Решение а Зададим плоскость по точке и направляющим векторам и


Скачать 77.49 Kb.
НазваниеРешение а Зададим плоскость по точке и направляющим векторам и
Дата публикации14.02.2014
Размер77.49 Kb.
ТипРешение
referatdb.ru > Математика > Решение
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
В произвольной аффинной системе координат плоскость задается уравнением



– общее уравнение плоскости.

Вектор, параллельный плоскости, называется направляющим вектором плоскости. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором (вектором нормали) плоскости.

Пусть в правой декартовой системе координат заданы точка и векторы Уравнение плоскости, проходящей через точку М и имеющей направляющие векторы и , имеет вид



Уравнение плоскости проходящей через точку М и имеющей вектор нормали , имеет вид



Если плоскость П имеет уравнение , то вектор является ее нормальным вектором, а расстояние от точки М до этой плоскости вычисляется по формуле



Если и – векторы нормали плоскостей и , то косинус угла между плоскостями находится по формуле


Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. Параметрическое представление прямой, проходящей через точку М и имеющей направляющий вектор :



Каноническое уравнение прямой по точке М и направляющему вектору



Пусть - вектор нормали плоскости, - направляющий вектор прямой, тогда синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:




Задачи с решениями
Во всех задачах система координат – правая декартова.

1. Вершины тетраэдра имеют координаты .

a) Составить уравнение плоскости ;

б) Составить уравнение плоскости ,проходящей через точку  перпендикулярно прямой ;

в) Найти расстояние от точки до плоскости ;

г) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение.

а) Зададим плоскость по точке и направляющим векторам и .

Так как , , то
Таким образом, или .
б) Составим уравнение искомой плоскости по точке  и вектору нормали



в) Расстояние от до найдём по формуле


г) Способ 1: по уравнению плоскости находим её вектор нормали . Вектор будет являться вектором нормали и для искомой плоскости, поскольку она параллельна . Составим уравнение плоскости по точке C и вектору нормали :



Способ 2: Плоскости параллельны, поэтому их уравнения отличаются лишь свободным членом. Поэтому уравнение искомой плоскости имеет вид . Чтобы найти коэффициент , используем тот факт, что точка лежит в плоскости, значит, её координаты удовлетворяют уравнению .



Следовательно, искомая плоскость имеет уравнение .
^ 2. Составить уравнение плоскости , которая параллельна плокости и касается сферы .

Решение. Так как данная и искомая плоскости параллельны, то их уравнения отличаются лишь свободным членом, т.е. уравнение искомой плоскости имеет вид .

Плоскость касается сферы, поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, . Так как , то



Отсюда



Действительно, искомых плоскостей две, и их уравнения


3. Найти угол между плоскостями и .

Решение. Найдем векторы нормали плоскостей: . В качестве вектора нормали первой плоскости также можно взять вектор , т.к. он коллинеарен вектору . Таким образом


4. Найти параметрическое представление прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой

Решение. Найдем направляющий вектор прямой L . Для этого возьмем 2 произвольные точки на L. Пусть , тогда



получили точку . Пусть теперь , тогда



получили точку . Очевидно, вектор – направляющий вектор прямой L , значит, и для искомой прямой он также является направляющим, т.к. прямые параллельны. Находим параметрическое представление прямой по точке M и направляющему вектору



Также можно записать еще одно представление искомой прямой, если учесть, что вектор также является направляющим




5. Найти точку симметричную точке относительно плоскости .

Решение. Точка лежит на прямой ^ L , проходящей через т. M перпендикулярно плоскости . Очевидно, вектор нормали плоскости будет направляющим вектором прямой L . Зададим L по точке и вектору



Найдем координаты точки пересечения прямой L и плоскости .



Подставляем значение параметра в представление прямой и получаем точку . Вектор равен вектору , поэтому . Отложив вектор от точки О, получим точку .
6. Доказать, что прямые скрещиваются и найти расстояние между ними.



Решение. Найдем направляющие векторы этих прямых: . Векторы неколлинеарны, значит, прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Чтобы выяснить это, проверим, имеет ли решения система уравнений



(Параметр t в представлении прямой мы заменили на s, т.к. параметры в представлениях и независимы друг от друга, поэтому при одновременной работе с ними их нельзя обозначать одной буквой). Легко проверить, что эта система не имеет решений, поэтому общих точек у прямых нет, значит, они скрещиваются.

Известно, что через любые скрещивающиеся прямые можно провести пару параллельных плоскостей и расстояние между плоскостями равно расстоянию между прямыми.

Векторы и являются направляющими векторами плоскости , поэтому можно составить ее уравнение по этим векторам и какой-нибудь точке прямой . Возьмем, например, значение параметра t = 0 и получим точку с координатами . Таким образом,



Возьмем произвольную точку на прямой (например, при t = 0 получим точку ) и найдем расстояние от этой точки до плоскости – это и есть расстояние между и , а, следовательно, и между и .




7. Определить взаимное расположение прямых



Решение. Найдем направляющие векторы прямых: . Векторы коллинеарны, поэтому прямые либо параллельны, либо совпадают.

Возьмем какую-либо точку на прямой , например . Если М принадлежит , то прямые совпадают, в противном случае они параллельны.

Точка М лежит на прямой , если ее координаты удовлетворяют системе уравнений



Находим, что значение является решением системы, поэтому , и, следовательно, прямые совпадают.

Задачи для самостоятельного решения


  1. Принадлежат ли плоскости точки и ? Указать еще несколько точек, принадлежащих этой плоскости.

  2. Пусть Составить уравнение плоскости и найти точки ее пересечения с координатными осями.

  3. Найти объем тетраэдра , если

  4. Составить уравнение плоскости, которая параллельна плоскости и проходит на расстоянии 5 от нее.

  5. Определить взаимное расположение плоскости и сферы .

  6. Две грани куба лежат в плоскостях . Найти объем куба.

  7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно плоскостям .

  8. Найти угол между плоскостями

а) и ;

б) и ;

в) и .

  1. Принадлежат ли прямой точки и ? Указать еще несколько точек, принадлежащих этой прямой.

  2. Найти угол между прямой и плоскостью

а) и ;

б) и ;

в) и .

  1. Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями, если .

  2. Записать параметрическое представление прямой



  1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно прямым



  1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно прямой и перпендикулярно плоскости .

  2. Определить взаимное расположение прямых

а) ; б) ;

в) ; г) .

  1. Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки на координатные плоскости.

  2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .

  3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и через прямую .

  4. Определить взаимное расположение прямой и плоскости, в случае пересечения найти точку пересечения

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

  1. Написать уравнение плоскости, зная, что точка служит основанием перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

  2. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью .

  3. Написать уравнение и найти длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

  4. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .

  5. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

  6. Составить уравнение проекции прямой на плоскость .

  7. Найти расстояние между прямыми и .

  8. Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости перпендикулярно данной прямой.

  9. Найти общий перпендикуляр к прямым и .

  10. Через точку пересечения плоскости с осью провести прямую так, чтобы она принадлежала этой плоскости и была параллельна плоскости .

  11. Найти параметрическое представление прямой, которая проходит через начало координат и пересекает каждую из прямых и .

  12. На прямой найти точку, равноудаленную от точек и .

  13. Написать уравнение сферы, вписанной в тетраэдр, образованный координатными плоскостями и плоскостью .

  14. Написать уравнение биссекторной плоскости двугранного угла, образованного плоскостями и .

Похожие рефераты:

Решение. В момент первого удара о плоскость скорость шарика равна,...
Маленький шарик падает с высоты h на наклонную плоскость, составляющую угол α = 45о с горизонтом. Найти расстояние между точками...
Решение со знаком «плюс»
Рычаг изогнут так, что его стороны ав = вс = сd и образуют прямые углы. Ось рычага – в точке В. Сила f приложена перпендикулярно...
Причины солнечных затмений
Плоскость земной орбиты пересекается с небесной сферой по эклиптике. Плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости эклиптики под...
4 Частные производные
Пусть функции,,,,, определены в некоторой окрестности точки ℝm и непрерывны в точке. Функция определена в окрестности точки ℝn и...
Решение задач домашнего задания от 19. 02. 2011 тема «Четырехугольники»
Диагонали вписанного в окружность четырехугольника авсd пересекаются в точке Е. Известно, что авс=78°, всd=84°, аеd=100°. Найдите...
Основы теории напряженного состояния напряженное состояние в точке....
При изучении понятия напряжения (лекция 1) отмечалось, что напряжение в любой точке нагруженного тела зависит от ориентации сечения...
Репродуктивные установки современной молодежи в Республике Беларусь
Репродуктивная установка – это предрасположенность индивида с нормальной плодовитостью к рождению определенного числа детей и является...
Задание на проектирование
Предусмотреть возможность подключения к начальной точке (указанной в Приложении А)
Зададим вопрос, который для последователей «внутренних» стилей покажется...
Этот вопрос не требует ответа, ибо проблема приобщения к собственной традиции вообще равна проблеме смысла человеческого существования...
Исследование технологии сборки-сварки фермы подъемника и выбор оптимальной...
Нет в полном объёме национальных тнпа регламентирующих требования безопасности при проектировании, изготовлении, ремонте, реализации,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза