Решения задач 1 тура 2010-2011года: Задача 1


Скачать 34.28 Kb.
НазваниеРешения задач 1 тура 2010-2011года: Задача 1
Дата публикации11.03.2013
Размер34.28 Kb.
ТипЗадача
referatdb.ru > Математика > Задача
Решения задач 1 тура 2010-2011года:
Задача 1. Упростить выражение

. (3 балла)
Решение.

Разложим знаменатель последней дроби на множители, решив уравнение


; ; . Поэтому .
Подставляя это выражение в , получим


Ответ: 0.
Задача 2. Вычислить , если . . (3 балла)
Решение. Так как , то . Используя формулу для тангенса разности и то, что , получим равенство

или .

Далее воспользуемся формулой

из которой имеем или

Ответ: 0,8 .

Задача 3. Решить неравенство

(4 балла)

Решение.




.
Решим последнее неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой нули числителя и знаменателя; причём нули знаменателя не включаем, а нули числителя включаем, так как неравенство нестрогое.



При переходе через точку 1 нет чередования знаков, так как берётся в чётной степени.

Решением неравенства является множество

Ответ:

Задача 4. Курс доллара по отношению к рублю ежемесячно растёт на 25%, а курс рубля по отношению к немецкой марке падает на 20% ежемесячно. Как изменится курс доллара по отношению к немецкой марке? Выгодно ли вкладчику сделать рублёвый вклад в банк с ежеквартальным начислением 94% от суммы вклада (по сравнению с конвертацией в доллары)?

(5 баллов)
Решение.

Пусть в начале курс доллара к рублю составлял рублей за 1 доллар, а курс рубля к немецкой марке составлял марок за 1 рубль. Тогда курс доллара по отношению к немецкой марке составлял марок за один доллар.

Через 1 месяц курс доллара к рублю составит рублей за 1 доллар, а рубля к марке марок за 1 рубль, а значит курс доллара по отношению к немецкой марке станет равным марок за 1 доллар, т.е. не изменится.

Если вкладчик рублей вложит в банк с ежеквартальным начислением 94%, то через 3 месяца (квартал) он получит рублей. Если же он переведёт их в доллары, то у него будет долларов, а 1 доллар через 3 месяца станет равным рублей, т.е. у него окажется

рублей, что больше чем рублей. Итак, не выгодно делать рублёвый вклад по сравнению с конвертацией в доллары.
^ Ответ: Не изменится. Не выгодно.
Задача 5. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания. (6 баллов)
Решение. Центр окружности, проходящей через точки касания окружностей лежит на пересечении общих касательных к этим окружностям и следовательно на пересечении биссектрис треугольника, соединяющего центры касающихся окружностей, т.е. окружность, проходящая через точки касания является вписанной в указанный треугольник, стороны которого равны сумме соответствующих радиусов, так как отрезки, соединяющие центры окружностей с точкой касания перпендикулярны общей касательной и следовательно лежат на прямой, проходящей через центры исходных окружностей. Поэтому стороны указанного треугольника равны: 3, 4, 5.

Так как , то треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения катетов . По формуле

,

где - стороны треугольника найдем радиус вписанной окружности
.



Ответ: 1.

Задача 6. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение
? ( 9 баллов)
Решение. Сделаем замену и получим уравнение
,

которое на отрезке имеет ровно столько же корней, сколько исходное уравнение на . Так как , а
, то

получим равносильное уравнение . Умножая обе части
этого уравнения на (не является корнем уравнения), получим

уравнение или т.е.
или .

Пользуясь формулой , получим равносильное уравнение . Если , то и на имеем два корня . Если же , то и на имеем ещё два корня . Итак, исходное уравнение имеет на 4 корня.

Ответ: 4.

Похожие рефераты:

Задачи 2 тура 2010/2011 года Задача 1
Задача Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см Медианы, проведённые к этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь...
Председателя Агентства Республики Казахстан по делам строительства...
Для решения этих задач планируется разработка Генеральной схемы развития территории Республики Казахстан (далее – Генсхема)
«Методы решения экспериментальных задач по физике» 11 класс
Учитывается более высокий уровень самостоятельности учащихся, активизация их познавательной деятельности, формирование и дальнейшее...
1. Понятие алгоритма. Свойства и виды алгоритмов Учеба, работа, личные...
В таких случаях принято говорить об алгоритме решения задач. Понятие алгоритма считается одним из древнейших. Оно возникло задолго...
31 турнир городов, осень 2009 г
Ниже приведены решения задач осеннего тура (сложный вариант) 31-го Международного математического Турнира Городов
Простейшие алгебраические неравенства, рациональные неравенства
Общая схема решения задач. Четыре основные этапа решения задач. Демонстрация применения этих этапов на примерах из следующих разделов...
Приглашаются все желающие на разбор задач второго тура
Задача в конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью...
Задача №1
Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Здесь предложены учащимся задачи, которые не включены...
Графический способ решения задач линейного программирования
Ознакомиться с технологией решения задач линейного программирования графическим способом
Сборник задач по аналитической химии титриметрические и гравиметрические...
Каждой теме предшествует небольшое теоретическое введение, облегчающее понимание решения задач, приводятся основные расчетные формулы,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза