Элементы теории функций действительной переменной. Мера и интеграл Лебега


НазваниеЭлементы теории функций действительной переменной. Мера и интеграл Лебега
страница1/5
Дата публикации23.10.2013
Размер0.76 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5

Элементы теории функций действительной переменной. Мера и интеграл Лебега.

(разработчики Г. И. Кабак, Г.Е. Хурсевич)

Предисловие.

Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций по важному разделу теории функций действительной переменной "Мера и интеграл Лебега", который читался авторами на протяжении ряда лет на математическом факультете БГПУ имени М.Танка.

Цель, которую ставили авторы, - помочь студентам дневного и заочного отделений физико-математических специальностей педуниверситета самостоятельно изучить теорию меры Лебега линейных множеств и интеграла Лебега.

Пособие состоит из трех глав. В первой главе освещается теория меры Лебега: в кратком изложении приводятся основные определения и утверждения из курса математического анализа; рассматривается вопрос о строении открытых и замкнутых множеств и их мере; вводится понятие внешней и внутренней меры множества, а также понятие множеств измеримых по Лебегу (даются примеры таких множеств); указываются свойства меры Лебега, которые играют важную роль в теории интеграла Лебега.

Во второй главе излагается теория измеримых функций: дается определение и приводятся примеры измеримых функций; рассматриваются операции над измеримыми функциями, которые не выводят из класса измеримых функций.

В третьей главе излагается теория интеграла Лебега: вводится понятие интеграла Лебега; определяются свойства интеграла Лебега; выясняется связь между интегралами Римана и Лебега, а также выделяется весь класс функций, интегрируемых по Риману.

В настоящее время имеется ряд учебников, как по теории функций действительной переменной, так и по функциональному анализу, в которых содержится изложение теории интеграла Лебега. Именно поэтому для желающих изучить полную теорию меры и интеграла Лебега в конце пособия приводится список литературы.


^ Глава 1. Мера Лебега
§1. Предварительные сведения

В этом параграфе мы напомним те определения и утверждения из курса математического анализа, которые будут использоваться в пособии. Некоторые из них доказаны. Все множества, рассматриваемые в пособии, являются числовыми, т.е. являются подмножествами множества действительных чисел (подмножествами множества точек числовой прямой). Расстояние между точками числовой прямой определяется стандартным образом: ρ(х,у)=|х-у|.

Определение 1.1. Если для множества А={х} существует число b(a) такое, что х≤b(xa)xA, то множество А называется ограниченным сверху (снизу), при этом число b(a), называется верхней (нижней) границей множества А.

Если множество А ограничено как с низу, так и сверху, то оно называется ограниченным.

Ограниченность множества эквивалентна тому, что существует отрезок [а;b], содержащий множество А:[a;b]A.

Определение 2.1. Наименьшая верхняя граница ограниченного сверху множества А называется верхней гранью (точной верхней границей) множества А и обозначается sup А.

Свойство верхней грани: .

Наибольшая нижняя граница ограниченного снизу множества А называется нижней гранью (точной нижней границей) множества А и обозначается inf А.

Свойство нижней грани: .

Грани множества могут, как принадлежать ему, так и не принадлежать.

Определение 3.1. Интервал (a;b), содержащий точку , называется окрестностью точки, а интервал (- δ; +δ), δ>0 называется δ-окрестностью точки и обозначается В(;δ).

Определение 4.1. Точка называется предельной точкой множества А, если любая её окрестность содержит бесконечное подмножество множества А.

Предельные точки множества могут, как принадлежать ему, так и не принадлежать. Точки, принадлежащие множеству и не являющиеся для него предельными, называются изолированными точками этого множества.

Определение 5.1. Если множество содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

ТЕОРЕМА 1.1. Объединение конечного множества замкнутых множеств и пересечение любого множества замкнутых множеств есть замкнутые множества.

ТЕОРЕМА 2.1. Ограниченное замкнутое множество F содержит свои грани: sup FF, inf FF.

Доказательство. Пусть β= sup F не принадлежит множеству F. Тогда по свойству верхней грани число β является предельной точкой множества F. Значит, при сделанном предположении множество F не является замкнутым. Противоречие. Аналогично для нижней грани.

Теорема доказана.

Определение 6.1. Если множество А содержит некоторую окрестность точки , то точка называется внутренней точкой множества А.

Определение 7.1. Если каждая точка множества G является внутренней точкой множества G, то множество G называется открытым.

ТЕОРЕМА 3.1. Объединение любого множества открытых множеств и пересечение конечного множества открытых множеств есть открытые множества.

Определение 8.1. Разность R\A называется дополнением множества А и обозначается СА.

ТЕОРЕМА 4.1. Дополнение замкнутого множества есть открытое множество, а дополнение открытого множества есть замкнутое множество.

Определение 9.1. Расстоянием между точкой и множеством А называется число

Из определения предельной точки и замкнутого множества следует, что если точка не принадлежит замкнутому множеству F, то

ТЕОРЕМА 5.1. Если два непустые замкнутые ограниченные множества и не пересекаются Ø), то существуют такие открытые множества и , такие что , , Ø.

Доказательство. Для каждого имеем и для каждого .

Рассмотрим два множества

Эти множества по теореме 3.1. являются открытыми. Докажем, что они не пересекаются. Допустив противное: Ø и пусть а. Тогда существует точка , что и существует точка , что . Пусть для определенности , тогда .

А это противоречит определению числа . Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 6.1. Числовой знакоположительный ряд сходиться тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм , ограничена сверху: .

ТЕОРЕМА 7.1. Если числовой ряд сходится, то предел его остатка при равен нулю.

Определение 10.1. Говорят, что система интервалов покрывает множество А (является покрытием множества А ), если , т.е. любой элемент х множества А содержится по крайней мере в одном из интервалов системы S. Часть системы S, которая сама является покрытием множества А, называется подпокрытием.

^ ЛЕММА БОРЕЛЯ-ЛЕБЕГА*. Из любого покрытия отрезка [a,b]=I интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

Доказательство. Допустим, что в данном покрытии S отрезка I не существует конечного подпокрытия отрезка I. Разделим отрезок I пополам и обозначим через ту половину, которая не допускает конечного подпокрытия. Такая половина существует в силу сделанного предположения. Отрезок разделим пополам и обозначим через ту его половину, которая не допускает конесного подпокрытия. Этот процесс продолжим неограниченно. В результате построим последовательность вложенных отрезков , каждый из которых не допускает не допускает конечного подпокрытия. Очевидно, что предел последовательности длин отрезков равен нулю. Поэтому, по принципу Кантора вложенных отрезков, существует точка с, принадлежащая всем отрезкам.

Так как с I, то в силу определения 10.1. существует интервал , содержащий точку с, т.е. .

Пусть . Найдем в построенной последовательности отрезок с длиной . Поскольку с I, , то . Но это противоречит тому, что отрезок нельзя покрыть конечным набором интервалов системы S.

Лемма доказана.
§2. Мера открытых и замкнутых множеств.


  1. Строение открытых и замкнутых множеств.

Пусть G – открытое множество. Если интервал содержится во множестве G, но его концы множеству G не принадлежат, то интервал называется составляющим интервалом множества G.

ТЕОРЕМА 1.2. Составляющие интервалы одного непустого открытого множества не пересекаются и их множество является конечным или счетным.

Доказательство. Пусть G – непустое открытое множество и, и два его составляющие интервала. Если эти интервалы пересекаются, т.е. Ø, то по крайней мере один из концов одного интервала принадлежит другому интервалу, а поэтому принадлежит и множеству G. Что невозможно по определению составляющего интервала. Выберем теперь на каждом составляющем интервале по одной рациональной точке и множество выбранных точек обозначим через . Так как является подмножеством множества Q рациональных точек, которое является счетным множеством, то множество является конечным или счетным. Но множество составляющих интервалов эквивалентно множеству . Значит, оно также конечно или счетно.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2.2. Каждое ограниченное непустое множество G есть объединение конечного или счетного множества составляющих его интервалов.

Доказательство. Докажем, что каждая точка множества G принадлежит некоторому составляющему интервалу множества G. Тогда, отсюда, с учетом теоремы 2.1., и будет следовать справедливость теоремы 2.2. Обозначим . Множество F является замкнутым по теореме 1.1., как пересечение двух замкнутых множеств и непустое в силу неограниченности сверху множества CG . Так как множество F ограничено снизу, то оно имеет нижнюю грань inf F=α, которая по теореме 2.1. принадлежит F. Из условия, что и F, следует, что . Значит, полуинтервал [,β) включается в множество^ G, а его правый конец β не принадлежит G. Аналогично доказывается, что существует полуинтервал (α, ], который включается в G, а его левый конец α не принадлежит G. Значит, интервал являются составляющим интервалом множества G и точка ему принадлежит. Теорема доказана.

ЛЕММА 1.2. Пусть F – ограниченное замкнутое непустое множество и α=inf F, b=sup F. Тогда множество [a,b]\F= является открытым.

Доказательство. Очевидно, что . По теореме 4.1. множество CF открытое. Поэтому по теореме 3.1. множество открытое.

ТЕОРЕМА 3.2. Каждое непустое ограниченное замкнутое множество F есть или отрезок или получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежат множеству F.

Доказательство. Обозначим α=inf F, b=sup F. По лемме 1.2. множество является открытым. Представим теперь множество F в виде . Если = Ø, то. Если Ø, то, учитывая теорему 2.2. о строении открытых множеств, получим справедливость теоремы 3.2.

Теорема доказана.

Определение 1.2. Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством.

Следствие. Каждая точка совершенного множества является предельной для него.

Примерами совершенного множества являются , , R, Ø.

Из теоремы 3.2. следует справедливость следующей теоремы о строении совершенных множеств.

ТЕОРЕМА 4.2. Непустое ограниченное совершенное множество есть или отрезок, или получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком.

Интересным примером совершенного множества является множество Кантора. Рассмотрим его.

Разделим отрезок [0,1]=F точками и на три равные части и вычтем из отрезка F средний интервал (,) =. Обозначим ==. Каждый из оставшихся отрезков опять разделим на три равные части и из каждого вычтем средний интервал, т.е. из вычтем множество Получим множество. Этот процесс продолжим неограниченно. В результате из отрезка F вычтем открытое множество , являющееся объединением счетного множества интервалов, которые попарно не пересекаются и не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком F. Оставшееся множество называется множеством Кантора и обозначается P. По теореме 4.2. множество Кантора является совершенным. Оно не пусто, т.к., например, концы выброшенных интервалов , , , … не могут оказаться внутри оставшихся отрезков и не будут выброшены ни на каком шаге. Более того, покажем, что множество Кантора имеет мощность континуума. Для этого воспользуемся представлением числа из отрезка в виде троичных дробей . С помощью этого определения опишем числа, которые попали в множество Кантора. Каждое число х при разложении в троичную дробь характеризуется тем, что: 1) если х, то ; 2) если х, то цифра ; 3) если х, то . При этом числа и имеют по два представления =0,1000…=0,0222…, =0,122222…=0,2000…. Для них будем пользоваться представлением, в котором не используется цифра 1. Таким образом, на первом шаге построения множества из отрезка F выброшены те числа, у которых в троичном представлении . Аналогично на втором шаге выбрасываются те числа, у которых и т.д. Значит, числа, принадлежащие множеству кантора характеризуются тем, что в троичной записи их 0, отсутствует число 1, т.е. .

Но множество таких чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством чисел отрезка , записанных в двоичной системе (числу в троичной системе ставится в соответствие число в двоичной системе). Известно, что множество точек отрезка имеет мощность континуума. Поэтому и множество Кантора, эквивалентное ему, имеет мощность континуума.


  1. Мера открытых и замкнутых множеств.

Мерой интервала будем называть его длину b-a и обозначать .

Определение 2.2. Пусть G – непустое ограниченное открытое множество. Если G является объединением конечного множества составляющих его интервалов , то сумма длин составляющих интервалов называется мерой открытого множества G и обозначается (G).

Если G является объединением счетного множества составляющих его интервалов , то сумма числового ряда

(1)

называется мерой открытого множества G и обозначается (G).

ТЕОРЕМА 5.2. Открытое ограниченное множество G всегда имеет меру, причем (G) 0.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно обосновать сходимость ряда (1) и независимость его суммы от способа нумерации составляющих интервалов множества G. Так как G ограниченное множество, то существует отрезок . Но тогда последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху числом b-a . Поэтому по теореме 6.1. ряд (1) сходится. Далее, ряд (1) является знакоположительным, поэтому его сумма неотрицательна и не зависит от перестановки членов ряда, т.е. от способа нумерации составляющих интервалов.

Теорема доказана.

Замечание. Для удобства, учитывая теорему 5.2., определение меры открытого множества G будем кратко записывать так ( )= , при этом будем иметь в виду два варианта определения 2.2. Остановимся на некоторых свойствах меры открытого множества.

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть -- ограниченные открытые множества. Если , то ( ).

Доказательство. Так как , то составляющие интервалы множества являются частями составляющих интервалов множества . Поэтому непосредственно из определения меры открытого множества следует, что ( ).

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 7.2. Если ограниченное открытое множество G является объединением конечного или счетного множества взаимно непересекающихся открытых множеств G=Ø, то . (2)

Доказательство. Пусть составляющие интервалы множества (i=1,2,….;k=1,2,…). Так как множества попарно не пересекаются и , то интервалы также не пересекаются, а поэтому они и только они являются составляющими интервалами множества G, а причем их множество, очевидно, является конечным или счетным. По определению меры открытого множества на основании теоремы о допустимости перестановки членов сходящегося знакоположительного ряда имеем (G)= .

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 8.2. Если ограниченное открытое множество G является объединением конечного или счётного множества открытых множеств (k= 1,2, …), то (G).

Для доказательства нам понадобиться следующая лемма.

ЛЕММА. Пусть объединение открытых множеств является интервалом . Тогда .

Доказательство леммы. Обозначим составляющие интервалы множеств через (i=1,2,….;k=1,2,…). Возьмем на интервале произвольное число и на интервале выберем отрезок .

Тогда отрезок I покрыт системой интервалов (i=1,2,….;k=1,2,…), из которой, по лемме Бореля-Лебега, можно выбрать конечную систему интервалов , которая также покрывает I.

Но тогда длина отрезка I удовлетворяет неравенству , так как в противоположном случае оказалось бы, что отрезок I покрыт конечным числом интервалов, суммарная длина которых меньше, чем , что невозможно. Отсюда вытекает, что . Значит, в силу произвольности числа , имеем .

Лемма доказана. Докажем теперь теорему 8.2.

Обозначим составляющие интервалы множества через (i=1,2,….) и представим их в виде . Тогда, на основании леммы, имеем . Отсюда, по определению меры открытого множества с учетом теоремы 7.2, получаем .

Теорема доказана.

Определение 3.2. Пусть F- ограниченное замкнутое непустое множество, α=inf F, b=sup F; . Число называется мерой замкнутого множества F и обозначается .

ТЕОРЕМА 9.2. Ограниченное замкнутое множество всегда имеет меру, которая является неотрицательным числом.

Доказательство. Если F , то по определению считаем ( Ø)=0. Пусть F Ø. Так как множество является ограниченным и открытым, то оно имеет меру, которая, по теореме 6.2., удовлетворяет неравенству . Отсюда и из определения 3.2. следует справедливость теоремы.

Установим некоторые свойства меры замкнутого множества.

ЛЕММА 2.2. Пусть F – замкнутое ограниченное множество, α=inf F, b=sup F;. Тогда .

Доказательство. Множество является замкнутым, как объединение двух замкнутых множеств, причём . Тогда по определению меры замкнутого множества имеем .

Лемма доказана.

ТЕОРЕМА 10.2. Если замкнутое множество содержится в ограниченном замкнутом множестве , то .

Доказательство. Пусть . По лемме 2.2 . Кроме этого . Поэтому . Значит, .

Теорема доказана.

ЛЕММА 3.2. Пусть замкнутое множество F содержится в ограниченном открытом множестве G . Тогда .

Доказательство. Пусть α=inf F, b=sup F, .По лемме 1.2, множество открытое. Так как ,то .Значит, .Отсюда следует, что . Но, по определению 3.2, имеем . Следовательно, .

Лемма доказана.

ТЕОРЕМА 11.2. Мера ограниченного замкнутого множества F есть нижняя грань множества мер открытых ограниченных множеств G, содержащих множество F: .

Доказательство. Пусть α=inf F, b=sup F. Тогда по лемме 3.2. . Рассмотрим случай счётного множества интервалов (он будет включать и случай конечного множества интервалов). По определению меры замкнутого множества имеем: Пусть - произвольное положительное число. В соответствии с теоремой 7.1, выберем номер n так, чтобы и рассмотрим множество . Множество является замкнутым и его мера равна . Ясно, что , причём . (1)

Кроме этого, множество является объединением n+1 отрезка, которые попарно не пересекаются: . Отрезки включим в некоторые интервалы так, чтобы , (2)

где . Ясно, что . Поэтому . Из неравенств (1) и (2) имеем . Отсюда, в силу произвольности числа , вытекает, что . Но, по лемме 3.2, . Значит .

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 12.2. Пусть -- ограниченные замкнутые непересекающиеся множества. Тогда .

Доказательство. Достаточно доказать теорему для n=2. Пусть . По теореме 11.2 для существуют открытые множества , такие, что . Тогда открытое множество содержит множество F и по теоремам 11.1 и 8.2, имеем . Отсюда, в силу произвольности числа , вытекает . (3)

Докажем обратное неравенство. По теореме 5.1 существует два непересекающиеся открытые множества такие, что Для произвольного по теореме 11.2 существует открытое множество и такое, что . Обозначим . Тогда на основании теоремы 7.2, имеем . Отсюда в силу произвольности , следует, что . А это неравенство в совокупности с неравенством (3) и доказывает теорему.

ТЕОРЕМА 13.2. Множество Кантора имеет меру равную нулю: .

Доказательство. Множество Кантора является ограниченным замкнутым множеством. Поэтому по определению меры замкнутого множества имеем .

  1   2   3   4   5

Похожие рефераты:

Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М., 1973
Гаврин В. П., Кабак Г. И., Кибалко П. И. Практические занятия по теории функции действительной переменной. Мн., 1997
Лабораторная работа №4 Интеграл Лебега-Стилтьеса
Если – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, имеющая точки разрыва и непрерывная слева, а – интегрируемая функция, то при...
Контрольная работа по разделу «Интегральное исчисление функции действительной переменной»
Написать разложение функции в ряд Маклорена по степеням переменной до членов порядка включительно
Ф ункциональный анализ: мера и интеграл
Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» и содержит основные понятия...
Вопросы и задания к экзамену по специальному курсу «Рациональная...
Интерполяционный рациональный процесс Фейера, Валле-Пуссена, Джексона на вещественной оси. Выбор полюсов аппроксимирующих функций....
Учебная программа курса «Математический анализ»
Дифференциальное исчисление функции действительной переменной
5: Линейные операторы
Изложение основ теории меры, интеграла Лебега и теории линейных операторов в банаховых пространствах и применения общей теории к...
Литература введение Пособие «Дифференциальное исчисление функции действительной переменной»
Практическое занятие 2 Производная обратной и сложной функции
Лабораторная работа №3 Измеримые функции. Интеграл Лебега
...
Лекций: 20 Практических: 14 Лабораторных: 0 tfkv. 5 Теория функций комплексного переменного ects
Изучение свойств аналитических функций комплексного переменного, теории вычетов и ее приложений; теории аналитического продолжения;...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза