01. 01. 02 – дифференциальные уравнения *


Скачать 43.92 Kb.
Название01. 01. 02 – дифференциальные уравнения *
Дата публикации19.10.2013
Размер43.92 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
01.01.02 – дифференциальные уравнения *


* Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 23августа 2007 г. № 138

Цель данной программы состоит в определении минимального объема теоретических сведений, необходимого для овладения основами современной теории дифференциальных уравнений и приобретения профессиональной эрудиции, достаточной для проведения самостоятельных научных исследований по профилю специальности.

Для достижения этой цели в программу включены основные факты теории дифференциальных уравнений, а также ряда разделов смежных математических дисциплин.

Экзаменуемый должен владеть основами общей, асимптотической, аналитической и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, иметь представление о теории уравнений Пфаффа и уравнений с запаздывающим аргументом, знать основные факты теории простейших уравнений в частных производных. Кроме того, он должен владеть необходимыми для этого элементами функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

  1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений ([l], § 3, 21).

  2. Теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров ([l], § 23).

  3. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями ([l], § 7, 8, 10, 12, 14).

  4. Общая теория линейных уравнений и систем: область существования решения, многообразие решений, фундаментальная матрица, матрица Коши, формула Лиувилля – Остроградского, метод вариации произвольных постоянных ([l], § 17, 18).

  5. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, предельные циклы. Классификация особых точек ([1], § 15, 16, 28).

  6. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр характеристических показателей линейной однородной системы. Теория Флоке ([2], гл. III, § 1–3, 8, 15, 16, [3], § 1, п. 1.1– 1.2).

  7. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению ([l], § 26).

  8. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первогопорядка, метод характеристик ([4], часть II, гл. I, §1).

  9. Вполне интегрируемые системы с многомерной независимой переменной (системы Пфаффа). Задача Коши. Условия полной разрешимости. Линейные уравнения ([5], гл. I, § 2, 3, гл. II, § 6).

  10. Уравнение с отклоняющимся аргументом, основные типы и простейшие свойства. ([6], гл. 3, §§ 3.1–3.5).

^ 2. Элементы функционального анализа и вариационного исчисления

  1. Задачи вариационного исчисления. Функция Лагранжа (лагранжиан). Необходимые условия экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа. ([4], часть I, гл. II; [7], гл. I).

  2. Задачи оптимального управления. Понятие о принципе максимума Понтрягина ([7], гл.I).

  3. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода. Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма ([8], гл.IV, § 17, 18).

  4. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром; теорема Гильберта-Шмидта ([8], гл. IV, § 19-22).

  5. Обобщенные функции и их свойства. Свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста ([8], гл.II, § 5-9; гл.III, § 12).

^ 3. Уравнения в частных производных

  1. Уравнения в частных производных типа Ковалевской. Аналитические решения. Теорема Ковалевской ([8], гл. I, § 4).

  2. Классификация и канонические формы линейных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости. Характеристики уравнений. Задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Понятие о некорректных задачах для уравнений в частных производных ([8], гл. I, § 3,4; [9], гл. I, § 1; [10], гл. IX, § 2-4, гл. X, § 1-4, гл. XXV, § 8).

  3. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций: формула Грина, теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности ([8], гл. V, § 24; [9], гл. IV, § 1-3; [10], гл. X, § 6, гл. XI, § 1-8).

  4. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Применение функции Грина к решению задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара и круга ([8], гл. V, § 27, 28, 31; [9], гл. IV, § 4,5; [10], гл. XII, § 1-4, гл. XIII, § 1).

  5. Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанные задачи для уравнения теплопроводности. Свойства решений: гладкость, принцип максимума, единственность, бесконечная скорость теплопередачи. Фундаментальное решение ([8], гл. I, § 4, гл. III, § 11, гл. VI, § 34; [9], гл. III, § 1,3; [10], гл. XX, § 1-4, гл. XXIII, § 4).

  6. Метод Фурье (разделения переменных) решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Обоснование метода Фурье. ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. III, § 2; [10], гл. XXII, § 1-3).

  7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона ([8], гл. III, § 16; [9], гл. III, § 1, гл. VI, § 1; [10], гл. XXIII, § 2,3).

  8. Уравнения гиперболического типа. Постановка основных краевых задач. Интеграл энергии, единственность решений. Конечная гладкость решений волнового уравнения. Фундамен­тальное решение ([8], гл. I, § 4; гл. III, § 11, 12, гл.VI, § 33; [9], гл. II, § 1,2; [10], гл. XXI, § 1-3).

  9. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом Фурье. Обоснование метода Фурье ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. II, § 3; [10], гл. XXII, § 4-7).

  10. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа. Распространение волн в пространстве, на плоскости и на прямой ([8], гл. III, § 13, 14; [9], гл. II, § 2, гл. V, § 1,2; [10], гл. XXI, § 5, гл. XXIV, § 1-7).

  11. Понятие об обобщенных и слабых решениях уравнений в частных производных ([4], часть I, гл. III; [8], гл. VI, § 33, 34; [10] , гл. XVII, XX, § 6, гл. XXI, § 6).

Рекомендуемая литература

Основная

  1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

  2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

  3. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ. 2006.

  4. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.IV, части I и II, М.: Наука, 1981.

  5. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Мн.: Наука и техника. 1983.

  6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967.

  7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В., Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

  8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978.

  9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1972.

  10. Михлин С.Г. Курс математической физики. М: Наука. 1968.

Дополнительная

  1. Бибиков Ю.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа. 1991.

  2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1976.

  3. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.: Высшая школа. 2001.

  4. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Мн.: Наука и техника. 1989.

  5. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: 1971.

  6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.

  7. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника. 1972.

  8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

  9. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

  10. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М: Высшая школа. 1977.

  11. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984.

  12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

  13. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М. Мир. 1984.

Примечание. Вместо изданий, указанных в списке рекомендуемой литературы, могут быть использованы любые, более поздние издания указанных книг.

Похожие рефераты:

«Дифференциальные уравнения»
Введение. Общие понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие дифференциального уравнения, его порядок. Решение...
8. обыкновенные дифференциальные уравнения
Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких...
Вопросы к зачету
Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова силы инерции
Программа обучения по дисциплине «Дифференциальные уравнения»
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Факультет физики, математики и информационных технологий
Программа вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 Математика
Программа вступительного экзамена составлена на основании типовых программ дисциплин «Математический анализ», «Алгебра и геометрия»,...
01. 01. 02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 24 сентября 2010 г. №200
Дифференциальные уравнения типовая учебная программа для высших учебных...
Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию
Вопросы к экзамену по дисциплине «Теоретическая механика». для специальности...
Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова силы инерции
Дифференциальные и интегральные уравнения типовая учебная программа...
Председатель Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию
Вопросы к экзамену по дисциплине «Теоретическая механика»   для специальности...
Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова силы инерции

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза