Научная работа по математике


Скачать 142.56 Kb.
НазваниеНаучная работа по математике
Дата публикации11.03.2013
Размер142.56 Kb.
ТипНаучная работа
referatdb.ru > Математика > Научная работа
ГУО «Средняя общеобразовательная школа №3 г. Свислочь»

Научная работа по математике

УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Лукша Сергей,

учащийся 9 «А» класса
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по вышеуказанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курса алгебры, так и дополнительный материал.

Целью работы является:

1. Ознакомиться с основными типами уравнений высших степеней.

2. Выяснить, существуют ли общие формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n-й степени.

  1. Изучить, обобщить и систематизировать основные методы и приемы решения уравнений высших степеней.

  2. Показать практическое применение данных методов на примерах решения конкретных уравнений.

3. Основная часть

3.1 Теория многочленов

Многочленом с одной переменной х степени n

называют выражение вида

P(х)=аx+ax+ … +ax+a, где a, …, а, а - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем а≠0 (n – целое неотрицательное число), называют старшим коэффициентом многочлена Р(х).Степенью уравнения Р(х)=0 называют степень многочлена Р(х), т.е. наибольшую из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Например, уравнение (х³-1)² +х- 2 имеет пятую степень, так как после раскрытия скобок получим равносильное уравнение х-2х³+3=0 пятой степени.

Остановимся на правилах, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

  1. Многочлен n-й степени имеет не более n корней, причем корни кратности т встречаются ровно т раз

  2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень

  3. Если α – корень Р(х), то Р(х)=(х-α).Q(х), где Q(х) – многочлен степени (n-1)

  4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена

  5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней

  6. Для многочлена третьей степени Р(х)=ах³+вх²+сх+d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р(х)=а(х-α)(х-β)(х-γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена

Р(х)=а(х-α)(х²+βх+γ)

  1. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение

двух квадратных трехчленов

  1. Многочлен f(х) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(х), такой что f(х)=g(х).q(х). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком» или схема Горнера


При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера:

Пусть требуется разделить многочлен

Р(х)=ахх+…+ах+а

на двучлен х-с

Обозначим частное от деления как многочлен

Q(х)=вхх+…+вх+в, а остаток – r.

Значение с, коэффициенты многочленов Р(х), Q(х) и остаток r запишем в следующей форме:




а

а

а



а

а

с

в= а

в= а+с в

в= а+с в



в= =а+св

r= а+cв


В этой схеме каждый из коэффициентов в, в , …, в получается из предыдущего числа нижней строки умножением на число с и прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым числом (коэффициентом). Если какая-либо степень х в многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю.

Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

Q(х)=вхх+…+вх+в

и результат деления, если r=0,

=Q(х)+ или если r≠0,

Р(х)=(х-c) Q(х) + r

  1. Теорема Безу

Остаток r от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен значению многочлена Р(х) при х=с, т.е. r=Р(с).

При делении многочлена Р(х) на двучлен х-с имеем равенство

Р(х)=(х-c) Q(х) + r

Оно справедливо, в частности, при х=с, т.е. Р(с)=r

    1. (следствие теоремы Безу) Для делимости многочлена Р(х) на двучлен х-с необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем многочлена Р(х)

  1. ^ Теорема Виета: Если х, …,х - действительные корни многочлена Р(х)=ахх+…+а, то имеют место следующие равенства:

х+…+х= - ,

х. х+ х+…+х. х=,

х. х. х+…+х. х= - ,



х. х. х… х= (-1)

^ 3.2 Основные типы уравнений высших степеней (а≠0)


Биквадратные

ах+вх²+с=0

Двучленные

ах - в =0

Трехчленные

ах+вх+с=0

Симметрическое 3-й степени

ах³+вх²+вх+а=0

Симметрическое 4-й степени

ах+вх³+сх²+вх+а=0

Уравнение 4-й степени общего вида

х+ах³+вх²+сх+d=0

Модифицированное

х+ах³+вх²+сх+d=0

Возвратное уравнение

ахх+…+ах+ а=0

Дробно-рациональное уравнение


…+=0



^ 3.3 Основные методы и приемы решения уравнений высших степеней
1.Введение новой переменной
Этот метод заключается в том, что для решения уравнения f(х)=0 вводят новую переменную (подстановку) t=х или t=g(x) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение φ(t). Решая затем уравнение φ(t), находят его корни: (t, t, …, t). После этого получают совокупность n уравнений

q(х)= t, q(х)=t, …, q(х)=t, из которых находят корни исходного уравнения.

^ 2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

^ 3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Замечание: Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Последнее уравнение показывает, что нужно рассмотреть лишь варианты:

а=-1,с=2; или а=1,с=-2; или а=2,с=-1; или а=-2, с=1

Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них является решением системы.

^ 4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применении теорем:

  1. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

  2. Для того, чтобы несократимая дробь ( р€Z, q€N) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

^ 5. Симметрические уравнения

Уравнение вида ах³+вх²+вх+а=0 называют симметрическим уравнением

3-й степени.

Для решения таких уравнений будут полезны следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

а) Возвратное уравнение f(х)=0 нечетной степени всегда имеет корень, равный (-1).

Действительно, сгруппируем слагаемые в левой части:

а(х³+1)+вх(х+1)=0

Затем (х+1)(ах²+(в-а)х+а)=0 , отсюда следует,что



б) Возвратное уравнение не имеет корней, равных нулю.

в) Частное от деления многочлена f(х) нечетной степени на (х+1) снова является возвратным многочленом.

    1. Уравнение вида ах+вх³+сх²+вх+а=0 называют симметрическим уравнением 4-й степени

Алгоритм решения подобных уравнений:

а) разделить обе части уравнения на х², при этом не происходит потери корня, т.к х=0 не является корнем исходного уравнения.

б) группировкой привести уравнение к виду:

а(х²+)+в(х+)+с=0

в) ввести новую переменную t=х+, тогда t²=х²+2+.

Выразить t²-2=х²+

г) Решить квадратное уравнение в новых переменных

д) сделать обратную подстановку

Уравнение вида (х+а)+(х+в)=с, в частности

(х+а)+(х+в)=с, решаются заменой t=х+, используя метод симметризации.

В некоторых случаях может быть эффективным метод разложения левой части уравнения f(х)=0 на множители.

^ Уравнение вида (х+а)(х+в)(х+с)(х+d)=А, где а+d=с+в

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, затем введении новой переменной.

Уравнение вида (х+а)(х+в)(х+с)(х+d)=Ах² , где ав=сd

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х² и решении совокупности квадратных уравнений

4.^ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

4.1. Решение уравнений высших степеней
1 Решить уравнение

.

Разложим левую часть уравнения на множители





Переносим в левую часть и раскладываем полученный многочлен на множители

,тогда

2x + 2 = 0 или –3x2 – 6x + 24 = 0. Решая эти уравнения, получаем корни x1 = -1, x2 = -4, x3 = 2.

Разложение на множители позволило свести решение кубического уравнения к решению квадратного и линейного уравнений.

Ответ: -4; -1; 2.
2 Решить уравнение



Разделим обе части уравнения на (= 0 не является решением уравнения)

,

тогда



.

Пусть тогда Получим уравнение



По теореме Виета корни уравнения: Значит,

или .

Решая эти уравнения, находим корни



Введение замены позволяет понизить степень уравнения и свести его к решению квадратного уравнения.

Ответ: ; 1; 9;

3 Решить уравнение



Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного и того же выражения .

,



Разложим числитель на множители

.

для любого . Сокращая дробь, получим равносильное уравнение

,

корнями которого являются

Ответ: -5; 5.
4 Решить уравнение


Разделив обе части уравнения на ( не является решением данного уравнения).

.

Полагая , получим уравнение



корнями которого являются .

Значит, или . Первое уравнение не имеет решений на множестве R, а корни второго .

Ответ: 1; 6.

Данный пример показывает, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.

5 Решить уравнение



Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию

Тогда,

Пусть , получим уравнение



Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни



Значит,

или

Решениями уравнений являются

Ответ: -2-; -6; -2+; 2.

6 Решить уравнение



ОДЗ:

Пусть , тогда Получим уравнение



Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду



Корни этого уравнения следовательно,

Ответ: -3; 1.

7. Решить уравнение

х³-х²-3х-1=0

Решение: Корень х= - 1 находим подбором и делим по схеме Горнера:




1

- 1

- 3

- 1

- 1

1

- 2

- 1

0

Получим:

(х+1)(х²-2х-1)=0

Ответ: -1; 1±.
8. Решить уравнение (χ-1) χ (χ+1) (χ+2) = 24
Решение. В выражениях подобного вида не следует спешить

раскрывать скобки. Надо найти подходящий способ группировки.

В данном примере он будет таким:

[(χ-1)(χ+2)][χ(х+1)]=24,

т.е. группируем множители так, чтобы при перемножении их попарно

совпадали первые и вторые коэффициенты: (χ²+χ-2) (χ²+χ)= 24.

Введем замену: χ²+χ=t. Уравнение примет вид: t²-2t-24=0. Отсюда

t= - 4 или t= 6. Получим два уравнения:
 ⇔  ⇔

Ответ: -3; 2.
9. Решить уравнение (2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x².

Решение. Непосредственной проверкой устанавливаем, что x=0

не является корнем данного уравнения. Тогда вынесем x из каждой

скобки и перейдем равносильному уравнению:



С учетом того, что x≠0, запишем равносильное уравнение:

(2х+ - 3)(2х++5)=9

Сделаем замену:

Отсюда t(t+8)=9 ⇔t²+8t-9=0. Теореме Виета t=1 или t=-9.

 ⇔⇔

Ответ: ,.

10. Решить уравнение ( x+2) (x+3) (x+8) (x+12) = 4x2.
Решение. Сгруппируем множители левой части уравнения так,

чтобы при перемножении были равны первый коэффициент и свободный член:
[(x+2) (x+12)] [(x+3) (x+8)]= 4x2;

(x2+14x+24x) (x2+11x+24)= 4x2.
Поступим аналогично предыдущему примеру. Так как x=0 не

является корнем уравнения, вынесем его из каждой скобки: x (x++14) x (x++11)= 4x2.

Данное уравнение равносильно:
(x+ +14) ( x++ 11)= 4.

Заменим x++11=t. Тогда уравнение примет вид:

(t+3)t=4 t2+3t-4=0 t= - 4 или t=1.

Вернемся к переменной x:



Ответ: - ; - 6 ; - 4 ;
11. Решить уравнение (χ+1)⁴+(χ+5)⁵=32.

Решение. Введем замену: t=. Выразим χ через t:x=t

Тогда x+1=t-2; x+5=t=2. Исходное уравнение примет

следующий вид:

(t-2)⁴+(t+2)⁴=32 ⇔ [(t-2)²]²+[(t+2)²]²=3 ⇔ (t²-2t+4)²+(t²+2t+4)²=32.

Преобразуем полученное уравнение:

t⁴+4t²+16-4t³+8t²-16t+t⁴+4t²+16+8t²+16t+4t³=32;

2t⁴+24t³=0 ⇔ 2t²(t²+12)=0

Отсюда t=0. Тогда x=-3.

Ответ: -3.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n– ой степени нет . В данной работе на конкретных примерах рассмотрели различные способы понижения степени уравнений .

Трудно решать уравнения третьей степени и выше. Такие уравнения часто встречаются в олимпиадных заданиях по математике (в частности, такие задания предлагала Ивьевская интернет-олимпиада по математике), задания такого характера встречаются в различных пособиях для подготовки к централизованному тестированию по математике, также уравнения степени выше 2-й присутствуют в сборниках экзаменационных материалов на основе базового и среднего образования.

И хотя при решении уравнений высших степеней нет «общих рецептов», многое зависит от сообразительности, наблюдательности и опыта, я считаю, что материал данной работы поможет сориентироваться в многообразии различных методов решения уравнений, выбрать наиболее подходящий и успешно справиться с заданием.

Данная работа адресуется учащимся, желающим углубить свои знания по решению уравнений высших степеней, занимающимся подготовкой к централизованному тестированию, а также окажет помощь при подготовке к различным видам олимпиад по математике.

Похожие рефераты:

«Содержательные аспекты внеклассной работы по математике»
...
Внеклассная работа по математике
Они позволяют объединить учение и игру, углубить знания школьников и расширить их кругозор, привить детям любовь к математике и ее...
Уо «белорусский государственный экономический университет» сборник...
Ключевые слова: дипломная работа, курсовая работа, реферат, научная работа, магистерская диссертация, организация выполнения, организация...
Аоо «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная)...
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная...
Какая задача по математике может называться нестандартной?
Умение решать нестандартные задачи приобретается практикой. Не зря говорят, что математике нельзя научиться, глядя, как это делает...
Аоо «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная)...
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников старшей школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная...
Аоо «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная)...
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная...
Аоо «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная)...
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная...
Аоо «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная)...
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная...
Аоо «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная)...
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза