Самуйлов Александр Захарович вычислительная математика 1


Скачать 236.03 Kb.
НазваниеСамуйлов Александр Захарович вычислительная математика 1
страница2/3
Дата публикации11.03.2013
Размер236.03 Kb.
ТипЗадача
referatdb.ru > Математика > Задача
1   2   3

Задача 4. Проверить определённость системы:



Если система определённая, найти решение матричным методом по формуле

.

Выполнить проверку решения.
5. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.

Системы нелинейных уравнений



или, в векторной форме, , решают практически только итерационными методами: пусть известно некоторое приближение к корню , тогда следующее приближение находят по формуле

,

где – решение системы линейных уравнений



Данный метод решения системы нелинейных уравнений называется методом Ньютона.

Итерации методом Ньютона продолжают до тех пор, пока не будет получено , где – заданная точность решения.

Нулевое приближение в случае двух переменных можно найти графически: построить на плоскости кривые и и найти точки их пересечения. Для трёх и более переменных удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.
^ Пример. Решить методом Ньютона с точностью систему








^ Решение. Графически находим начальное приближение , .

Метод Ньютона запишем в координатной форме:

,

.

, .

Система для определения и имеет вид




, , ,



^ Окончательный (рабочий) вид системы:





^ Теперь можно начинать итерации. Для первой итерации требуются значения и . Их находим, решая систему:









, ,
,

Строим систему и вычисляем и для второй итерации:









, ,

, .

Неравенство выполняется: , , поэтому итерации прекращаем.

Ответ: , .
Задача 5 . Решить методом Ньютона с точностью систему



Выполнить проверку решения.
6. Интерполирование функций.
Пусть задана функция и нужно вычислить её значение при . Часто оказывается, что нахождение значения очень трудоёмко, а если задана таблицей и в таблице нет значения , то и невозможно. Тогда функцию заменяют приближённой формулой , которая просто вычисляется. Такую замену называют аппроксимацией функции , а функция называется аппроксимирующей. Затем при всех значениях аргумента из некоторого промежутка полагают .

Подобрать функцию , которая достаточно точно аппроксимирует функцию на промежутке , не просто. Часто в качестве используют многочлен , который строится методом интерполирования.

Рассмотрим этот метод.

Пусть функция задана таблицей

З









. . .

. . .






адача интерполирования ставится в следующей форме: найти многочлен степени не выше , значения которого в точках равны значениям данной функции . Многочлен называется интерполяционным, а точки называются узлами интерполяции. Узлы интерполяции называются равноотстоящими, если .

Конечными разностями функции называются разности

конечные разности первого порядка,

конечные разности второго порядка,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

конечные разности го порядка.

Конечные разности записывают в таблицу. Таблица при имеет вид:






































































Конечные разности вычисляют и записывают, начиная с низа соответствующего столбца. Верхняя (подчёркнутая) строка таблицы конечных разностей используется при составлении формулы многочлена .

Обозначим , тогда интерполяционная формула (формула Ньютона) записывается в форме:

.

Степень следует выбирать так, чтобы разности в столбце были практически постоянными.

При замене функции многочленом возникает погрешность аппроксимации .

При получим частный случай – линейную интерполяцию

,

а при – квадратичную интерполяцию

.

^ Пример. Функция задана таблицей:



























Найти .

Решение. Функцию аппроксимируем многочленом

и положим ^ . Для построения вначале определим степень , для этого составим таблицу конечных разностей























































В столбце разности практически постоянны, поэтому можно взять , т. е. использовать линейную интерполяцию .

В этой формуле , , , поэтому , тогда

.

Оценим погрешность результата по формуле ; .

^ Таким образом, погрешность может повлиять только на шестой десятичный знак.


















































Задача 6. Функция задана таблицей

Найти значение для методом аппроксимации функции интерполяционным многочленом. Оценить погрешность результата.

7. Численное интегрирование.

Пусть требуется найти определённый интеграл . Выразить интеграл через элементарные функции удаётся редко, а компактный и удобный для доведения до числа ответ получается еще реже. Поэтому обычно заменяют такой аппроксимирующей функцией, чтобы интеграл от неё легко вычислялся. Возьмём простейшую аппроксимирующую функцию–многочлен нулевой степени, т. е. константу. Эту константу определим как значение подинтегральной функции в середине промежутка интегрирования , тогда . Формула называется формулой средних. Геометрический смысл формулы средних состоит в том, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью прямоугольника.

Длина отрезка не мала, поэтому погрешность формулы средних может быть большой.

Для повышения точности на промежутке выбирается множество точек . Совокупность этих точек называется сеткой, каждую из точек называют узлом сетки. Сетка называется равномерной, если . Величина называется шагом сетки.

С учётом этой терминологии формулировка звучит так: для повышения точности вводят достаточно густую сетку . Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и на каждом шаге применяют формулу средних, получается обобщённая формула средних . На равномерной сетке формула упрощается: . Для оценки погрешности приближённого значения интеграла можно сгустить сетку (например, увеличить количество узлов в два раза) и повторно вычислить интеграл, тогда оценкой погрешности будет величина .
^ Пример. Вычислить , определить точность полученного результата.

Решение. Интеграл не берущийся, поэтому получить его значение можно только численными методами.

Разобьём промежуток на 5 шагов, тогда . Используем обобщённую формулу средних: , . Находим .

. с точностью .

Задача 7. По формуле средних вычислить интеграл с точностью .
1   2   3

Похожие рефераты:

Местоположение: г. Астана, Казахстан
Школы Наук и Технологий.  Основанная в 2011 году, Школа вдвое расширит сферу своей деятельности в наступающем году, предлагая новые направления...
Республики казахстан
Дискретная математика” для специальности 5В070400 “Вычислительная техника и программное обеспечение”
01. 01. 07 – вычислительная математика
Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 23 августа 2007 г. №138
Резюме Кривцанов Александр Евгеньевич Контактные данные 26. 03. 1992 г р. E-mail
Вычислительная практика на территории ао казчерметавтоматика г. Караганда в 2012 году
Программа дисциплины Форма для студентов ф со пгу 18. 2/07 Министерство...
«Математика», 050602 «Информатика», 050604 «Физика», 050703 «Информационные системы», 050716 «Приборостроение», 050704 «Вычислительная...
Титульный лист программы Форма обучения по дисциплине ф со пгу 18. 3/37 (Syllabus)
Дискретная математика и математическая логика специальности(ей) 5В070400 Вычислительная техника и программное
Коржик Александр Иванович
Образование: Белорусский Государственный Педагогический Университет, Математический факультет, математика и информатика
Василий Захарович Корж
Родился в деревне Хоростово Старобинского района (сегодня Солигорский р-н), бсср
Новые поступления в библиотеку вычислительная техника
Прикладная математика = Администрирование oc linux : практикум / Н. В. Савельева, В. В. Тригук; рец.: В. В. Шпаков, А. Н. Сендер;...
Титульный лист программы обучения по дисциплине (Syllabus) Форма
В080200 «Технология производства продуктов животноводства», 5В042100 «Дизайн», 5В073000 «Производство строительных материалов, изделий...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза