Методические указания для выполнения заданий для самостоятельного изучения учебного материала дисциплины Математика


Скачать 234.76 Kb.
НазваниеМетодические указания для выполнения заданий для самостоятельного изучения учебного материала дисциплины Математика
Дата публикации31.03.2014
Размер234.76 Kb.
ТипМетодические указания
referatdb.ru > Математика > Методические указания
Методические указания для выполнения заданий для самостоятельного изучения учебного материала дисциплины Математика
Типовые задания для СРС 3 состоят из следующих частей: неопределенный интеграл, определенный интеграл, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла. Типовые задания выполняются частями по мере продвижения в изучении курса и содержит теоретические вопросы для подготовки к рубежному контролю.
Типовые задания для самостоятельной работы выполняются студентом в соответствии с первой буквой фамилии студента и последней цифрой номера по списку преподавателя по схеме из таблицы 1. Типовые задания выполняются в сроки, запланированные преподавателем в рабочей программе.
Контроль за выполнением проводится в два этапа:
1) предварительная проверка правильности письменного решения заданий;
2) защита заданий, заключающегося в объяснении решения задач и ответа на два теоретических вопроса из программного материала.
^ 1 Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенных интегралов.
1.1 Методическое указание к заданию 1
Функция F называется первообразной для f на некотором множестве М, если выполняется тождество .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом и обозначается символом
1 Основные свойства неопределенного интеграла и правила
, k - const

или


Следствие:
1) Если , то или
, где
2) где


2 Таблица основных интегралов

1 2

3 4
5 6
7 8
9 10
11 12

13
14

15
16

Пример 1 Найти
Решение Используя правила непосредственного интегрирования 1,2 и таблицу основных интегралов, получим
==
==

Метод подстановки или замены переменной в неопределенном интеграле
Полагая где t новая переменная и - непрерывно дифференцируемая функция, будем иметь

()
Пример 2 Найти

Решение


=2=

Во многих случаях оказывается более удобным использование преобразования дифференциалов; т.е. метод подведения функции под знак дифференциала:

1) , 2) , 3)
4) , 5) , 6)
7), 8)

Пример 3
Решение ===

=
Интегрирование по частям. -
формула интегрирования по частям.

Пример 4 Найти

Решение =
===
Укажем несколько типов интегралов, которые удобно вычислять интегрированием по частям
, где - полином;
, где -выражение
Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов
,
где действительные числа, ,
Если то рациональная дробь называется правильной, если то рациональная дробь называется неправильной.
Неправильную дробь можно представить, разделив числитель на знаменатель, в виде
, где - некоторый многочлен, а дробь - правильная

Пример 5


Всякая правильная дробь может быть разложена на сумму простейших дробей, вид которых зависит от типов множителей, входящих в разложение знаменателя
Если


где действительные числа, то дробь можно представить в виде




где - действительные числа, подлежащие определению.

Пример 6 Найти
Решение =
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби


Это равенство является тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа равны между собой





Пример 7 Найти
Решение Разложим подынтегральную дробь на простейшие
=
Полагая получим

Полагая получим

Приравнивая коэффициенты при , получим

Таким образом,

+
Интегрирование тригонометрических функций
Интеграл вида с помощью универсальной подстановки


Приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной .

=
Пример 8 Найти
Решение Полагая будем иметь





Частные подстановки:
1).Подстановка
Пример 9


2). Подстановка
Пример 10



3)

если нечетное положительное число



если нечетное положительное число

если и четные положительные числа, то степени могут быть снижены вдвое, с помощью формул:





4) Интегралы , , вычисляется с помощью формул



Пример 11 Найти





Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Интегралы вида ,

где - рациональная функция, -целые числа. Интегралы такого типа находятся с помощью подстановки



где - наименьшее общее кратное чисел
Пример 12 Найти
Решение

Пример 13 Найти
Решение



^ 1.2 Методические указания к заданиям 2,3,4
При выполнении заданий 2, 3, 4 данного типового расчета для составления уравнений сторон фигур используются уравнения кривых второго порядка и уравнения прямой на плоскости:
1) – уравнение окружности с центром в точке , – уравнение окружности с центром в точке А .

2) либо – канонические уравнения эллипса.

3) либо – канонические уравнения гиперболы. А .
4) Виды уравнения парабол:
1) либо
2) либо
если вершина параболы в точке А
.
Для удобства вычислений систему координат проводим через фигуру Ф произвольным образом так, чтобы координатные оси , совпали с основанием фигуры либо с осями вращения тела.
^ 1.2.1 Методическое указание к заданию 2
Для вычисления площади в декартовой системе координат используются следующие формулы:

1) Пусть фигура Ф ограничена сверху кривой , прямыми , и основанием на .
.(2.11)

2) Если фигура Ф ограничена двумя линиями , , , для , тогда
.(2.12)

3) В полярной системе координат фигура Ф ограничена кривой и лучами , т.е. , тогда
;(2.13)

если
;(2.14)

4) Пусть Ф ограниченная линией, заданной уравнением в параметрической форме тогда
;(2.15)

Пример 14 Вычислить площадь фигуры , где – часть параллелограмма П, у которого известны параметры , , . Проводим декартовую систему произвольным образом, в частности по основанию фигуры, по границе фигур и .



Рисунок 1
Составляем уравнения сторон данной фигуры, используя каноническое уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки

.(2.16)

Либо уравнение прямой с угловым коэффициентом
,(2.17)

где – угловой коэффициент прямой.

Тогда уравнение стороны : , уравнение стороны : . Для нахождения уравнения стороны подставляем точку С(5;5) в уравнение (2.7), где , следовательно :



ед2.


^ 1.2.2 Методическое указание к заданию 3
Площадь поверхности вращения.


  1. ) Если дуга кривой вращается вокруг оси , то площадь поверхности фигуры Ф, образованной вращением, вычисляется по формуле


.(2.18)

  1. ) Если дуга вращается вокруг , то уравнение кривой имеет вид , где


.(2.19)

  1. ) Если кривая задана в параметрической форме



.(2.20)

Пример 15 Вычислить площадь поверхности тела, которая получится в результате вращения фигуры Ф вокруг оси L. , где – половина ромба, , , .



Рисунок2
Решение Проводим систему координат так, чтобы ось совпала с осью вращения ^ L. Тогда, для вычисления площади поверхности пользуемся формулой (2.19).

Составим уравнение прямой ВС
, . :
; ; , .

ед2.
Замечание. Можно также поступить следующим образом. Совместить ось вращения с осью , тогда фигура ^ Ф поворачивается на 90° и прямая АВ выражается в виде . В этом случае пользуемся формулой (2.18).

^ 1.2.3 Методическое указание к заданию 4
Для вычисления объема тела вращения пользуемся следующими формулами:

  1. )Если : вращается вокруг ,


.(2.21)

2) вращается вокруг ,
.(2.22)

Пример 16 Вычислить объем V тела вращения части – эллиптического сегмента Ф вокруг оси L. Даны следующие параметры: , . Ось . Проводим декартовую систему координат, совмещая ось вращения L с . Эллиптический сегмент , . Составим уравнения дуги эллипса и уравнение прямой ^ FC. Для этого найдем малую полуось b и фокальную полуось с.



Рисунок 3
, фокус , , . Следовательно, С(0,3).
Уравнение эллипса: дуга : ; где : , . Подставим точку С(0,3) в уравнение следовательно ; .

Найдем:

ед3.


ед3.

Тогда ед3.
Пример 17 Вычислить объем тела вращения параболического сегмента вокруг оси L.



Рисунок 4
Дано: , , , . Найти:

Используем уравнение нисходящей параболы с вершиной в С(0,12): (*). Подставим точку А(-1,0) в уравнение (*) уравнение дуги параболы : ; . Используем уравнение

ед3.


^ 1.3 Методическое указание к заданию 5
Длина дуги кривой
Если плоская кривая дана в прямоугольной системе координат и задана уравнением или или параметрическими уравнениями , то дифференциал длины ее дуги выражается формулой
(2.23)

а длина дуги АВ определяется формулой

(2.24


Если кривая задана в полярной системе координат , то длина дуги , (2.25)

Пример18 Вычислить длину дуги полукубической параболы от x1=0 до x2=2, y>0.
Решение Так как , то



Пример 19 Вычислить длину дуги астроиды


Решение




Пример 20 Найти длину кардиоиды
Решение . Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Изменяя полярный угол от 0 до , мы получим половину длину кардиоиды.



Вся длина кардиоиды L=16 .
  • ^

  • 1.4 Методическое указание к заданию 6



Приближенное значение определенного интеграла можно найти по формуле Симпсона

де , - четное число. Погрешность этой формулы

, где

Пример 21 Вычислить с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака. При выполнении работы рекомендуется использовать микрокалькуляторы.



^ 1.5 Методическое указание к заданию 7
Несобственные интегралы

В несобственных интегралах областью интегрирования является бесконечный сегмент, например или бесконечный интервал .
При вычислении такого вида интегралов, мы ограничиваем бесконечный интервал, некоторой конечной постоянной , несобственный интеграл становится определенным. Вычислив его, в конце переходим к пределу, т.е. в зависимости от примера.
Пример 22

Рассмотрим функцию у= непрерывную на . Для любого конечного сегмента интеграл существует. Если этот интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании b, то этот предел называют несобственным с бесконечной верхней границей от функции и обозначается .

Аналогично .

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется где с - любая фиксированная точка. Если при вычислении интеграла его значение существует и конечно, то говорят несобственный интеграл - сходится, в противном случае - расходится.
Пример 23 Исследовать на сходимость интеграл . Если , то



Если , то

Если , то

Таким образом
Пример 24 = =0- =
Пример 25 Исследовать на сходимость .

При x=4 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв.


Составитель ст. преподаватель_________________ Шоманова Р.Е.

Утвержден на заседании кафедры «___» «________» 2010г.

Протокол № __

Заведующий кафедрой: Павлюк И.И. __________________________

Похожие рефераты:

Специальность «Бухгалтерский учёт, анализ и контроль»
Методические указания для самостоятельного изучения дисциплины и выполнения домашней контрольной работы
Методические указания по изучению дисциплины и задания контрольных...
Методические указания предназначены для изучения дисциплины и выполнения заданий контрольных тестов для студентов-заочников по специальности...
Задания на самостоятельное изучение учебного материала
Задание для самостоятельного изучения учебного материала по дисциплине «Строительные конструкции транспорта»
Специальность «Технология машиностроения»
...
Специальность «Промышленное и гражданское строительство»
...
Общие методические указания по выполнению контрольной работы Контрольная...
Настоящие методические указания и задания для выполнения контрольной работы преследуют цель организационно и методически помочь студентам...
Методические указания для самостоятельного изучения курса "сопротивление...
Методические указания для самостоятельного изучения курса "сопротивление материалов"
Методические рекомендации по выполнению заданий контрольной работы 14
Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы по дисциплине «Экономика организации (предприятия)» для студентов...
Методические рекомендации по изучению дисциплины «Экономика отрасли»...
Перечень тем и вопросов к ним для самостоятельного изучения учащимися 3 курса дисциплины «Экономика отрасли»
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика», задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза