Решение. Закон движения и вектор скорости связаны дифференциальным уравнением


Скачать 192.15 Kb.
НазваниеРешение. Закон движения и вектор скорости связаны дифференциальным уравнением
Дата публикации25.02.2014
Размер192.15 Kb.
ТипРешение
referatdb.ru > Математика > Решение
Примеры решения задач по кинематике

Пример 1. Скорость материальной точки изменяется по закону , где , с3, . Определить закон движения, если в начальный момент времени t=0 тело находилось в начале координат, т.е. . Определить вектор ускорения.

Решение. Закон движения и вектор скорости связаны дифференциальным уравнением

.

В нашем случае из условия запишем компоненты скорости , ,

; ; .

По определению:

; ; .

; ; .

Разделим переменные и проинтегрируем

; .

; ;

.

Получим:

;

,

где с1, с2 – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий. Учитывая, что х=0, y=0 при t=0 получаем, с1=0, , с3=0. Тогда закон движения материальной точки:

.

Зная компоненты вектора скорости найдем компоненты вектора ускорения

; ; ;

; ; ;

.

Ответ:

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону . Найти величину и направление полного ускорения точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки:

;

; ,

где ,  тангенциальное и нормальное ускорение точки;

 угловое ускорение;

 угловая скорость.

,

.

Согласно полученному выражению, угловое ускорение не зависит от времени, т.е. .

Тогда

.

Из рис. 1.2 найдем направление полного ускорения

, т.е. .

Ответ:

Пример 3.Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнениями S1 = At + Bt2 и S2 = Ct + Dt2 + Ft3. Определить относительную скорость автомобилей через 5 с, если A = 5 м/с, B = 6 м/с2, C = 1 м/с, D = 1 м/с2, F = 1 м/с3.

Решение. Зная зависимость пройденного пути от времени, можно найти скорости первого и второго автомобиля:

1 = = A + 2Bt; 2 = = С + 2Dt + 3Ft2.

Для определения скорости первого автомобиля относительно второго (подвижная система отсчета) воспользуемся правилом сложения скоростей:

,

где – скорость первого автомобиля относительно второго.

Это векторное уравнение. Если ось координат направить по ходу движения автомобилей, то в проекции на эту ось получим:

= 12;

= A + 2BtC – 2Dt – 3Ft2;

= (AC) + 2(BD)t – 3Ft2;

= (5 – 1) + 2(6 – 1)5 – 3∙1∙25 = –21 м/с.

Знак «минус» говорит о том, что первый автомобиль удаляется от второго назад со скоростью 21 м/с.

Ответ: = –21 м/с.

Пример 4. Движение материальной точки, перемещающейся по прямой, задано уравнением S = 4t3 + 2t + 1. В интервале времени от 1 до 2 с найти мгновенные скорости и ускорения в начале и конце интервала, среднюю скорость движения.

Решение. Мгновенная скорость – первая производная от координаты по времени:

= = 12t2 + 2.

Скорости в начале и конце интервала равны:

1 = 12t12 + 2 = 12∙12 + 2 = 14 (м/с);

2 = 12t22 + 2 = 12∙22 + 2 = 50 (м/с).

Ускорение – это первая производная от скорости по времени:

a = = 24t.

В начале и конце интервала ускорения равны:

а1 = 24t1 = 24 (м/с2); а2 = 24t2 = 48 (м/с2).

Средняя скорость ‹› движения точки определяется как отношение пути ^ S, пройденного точкой за заданный интервал времени t, к этому интервалу:

= =

› = = ;

› = = .

Ответ: 1 = 14 м/с; 2 = 50 м/с; а1 = 24 м/с2; а2 = 48 м/с2; ‹› = 30 м/с.

Пример 5.С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за 2 часа пролететь точно на север 720 км, если во время полета дует постоянный северо-западный ветер под углом 30º к меридиану со скоростью 36 км/ч?





С

В

З

Ю

Решение. Скорость будем измерять в км/ч, как это делает летчик, определяя ее по приборам. Чтобы попасть в пункт назначения, самолету необходимо лететь под углом α к меридиану, отклоняясь на запад (см. рисунок). Обозначим искомую относительную скорость как , а результирующую абсолютную скорость, направленную вдоль меридиана, как . Ее модуль . 1

Из рисунка видно, что . Модуль вектора скорости найдем из векторного треугольника скоростей, используя теорему косинусов:

;

; ≈ 392 км/ч.

Таким образом, скорость полета самолета больше . Угол можно найти по теореме синусов:

, откуда = 4,5º.

Ответ: ≈ 392 км/ч; = 4,5º.

Пример 6. Стрела пущена из лука вертикально вверх с начальной скоростью = 40 м/с. Определить: 1) через какое время и с какой скоростью стрела упадет на землю; какой путь будет пройден ею за это время; 2) через какое время она окажется на высоте h = 35 м.

Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, ось ординат направим вертикально вверх, начало отсчета совместим с точкой бросания (см. рисунок). Считая, что движение стрелы прямолинейное и равнозамедленное, уравнения движения в проекциях на ось ОY будут иметь вид:1

y = 0t; (1)

y = 0 – gt. (2)

1.  В момент падения на землю t = tпол, y = 0. Из уравнения (1) найдем время полета:

tпол = ; tпол = = 8 с.

Подставив tпол в уравнение (2), определим скорость падения стрелы:

.

Скорость падения равна по модулю начальной скорости и противоположна ей по направлению.

В верхней точке траектории = 0, из уравнения (2) найдем время подъема:

.

Путь, пройденный стрелой за время движения, равен S = 2Ymax. Значение Ymax определим из уравнения (1), подставив в него tпод (время подъема).

Ymax = , тогда S = ; [S] = = м; S = ≈ 160 м.

2.  Время подъема на высоту h определим, подставив в уравнение (1) значение y = h, тогда 35 = 40t – 5t2. Решая квадратное уравнение, получим t1 = 1 c; t2 = 7 c. Два значения для t указывают на то, что стрела на этой высоте побывает дважды: через 1 с (на подъеме) и через 7 с от начала движения (на спуске).

Ответ: t = 8 с; S = 160 м; t1 = 1 c; t2 =7 с.

Пример 7. На рисунке представлена зависимость ускорения а от времени t для материальной точки, движущейся прямолинейно. Определить скорость и координату х точки через t = 3 с после начала движения. В какой момент времени t1 точка изменит направление движения? 1

Решение. Из графика следует, что зависимость ускорения от времени можно представить в виде

a(t) = ABt, (1)

где A = 4 м/с2; В = 2 м/с3.

В случае прямолинейного движения скорость материальной точки при = 0 (условие задачи)

. (2)

Подставив в формулу (2) выражение (1) и проинтегрировав, получим искомую скорость:

;

;

.

Искомая координата

;

;

.

Точка изменяет направление движения в момент, когда скорость
= 0, т.е.

,

откуда

;

;

.

Ответ: = 3 м/с; х = 9 м; t1 = 4 c.

Пример 8. Тело брошено под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить этот угол, если максимальная высота подъема hmax меньше дальности полета S в n = 2,4 раза.

Решение. Кинематические уравнения движения тела в векторной форме:

; ; ,

где – радиус-вектор, определяющий начальное положение тела в выбранной системе отсчета; – начальная скорость тела; – ускорение свободного падения.1

Направив оси координат (см. рисунок) из точки начала движения ( = 0), получим уравнения движения в проекциях на оси Х и Y:

x = ; ; ; (1)

; ; . (2)

Из рисунка следует, что

; . (3)

Поскольку при у = hmax (в высшей точке траектории) = 0, из второго соотношения (2) время подъема

. (4)

Подставив формулу (4) в первое соотношение (2), найдем максимальную высоту подъема:

. (5)

В момент падения тела y(t) = 0, поэтому общее время движения из первого соотношения (2)

.

Из первого соотношения (1), используя формулу (4), дальность полета

. (6)

Разделив (5) на (6) и учитывая (3), найдем

. (7)

Согласно условию задачи hmax, поэтому из выражения (7)

,

откуда искомый угол

.

Ответ: .

Пример 9. Тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30º к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до точки А и до точки В (см. рисунок); максимальную высоту, которой достигает тело, дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. В обозначенной на рисунке системе координат составляющие скорости

; (1)

. (2)1,13

Координаты тела с течением времени меняются в соответствии с уравнением равнопеременного движения:

; (3)

. (4)

Время подъема тела найдем из условия, что в наивысшей точке подъема тела скорость = 0. Тогда из уравнения (2)

. (5)

Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъема, поэтому продолжительность полета из точки О1 до точки А равна:

. (6)

Максимальную высоту подъема найдём из уравнения (3), подставив в него время подъема из уравнения (5):

. (7)

Время полета до точки В найдем из уравнения (3), приравняв координату y к нулю (у = 0):

. (8)

Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время движения из уравнения (8):

. (9)

Проведем вычисления по формуле (6):

;





по формуле (8):







по формуле (7):





по формуле (9):







Ответ: tA = 1,22 с; = 2,29 с ; Hmax = 13,83 м ; xmax = 23,8 м.

Пример 10. По условию задачи 1.13 найти в момент приземления тела следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорение тела и радиус кривизны траектории.

Решение. Результирующая или мгновенная скорость в точке В (см. рисунок) находится как векторная сумма составляющих и :херня

или .

Составляющую в точке В найдем из уравнения (2) предыдущей задачи, подставив в него время движения tB из уравнения (8):



Тогда скорость в точке В







Для определения угла β, который составляет вектор скорости с горизонтальной осью Х, воспользуемся треугольником скоростей (см. рис.)







Построим в точке В треугольник ускорений. Тангенциальная составляющая ускорения направлена вдоль вектора мгновенной скорости в данной точке, т.е. по касательной к траектории. Нормальная составляющая ускорения направлена перпендикулярно к вектору мгновенной скорости .

Их векторная сумма

.

Тогда из рисунка находим:

; .

;

; ;

.

Радиус кривизны траектории в точке приземления определяем из уравнения

,

откуда

;

.

Ответ: = 19,48 м/с; β = 57º46′; аτ = 8,3 м/с2; аn = 5,23 м/с2;
R = 72,56 м.

Пример 11. Материальная точка движется по закону , где А = 2 м, В = 3 м. Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения точки.

Решение. По условию задачи движение материальной точки задается изменением радиус-вектора с течением времени:

. (1)

Сравнивая уравнение (1) с заданным, запишем движение точки координатным способом:

(2)

Определим проекции вектора скорости на оси координат:

(3)

Согласно выражению для мгновенной скорости



выражение для вектора скорости будет иметь вид:

. (4)

Определим проекции вектора ускорения на координатные оси:

(5)

Согласно выражению для мгновенного ускорения



запишем выражение для вектора ускорения:

. (6)

Для определения траектории движения точки исключим из системы уравнений (2) время. Для этого представим систему в виде

(7)

Возведя в квадрат левую и правую части первого уравнения в системе (7) и просуммировав уравнения, получим:

. (8)

Левая часть уравнения (8) равна 1, тогда

. (9)

Выражение (9) является уравнением параболы:

. (10)

Подставив в (10) данные из условия задачи, найдем траекторию движения точки:



Из полученного уравнения следует, что при у 0 траектория имеет вид параболы, расположенной выше оси х, по которой точка совершает колебательное движение.

Ответ: ; ;

.

Пример 12. Радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле тяготения Земли, описывается уравнением , где ; g – ускорение свободного падения; – орты координатных осей Х и Y. Определить момент времени после начала движения, когда вектор скорости точки направлен под углом = 35º к горизонту. Чему равна скорость в этот момент времени?

Решение. Согласно условию задачи

, (1)

откуда следует, что в начальный момент времени радиус-вектор .

Запишем, согласно уравнению (1), координаты точки (проекции радиус-вектора):



При этом ось Y направлена вертикально вверх.

Учитывая, что , получаем:

, (2)

откуда следует, что здесь мы имеем дело с движением тела, брошенного горизонтально (см. рисунок).аньке

Из рисунка следует, что



С учетом формул (2) , откуда искомый момент времени





.

Искомая скорость



.

Ответ: .

Пример 13. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота φ по закону ω = ω0φ, где ω0 = 3 рад/с, = 0,1 с1. В момент времени t0 = 0 угол φ0 = 0. Найти угловую скорость вращения тела для момента времени t = 2 c.

Решение. Согласно определению угловая скорость



Тогда по условию задачи

(1)

Разделим переменные в уравнении (1) и проинтегрируем полученное выражение:

(2)

Пределы интегрирования берутся из условия задачи:

;



;

(3)

Потенцируем уравнение (3):

(4)

Из (4) находится выражение для угла поворота:

(5)

Подставив (5) в заданный закон изменения угловой скорости, получим:



[ω] = рад/с; ω = 2,46 рад/с.

Ответ: ω = 2,46 рад/с.

Пример 14. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε = t, где = 0,02 рад/с3. Через какое время после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60º с ее вектором скорости?

Решение. Разложим вектор полного ускорения (см. рисунок) на составляющие и . Тогда

. (1)

Используя уравнение аτ = εR, запишем:

. (2)

С другой стороны, по определению

. (3)

Из уравнений (2) и (3) найдем:

. (4)

Разделим переменные в уравнении (4) и проинтегрируем его:

;1,27

;

. (5)

Нормальное ускорение с учетом выражения (5) запишется в виде

. (6)

Подставим в формулу (1) уравнения (2) и (6):

. (7)

Из уравнения (7) найдем искомое время вращения тела:







Ответ: t = 7 с.

Похожие рефераты:

Курс лекции по дифференциальным уравнениям
...
Тема 4 Касательная и нормальная плоскости
Поэтому в дальнейшем мы определим касательный вектор или вектор скорости кривой х1 = х1(t), …, хn = хn(t), как вектор (t) с координатами...
Дифференциал
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную X, искомую функцию y=f(X) и ее производные y',y''...
Коллоквиум №1 Вопросы к коллоквиуму по механике Предмет механики....
Кинематическое описание движения: радиус-вектор, скорость, вычисление пути проходимого частицы по функции скорости. Ускорение, нормальное...
Что является решением дифференциального уравнения?
...
Решение. Анализируя данные графики можно сделать следующие выводы
Задача Вектор скорости тела, которое соскальзывает с клина, изображен на рисунке Найдите скорость клина. Трение отсутствует. Углы...
Программа к госэкзамену по специальности "физика"
Способы описания движения материальной точки в векторной и координатной форме. Степени свободы твердого тела. Разложение движения...
Заочная физическая школа при Виртуальной академии школьников
Для решения этих задач Вам необходимо знать: уравнения прямолинейного равномерного движения, прямолинейного равнопеременного движения...
Решение задач по теме «Графики пути и скорости при равномерном движении»
Аоз о понятии «равномерное движение», формулах вычисления пути, времени и скорости, единицах измерения данных физических величин,...
Решение задач по теме «Графики пути и скорости при равномерном движении»
Аоз о понятии «равномерное движение», формулах вычисления пути, времени и скорости, единицах измерения данных физических величин,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза