

х1= х2=

х1= - 1 х2=

Ответ: - 1;

Как видите метод «переброски» значительно сокращает время на решение квадратных уравнений.

Для решения уравнений различных видов по существу применяются четыре основных метода:

  • метод перехода от равенства, связывающего функции к равенству, связывающему аргументы;

  • метод замены переменной (способ выделения квадрата двучлена);

  • метод разложения на множители;

  • функционально графический метод.

Задание 4

Решить уравнение

х2+ Д:х2

(х2+)+ 4=5

(х – )2+4=5

()2+4=5

()2+4=5

Пусть , то , Д0

t1=1 или t2= - 5

  1. =1

, Д

или

Ответ: 2; - 1





Д

Этим же методом замены переменной решим еще одно уравнение.

(х-1)(х-7)(х-4)(х+2)=40

Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвертой, в первой и третей скобках равны, т.е. -7+2=-1+4.

Перемножим эти пары скобок и придем к уравнению.

2-5х-14)(х2-5х+4)=40

Пусть х2-5х-14=t, то 2-5х+4)= t+18

t(t+18)-40=0

t2+18t-40=0

t1= -20 или t2=2

  1. х2-5х-14=-20

х2-5х+6=0, Д0

х1=2

х2=3

  1. х2-5х-14=2

х2-5х-16=0

х=


Дополнительное задание

Задание 5

При каком наименьшем натуральном значении С уравнение х2- 2х=С имеет два корня?

Решение: х2-2х-С=0

  1. По условию СN, то –С0

  2. Д=1-1 (-С)=(1+С2)0

Это означает (по т. Виета), что произведение корней отрицательно, а значит уравнение имеет обязательно два корня разного знака, т.е. ровно один корень положителен.

  1. Вывод: таким образом условие задачи выполняется при любом натуральном С и наименьшим из всех таких чисел является 1.

Ответ: 1.

Задание 6

Викторина

Тем, кто учит математику,

Тем, кто учит математике,

Тем, кто любит математику,

Тем, кто еще не знает,

Что может полюбить математику,

Наша викторина посвящается!

Вопросы

  1. Назовите решение неравенства:

х2-20 х()

  1. Как называется график обратной пропорциональности?

Гипербола

  1. Подкоренное выражение формуле корней квадратного уравнения называется… Дискриминант

  2. Правило, схема выполнения действий.

Алгоритм

  1. Точка пересечения диаметров окружности.

Центр

  1. Наглядное изображение функциональной зависимости.

График

  1. Отношение прилегающего катета к гипотенузе.

Косинус

  1. Третья степень числа.

Куб

  1. Сотая часть числа. Процент

  2. Точка пересечения осей координат.

Начало координат
Карточка для ученика

Задание 1. «Поле чудес»

А

2 – 2х – 5 = 0,

Д

х2=5,

И

2 + 14х=0,

Н

х2 +5х +4=0,

О

х2 + 4х +4=0,

Т

х2 – 4=0,

Ф

2 – 11х + 5=0,

Е

х2 + 2х = х2 + 6

Задание 2. Решить уравнение по т. Виета, если возможно, и назвать сумму полученных решений.

№1. Найти произведение корней уравнения:

х2 – 9х +20=0

№2. Найти сумму корней уравнения:

2 + 4х – 35 = 0

№3. Найти произведение корней уравнения:

х2 – 10х +100 = 0

Задание 3. Решить уравнения методом переброски:

№1. 2 – 7х – 3=0

№2.

№3.

№4. 2012 х2+2010 х – 2=0

Задание 4. Решить уравнения:

№1. х2+

№2. (х-1)(х-7)(х-4)(х+2)=40

Задание 5. Дополнительное задание:

№1. При каком наименьшем натуральном значении С уравнение х2- 2х=С имеет два корня?

№2. Викторина.

Похожие рефераты:

Урок Алгебра 8 класс Тема: «Биквадратное уравнение и его корни»
Цель ученика: обобщает знания, полученные по теме «Квадратные уравнения», учиться решать биквадратные уравнения, находить число корней...
Программа курсов школы юных математиков на механико-математическом факультете
Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Квадратные неравенства 0,5 занятия
Тема: Неполные квадратные уравнения
Цель: изучить понятие квадратного уравнения, виды неполных квадратных уравнений и способы их решения, сформировать навыки применения...
Решение квадратных уравнений по формулам связано с вычислениями выражений,...
Многие задачи приводят к квадратным уравнениям. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры. Современные обозначения...
3. Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем
Отсюда следует, что для описания этих процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов. Полевые уравнения...
Тесты по алгебре для 8 класса к главам «Квадратные корни»
«Квадратные корни» и «Квадратные уравнения» учебника «Алгебра 8» Б. Баймуханова и др. Тесты представлены в двух вариантах и состоят...
Какие уравнения называются уравнениями со многими переменными?
Напишите общий вид линейного уравнения и уравнения второй степени с двумя переменными
«Дифференциальные уравнения»
Введение. Общие понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие дифференциального уравнения, его порядок. Решение...
«Квадратные уравнения»
Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире
«Квадратные уравнения»
Оборудование: интерактивное оборудование, раздаточный материал: информационные листы

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза