3 Множество комплексных чисел


Название3 Множество комплексных чисел
страница1/4
Дата публикации24.12.2013
Размер0.53 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4
Каждое множество, содержащее элементов из числа заданных, называется сочетанием элементов по . Число всевозможных сочетаний из элементов по определяется по формуле

.

Числа можно последовательно находить с помощью треугольника Паскаля, который представляет собой треугольную таблицу:



Первые и последние числа во всех строчках таблицы равны . Начиная с третьей строчки, каждое число в строчке, отличное от первого и последнего, получается сложением двух ближайших к нему чисел предшествующей строчки. В каждой строчке стоят последовательно числа , , , , .

Число сочетаний используется при вычислении коэффициентов в формуле бинома Ньютона:

.
Тема 3 Множество комплексных чисел
3.1 Понятие комплексного числа

3.2 Комплексная плоскость

3.3 Действия над комплексными числами в алгебраической форме

3.4 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Комплексным числом называется выражение вида , где , где удовлетворяет условию , при этом число называется действительной частью а число мнимой частью комплексного числа .

Для комплексного числа приняты обозначения

, , .

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Множество комплексных чисел обозначается . Любое действительное число можно рассматривать как комплексное число, т.е. .

Поэтому множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел: . Отсюда

.

Два комплексных числа и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:



Комплексное число , называется нулем и обозначается .

Понятие неравенства для комплексных чисел существует лишь в смысле отрицания равенства, т. е. означает, что число z1 не равно числу z2. Понятия «меньше» и «больше» для комплексных чисел не определены.

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу . Два комплексных числа, отличающихся лишь знаком при мнимой части, называются комплексно-сопряженными.

Комплексное число геометрически изображается на плоскости точкой с координатами , , или вектором , проекции которого на оси и соответственно равны и . При этом координатную плоскость называется комплексной плоскостью и обозначается , ось абсцисс – действительной осью, ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости (рисунок 1. 1).

Модулем комплексного числа называется расстояние от точки до начала координат и обозначается

.

Аргументом комплексного числа называется угол , образованный положительным направлением и вектором .

Обозначается .

Аргумент () определяется равенствами (рисунок 1.1):
, .

Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого , .

Значение аргумента, удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента и обозначается .



Рисунок 1. 1 – Комплексная плоскость
Тогда , .

Если комплексные числа равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на , .

^ Суммой комплексных чисел называется комплексное число, действительная и мнимая части которого равны суммам соответствующих частей слагаемых:

.

^ Разностью комплексных чисел называется комплексное число, действительная и мнимая части которого равны разностям соответственно действительных и мнимых частей этих чисел:

.

Умножение комплексных чисел и определяется формулой

.

Деление комплексного числа на вводится как действие, обратное умножению, т.е. под частным , , понимается комплексное число , такое, что . Частное получается путем умножения числителя и знаменателя дроби на комплексно-сопряженное знаменателю число :

.

Возведение комплексного числа в степень , , рассматривается как умножение числа на себя раз: .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Любому комплексному числу , заданному в алгебраической форме, соответствует точка , положение которой однозначно определяется ее декартовыми координатами , . Вводя полярные координаты (полярная ось совпадает с положительным направлением действительной оси , полюс – с началом координат , полярный угол равен углу между полярной осью и лучом ), эту точку можно однозначно определить заданием главного значения аргумента и модуля комплексного числа .



Рисунок 1. 2 – Связь декартовых и полярных координат
Из рисунка 1. 2 видно, что модуль совпадает с полярным радиусом точки , главный аргумент – с полярным углом , при этом , .

Очевидно, что , .

Тогда



Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.

Тригонометрической формой комплексного числа удобно пользоваться при выполнении операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Пусть

,

.
^ Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме



Деление комплексных чисел в тригонометрической форме



Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме

, .

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

, , .

Показательная форма комплексного числа. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме: . Используя формулу Эйлера , получаем

.

Выражение называется показательной формой комплексного числа.

Здесь .

Функция обладает свойствами показательной функции с действительным показателем, поэтому формулы умножения, деления, возведения в натуральную степень для комплексных чисел в показательной форме имеют простой вид.

Если , , то

.

Если , то

.

Если , , то

.

, .

Вопросы для самоконтроля

Определения

  1. Какие множества называются равными?

  2. Что называется подмножеством множества?

  3. Какое подмножество называется собственным подмножеством множества?

  4. Что называется декартовым произведением множеств?

  5. Что называется функцией?

  6. Дайте определение области определения, области значения функции.

  7. Какие множества называются эквивалентными?

  8. Какое множество называется счетным?

  9. Какие множества называются ограниченными?

  10. В чем заключается метод математической индукции?

  11. Дайте определение точной верхней (нижней) грани множества.

  12. Какое число называется комплексным?

  13. Какие два комплексных числа называются равными, сопряженными?

  14. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.

Формулировки теорем и формулы

  1. Запишите с помощью кванторов определение операций объединения, пересечения, разности и дополнения множеств.

  2. Как изображаются комплексные числа на плоскости?

  3. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме. Запишите соответствующие формулы.

  4. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Запишите соответствующие формулы.

  5. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в показательной форме. Запишите соответствующие формулы.

  6. Перечислите арифметические действия над последовательностями.

  7. Перечислите свойства сходящихся последовательностей.

  8. Сформулируйте с помощью логических символов определение расходящейся последовательности, бесконечно большой последовательности.

  9. Перечислите способы задания функций.

  10. Какими элементарными свойствами обладают функции?

Доказательство теорем

  1. Сформулируйте и докажите теорему о существовании точной верхней (нижней) грани.

  2. Сформулируйте и докажите лемму о вложенных отрезках.

Вопросы и задачи на понимание

  1. Приведите примеры множеств, ограниченных сверху, снизу.

  2. Приведите примеры числовых множеств , у которых: а) ; б) ; в) ; г) . Имеет ли множество в случаях а) и б) наибольше, а в случаях в) и г) наименьшее число?

  3. Что означает запись и ?


Раздел 2 Теория пределов
  1   2   3   4

Похожие рефераты:

Недостаточность множества действительных чисел
«числа» построим новое числовое множество, элементы которого будут иметь вид, где. На этом множестве определим естественным образом...
1. Множество действительных чисел R
Пример. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 126, 540, 630
Вопросы к экзамену по математическому анализу
...
Практические занятия оглавление
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа
Вопросы к экзамену по курсу «математический анализ»
Понятие комплексного числа. Операции сложения, умножения, вычитания и деления комплексных чисел
Вопросы к экзамену по курсу «математический анализ»
Понятие комплексного числа. Операции сложения, умножения, вычитания и деления комплексных чисел
Примерный перечень вопросов к экзамену (* отмечены вопросы, содержащие доказательство)
Понятие комплексного числа. Операции сложения, умножения, вычитания и деления комплексных чисел
Внеклассное мероприятие по математике
Натуральные числа, им противоположные и нуль образуют множество каких чисел? (Целых)
Тема: Строение комплексных соединений
Цель: создать условия для формирования понятия о составе, строении и номенклатуре комплексных соединений, рассмотреть значение комплексных...
Что называется окрестностью точки ?
Что называется пределом числовой последовательности комплексных чисел и какими свойствами он обладает?

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза