Прямые и отрезки на плоскости Формы записи уравнения прямой


НазваниеПрямые и отрезки на плоскости Формы записи уравнения прямой
страница1/10
Дата публикации29.03.2014
Размер0.57 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Глава 1. Уравнение прямой


Геометрия развивается по многим направлениям. Возникновение компьютеров привело к появлению такой области математики как вычислительная геометрия. При создании современных приложений часто требуется разработка эффективных алгоритмов для определения взаиморасположения различных объектов на плоскости, вычисления расстояний между ними, вычисления площадей фигур и др.

В данной главе излагается материал, частично известный вам из курса математики. Мы рассмотрим методы решения геометрических задач, которые эффективно реализуются с помощью компьютера, что позволит вам по другому взглянуть на вопросы, изучаемые в рамках школьного курса геометрии. Для этого придется воспользоваться аналитическим представлением геометрических объектов.
^

§1. Прямые и отрезки на плоскости

1. 1. Формы записи уравнения прямой


В задачах часто приходится задавать на плоскости различные геометрические объекты. Простейшими геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точка задается указанием своих координат, например A(15; –5), B(x1; y1). Прямую можно задавать с помощью уравнения прямой. Существуют различные формы записи уравнения прямой. Выбор какой-то конкретной зависит от исходных данных, задающих прямую на плоскости. (Могут быть заданы координаты двух точек, через которые проводится прямая, или коэффициенты при неизвестных в линейном уравнении).

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени. Уравнение вида

Ax + By + C = 0

называется общим уравнением прямой.

Если в общем уравнении прямой коэффициент при y не равен нулю, то уравнение можно разрешить относительно y:



Обозначая k = и b = ,

получаем уравнение вида kx b. Если же B = 0, то уравнение имеет вид



Уравнение kx b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Oy, считая от начала координат (рис. 1).



рис. 1




рис. 2

Уравнение y – yk(xx0) – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, которая проходит через точку с координатами (x0; y0).

Рассмотрим две точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), лежащие на прямой kx b. Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:

y1 kx1 b, y2 kx2 b.

Вычитая из второго равенства первое, имеем y– yk(x– x1), или

k =

Пусть точка с координатами (x; y) – произвольная точка на прямой, проходящей через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2) (рис. 2). Тогда, с учетом того факта, что она имеет тот же коэффициент наклона, получаем

k =

Поэтому

 =  или  = 

Уравнение

 = 

является уравнением прямой, которая проходит через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2). Недостатком этой формулы является ее неопределенность при xx2 и (или) yy2. Поэтому ее лучше использовать в виде

(– x1) * (y– y1) – (– y1) * (x– x1) = 0.

Нетрудно заметить, что выражение (– x1) * (y– y1) – (– y1) * (x– x1) может быть приведено к виду Ax + By C, где y– y1, B = x– x2, C = –x* (y– y1) + y* (x– x1).

Алгоритм для определения значений коэффициентов A, B, C общего уравнения прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим1:

A:= y2 – y1

B:= x1 – x2 (1. 1)

C:= – x1*(y2 – y1)+y1*(x2 – x1)

Рассмотрим пример: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 1, y2 = 2. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2) будет следующим:

A = y2 y1 = 2 – 0 = 2,

B = x1 x2 = 0 – 1 = –1,

C = –x1 * (y2 y1) + y1 * (x2 x1) = 0 * 2 + 0 * 1 = 0.ЌСледовательно, уравнение прямой будет иметь вид 2х у = 0.

^

1. 2. Положение точек относительно прямой


Множество точек прямой, проходящей через две точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), удовлетворяет уравнению

(– x1) * (y– y1) – (– y1) * (x– x1) = 0.

Это значит, что если имеется точка с координатами (x0; y0) и (x0 – x1) * (y– y1) – (y0 – y1) * (x– x1) = 0, то эта точка лежит на прямой. B дальнейшем, вместо выражения (– x1) * (y– y1) – (– y1) * (x– x1) мы иногда будем использовать для краткости обозначение Ax By C или f(x1, y1, x2, y2, x, y).

Прямая Ax By C = 0, проходящая через две заданные точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), разбивает плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим возможные значения выражения Ax By C.

1) Ax By C = 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих на прямой.

Запишем алгоритм для определения, лежит ли точка с координатами (x3; y3) на прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2). Переменная P – переменная логического типа, которая имеет значение "истина", если точка лежит на прямой и "ложь" в противном случае.

Р:="ложь"

если (x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)=0

то Р:="истина" (1. 2)

все

2) Ax By C > 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих по одну сторону от прямой.

3) Ax By C < 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих по другую сторону от прямой.

Это значит, что если для двух точек с координатами (x3; y3) и (x4; y4) значения выражений AxByC и AxByC имеют разные знаки, то эти точки лежат по разные стороны от прямой, проходящей через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), а если одинаковые, то эти точки лежат по одну стороны от прямой. При этом число 0 имеет знак и "+" и "–".

На рис. 3 точки (x3; y3) и (x4; y4) лежат по одну сторону от прямой, точки (x3; y3) и (x5; y5) по разные стороны от прямой, а точка (x6; y6) лежит на прямой.



рис. 3

Рассмотрим пример: x1 = 1, y1 = 2, x2 = 5, y2 = 6. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим:

= y2 y1 = 6 – 2 = 4,

B = x1 x2 = 1 – 5 = –4,

C = –x1 * (y2 y1) + y1 * (x2 x1) = –1 * 4 + 2 * 4 = 4.

Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид 4х – 4у + 4 = 0 или x y + 1 = 0. Подставим координаты точек (3; 4), (1; 1), (2; 0), (0; 2) в уравнение прямой. Получим:

1 * 3 – 1 * 4 + 1 = 0, 1 * 2 – 1 * 0 + 1 > 0,

1 * 1 – 1 * 1 + 1 > 0, 1 * 0 – 1 * 2 + 1 < 0.

Следовательно точка (3; 4) лежит на прямой, точки (1; 1) и (2; 0) лежат по одну сторону от прямой, а точки (1; 1) и (0; 2) по разные стороны от прямой.

Алгоритм для определения взаимного расположения точек (x3; y3) и (x4; y4) относительно прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), можно записать следующим образом.

L:="по одну"

Z1:=(x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)

Z2:=(x4 – x1)*(y2 – y1) – (y4 – y1)*(x2 – x1)

если Z1*Z2<0

то L:="по разные" (1. 3)

все

^

1.3. Взаимное расположение двух отрезков


Пусть нам необходимо определить взаимное расположение двух отрезков. Отрезки на плоскости заданы координатами своих концевых точек. Предположим, что концевые точки одного из отрезков имеют координаты (x1; y1) и (x2; y2), а концевые точки другого – (x3; y3) и (x4; y4). Пусть общее уравнение первой прямой, проходящей через точки (x1;y1) и (x2;y2), имеет вид A1x + B1y + C1 = 0, а второй прямой, проходящей через точки (x3;y3) и (x4;y4), A2x + B2y + C2 = 0.

Определим расположение точек (x3; y3) и (x4; y4) относительно первой прямой. Если они расположены по одну сторону от прямой, то отрезки не могут пересекаться. Аналогично можно определить положение точек (x1; y1) и (x2; y2) относительно другой прямой.

Таким образом, если значения пары выражений Z1 = A1x3 + B1y3 + C1 и Z2 = A1x4 + B1y4 + C1 имеют разные знаки или Z1*Z= 0, а также пары Z3 = A2x1 + B2y1 + C2 и Z4 = A2x2 + B2y2 + C2 имеют разные знаки или Z3*Z= 0, то отрезки пересекаются. Если же значения пар выражений Z1 и Z2, или Z3 и Z4, имеют одинаковые знаки, то отрезки не пересекаются.

Различные случаи расположения отрезков показаны на рис. 4.



рис. 4

На этом рисунке отрезки с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x4y4), (x5; y5) пересекаются, отрезки с концами в точках (x1; y1), (x2y2) и (x3; y3), (x4; y4) не пересекаются, а отрезки с концами в точках (x3; y3), (x4; y4) и (x4; y4) и (x5; y5) имеют общую вершину, что можно считать частным случаем пересечения.

Алгоритм для определения, пересекаются ли два отрезка с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x3; y3), (x4; y4) будет следующим:

Р:="истина"

Z1:=(x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)

Z2:=(x4 – x1)*(y2 – y1) – (y4 – y1)*(x2 – x1)

если Z1*Z2>0

то Р:="ложь" (1. 4)

все

Z3:=(x1 – x3)*(y4 – y3) – (y1 – y3)*(x4 – x3)

Z4:=(x2 – x3)*(y4 – y3) – (y2 – y3)*(x4 – x3)

если Z3*Z4>0

то Р:="ложь"

все

Приведенный фрагмент алгоритма не учитывает крайней ситуации, когда два отрезка лежат на одной прямой. В этом случае (x3 – x1) * (y– y1) – (y3 – y1) * (x– x1) = 0 и (x4 – x1) * (y– y1) – (y4 – y1) * (x– x1) = 0.



рис. 5



рис. 6

На рис. 5 отрезки, лежащие на одной прямой не пересекаются, а на рис. 6 – отрезки пересекаются.

Для того, чтобы определить взаимное расположение таких отрезков, поступим следующим образом. Обозначим

k1 = min (x1; x2);

k2 = max (x1; x2);

k3 = min (x3; x4);

k4 = max (x3; x4);

Здесь k1 является левой, а k2 – правой точкой проекции первого отрезка (отрезка, заданного координатами (x1; y1), (x2; y2)) на ось Ox. Аналогично k3 является левой, а k4 – правой точкой проекции второго отрезка (отрезка, заданного координатами (x3; y3), (x4; y4)) на ось Ox. Аналогично ищем преокции на ось OY.

Отрезки, лежащие на одной прямой будут пересекаться тогда, когда их проекции на каждую ось пересекаются. (Следует заметить, что если проекции двух произвольных отрезков пересекаются, то это не значит, что и сами отрезки пересекаются, что видно на рис. 7).



рис. 7

Для определения взаимного расположения проекций на ось ^ OX воспользуемся следующим фактом (см. рис. 5 и рис. 6 ): координата левой точки пересечения проекций Lx равна max(k1; k3), т. е. максимальной из координат левых точек проекций. Рассуждая аналогично для правых точек проекций, получим, что координата правой точки Rx пересечения равна min(k2k4). Для того, чтобы отрезки пересекались, необходимо, чтобы левая координата пересечения проекций была не больше правой координаты пересечения отрезков (такой случай имеет место на рис. 5, когда Lx = х3, а Rx = х2). Поэтому условием пересечения проекций является выполнение неравенства Lx Rx. Аналогично можно вычислить величины Lу и Rу, беря соответствующие проекции на ось Оу.

Следует отметить, что длина пересечения проекций в этом случае равна величине Lx Rx (если Lx Rx = 0, то проекции имеют только общую точку).
^

1.4. Точка пересечения отрезков


Для определения места пересечения отрезков (если известно, что они пересекаются), достаточно определить точку пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

Пусть A1x + B1y + C1 = 0 является уравнением прямой, проходящей через концевые точки первого отрезка, а A2x + B2y + C2 = 0 является уравнением прямой, проходящей через концевые точки второго отрезка.

Тогда для определения точки пересечения отрезков достаточно решить систему уравнений



Домножив первое уравнение на ^ A2, а второе уравнение на A1, получим



Вычитая из первого уравнения второе, можно найти значение y:

y =

Аналогично можно вычислить значение x:

x =

Это справедливо в случае, если выражение AB– AB2  0. Но мы уже знаем, что отрезки пересекаются и не лежат на одной прямой. А это невозможно, если AB– AB2 = 0.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие рефераты:

Уэ проблематизация и целеполагание
«Частные случаи расположения прямой на плоскости относительно системы координат», «Взаимное расположение двух прямых на плоскости»,...
Лекция 3 прямая и точка на плоскости
Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, взятой вне прямой; двумя...
Основные минимальные знания, навыки и умения
Различные виды уравнений прямой на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых на плоскости
«Точка, прямые, плоскости общего и частного положения на эпюре Монжа»
Конспект по теме «Точка, прямые, плоскости общего и частного положения на эпюре Монжа»
Лекция 2 проецирование отрезка прямой линии
Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов ее наклона к плоскости проекции
Исследование на плоскости уравнения второй степени
Перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Высшая математика» для студентов специальности
Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»
Определение декартовой системы координат. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»
Определение декартовой системы координат. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
Плоскостями общего положения
Построение взаимно-параллельных и перпендикулярных прямой линии и плоскости и двух плоскостей
Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»
Определение декартовой системы координат. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза