Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по математике дисциплина для специальности (-ей)


Скачать 197.12 Kb.
НазваниеМетодические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по математике дисциплина для специальности (-ей)
страница2/3
Дата публикации09.10.2013
Размер197.12 Kb.
ТипМетодические указания
referatdb.ru > Математика > Методические указания
1   2   3
РАЗДЕЛ IX Интегральное исчисление функций многих переменных
^ Вопросы для подготовки к тестированию:

  1. Определение двойного интеграла и его свойства.

2. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Повторные интегралы.

3. Тройной интеграл и его свойства.

4. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат.

5. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.

6. Элементы площади и объема в криволинейных координатах.

7. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.

8. Двойной и тройной интегралы в некоторых системах координат (полярные, цилиндрические и сферические координаты).

9. Применения кратных интегралов.

10. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление.

11. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление.

12. Связь криволинейных интегралов первого и второго родов.

13. Формула Грина.

14. Определение площади кривой поверхности.

15. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление.

16. Сторона поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности.

17. Поверхностные интегралы второго рода и их вычисление.

18. Формула Остроградского - Гаусса.

19 Формула Стокса.
Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач

П р и м е р  5. Вычислить двойной интеграл: по области D, ограниченной линиями:

Р е ш е н и е. Если область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми , причем функции - непрерывны и на промежутке [a,b] , то

.

Тогда двойной интеграл . Сначала вычислим интеграл по переменной y (x – параметр):

.

Окончательно имеем

.
О т в е т. 3
П р и м е р  6. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл: по области D, заданной ограничениями .

Р е ш е н и е. Положим



и применим формулу (7). Так как , то

.

Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 6). Следовательно, в области D1 переменная изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем:



.

О т в е т.
П р и м е р  7. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где поверхность S – часть плоскости

x+2y+z-2=0,

отсеченная координатными плоскостями.

Р е ш е н и е. Из данного общего уравнения плоскости получаем уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим поверхность S – треугольник .




z


C(0; 0; 2)

O(0; 0; 0) y


A(2; 0; 0)
x




B(0; 1; 0)



Сводим вычисление поверхностного интеграла первого рода (по площади) по поверхности пространственного треугольника к вычислению двойного интеграла в координатной плоскости ^ Оху.

Находим явное уравнение поверхности S:

.

Тогда элемент площади



и искомый интеграл

.

Вычисление последнего двойного интеграла по треугольнику (проекции пространственного треугольника на плоскость Оху) сводим к вычислению повторного (двукратного) интеграла.

В плоскости Оху (z=0) общее уравнение стороны АВ имеет вид: x+2y-2=0. Отсюда имеем для неё явное уравнение х=-2у+2. Тогда искомый интеграл

.

Вычисляем внутренний интеграл:

=

==

=.

Вычисляем внешний интеграл:

.

О т в е т. .
^ Задачи для подготовки к тестированию:

  1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями: 

Ответ: 1/3.

  1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями: 

Ответ: 1/3.

  1. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x

Ответ: 11/12.

  1. Вычислить двойной интеграл, где область D ограничена линиями: и осью Ох

Ответ: . .

  1. Вычислить двойной интеграл, где область D ограничена линиями: .

Ответ: . .

РАЗДЕЛ X Векторный анализ и элементы теории поля

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии.

2. Потенциальная функция векторного поля.

3. Поток векторного поля.

4. Дивергенция векторного поля.

5. Циркуляция векторного поля.

6. Ротор векторного поля.

7. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса в векторной форме, их физический смысл.

8. Дифференциальные операции первого и второго порядков.
Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач

П р и м е р  8. Найти дивергенцию дифференцируемого векторного поля

.

По формуле Остроградского – Гаусса вычислить поток этого векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью

2x+3y+z-6=0

и координатными плоскостями.
Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению дивергенция



.
Шаг 2. Из общего уравнения плоскости 2x+3y+z-6=0 получаем уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим пирамиду ОАВС.



z


C(0; 0; 6)


O(0; 0; 0) y


A(3; 0; 0)
x




B(0; 2; 0)



Шаг 3. По теореме Остроградского – Гаусса поток векторного поля через поверхность пирамиды ОАВС в направлении вектора внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции по объёму этой пирамиды ОАВС:

.

Геометрический смысл последнего тройного интеграла – объём пирамиды ОАВС. Тогда поток

.

Объём пирамиды ^ ОАВС равен одной шестой объёма прямоугольного параллелепипеда со сторонами ОА, ОВ и ОС:

.

Итак, поток

.
О т в е т. ; .

П р и м е р  9. Найти ротор дифференцируемого векторного поля

.

По формуле Стокса вычислить циркуляцию этого векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости

3x+2y+2z-6=0

с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора данной плоскости.
Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению ротор

.

Символический определитель третьего порядка раскладываем по элементам верхней строки:

.

Вычисляем символические определители второго порядка:



.

Последовательно имеем:

.
Шаг 2. Из общего уравнения плоскости 3x+2y+2z-6=0 получаем уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим замкнутый контур АВСА.



z







C(0; 0; 3)


O(0; 0; 0) y






A(2; 0; 0)
x




B(0; 3; 0)




Шаг 3. По теореме Стокса циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура АВСА равна потоку ротора через поверхность треугольника , натянутого на этот контур АВСА, в направлении вектора :

,

где точка «» обозначает скалярное умножение. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноимённых координат. Поэтому циркуляция

.

Сводим вычисление предыдущих поверхностных интегралов второго рода (по координатам) к вычислению двойных интегралов (в одноимённых координатных плоскостях). Так как углы и - острые, то изменения знака при переходе от поверхностных интегралов к двойным интегралам не происходит и циркуляция

.

Геометрический смысл последних двойных интегралов – площади прямоугольных треугольников и . Тогда циркуляция

.

Площадь прямоугольного треугольника равна одной второй произведения длин его катетов:

.

Итак, циркуляция

.
О т в е т. ; .

1   2   3

Похожие рефераты:

Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Высшая математика», вопросы для подготовки к компьютерному тестированию,...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика», задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Высшая математика», задачи для самостоятельного решения, вопросы для...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по высшей математике
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по высшей математике
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Организация производств», вопросы для подготовки к компьютерному тестированию,...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Организация производств», вопросы для подготовки к компьютерному тестированию,...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Организация производств», вопросы для подготовки к компьютерному тестированию,...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Физика», задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
«Механика, молекулярная физика и термодинамика». Указания содержат также задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза