Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры по специальности “


Скачать 116.52 Kb.
НазваниеПрограмма для поступающих на образовательные программы магистратуры по специальности “
Дата публикации02.05.2013
Размер116.52 Kb.
ТипПрограмма
referatdb.ru > Математика > Программа
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева

Факультет механико – математический


ПРОГРАММА

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ МАГИСТРАТУРЫ по специальности 6M0601 – Математика
Математический анализ

  1. Полнота: супремум и инфимум числового множества. Принцип вложенных отрезков. Иррациональность числа .

  2. Теорема о существовании предела монотонной последовательности. Число e.

  3. Эквивалентность определений предела функции в точке на языке e-d и на языке последовательностей. Два замечательных предела.

  4. Непрерывность функции одной переменной в точке, точки разрыва и их классификации. Свойства функции, непрерывной на отрезке.

  5. Теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции, заданной на сегменте.

  6. Равномерность непрерывности. Теорема Кантора.

  7. Понятие производной и дифференцируемости функции одной переменной, дифференцирование сложной функции.

  8. Исследование функции с помощью производных (монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба, асимптоты).

  9. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

  10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Локальная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

  11. Критерий интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций.

  12. Теорема о существовании первообразной у каждой непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

  13. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей.

  14. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела в пространстве.

  15. Несобственные интегралы I и II рода

  16. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье.

  17. Линейная функция . Дифференцирование функции многих переменных в точке как локальная линеаризация. Дифференциал.

  18. Определение, существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции.

  19. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа.

  20. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Признаки сходимости положительных рядов Коши, Даламбера.

  21. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.

  22. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов.

  23. Достаточные условия непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости суммы функционального ряда.

  24. Структура множества сходимости произвольного функционального ряда. Формула Коши-Адамара и структура множества сходимости степенного ряда.

  25. Степенные ряды; разложение функций в степенной ряд.


Алгебра и теория чисел

  1. Определение группы. Простейшие свойства и примеры. Теорема о гомоморфизмах групп.

  2. Определение поля. Характеристика поля. Простое поле. Числовое поле. Минимальные подполя.

  3. Аксиоматика и примеры колец и полей. Кольцо вычетов по модулю n. Поле .

  4. Поле комплексных чисел. Модуль, аргумент, тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня из комплесного числа.

  5. Матрицы, действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Алгебра матриц.

  6. Определение определителя, определители второго и третьего порядков. Перестановки, инверсия, транспозиция, четность. Определитель произведения матриц. Определитель транспонированной матрицы.

  7. Определители n-го порядка. Элементарные свойства определителей. Теорема о разложении определителя по строке или столбцу.

  8. Критерий обратимости и формула обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединения единичной матрицы и его обоснование.

  9. Система линейных алгебраических уравнений. Исследование СЛАУ. Теорема Кронекера - Капелли. Формулы Крамера.

  10. Линейные пространства. Определение и примеры. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства. Базис и размерность пространства.

  11. Понятие линейного оператора n-мерного векторного пространства. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

  12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора n-мерного векторного пространства.

  13. Теоремы о рациональных корнях многочлена с целочисленными коэффициентами.

  14. Теорема о разложении многочлена от одной переменной на неприводимые над полем множители. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

  15. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида для многочленов.


Аналитическая геометрия

  1. Декартовые, полярные, цилиндрические, сферические системы координат.

  2. Преобразования координат на плоскости и в пространстве.

  3. Квадратичные формы. Закон инерции. Критерий Сильвестра.

  4. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, их геометрические свойства. Классификация кривых второго порядка.

  5. Исследование поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям с помощью вращения, растяжений и сечений.

  6. Векторы. Операции над векторами. Векторное, смешанное произведение векторов. Свойства и приложения. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

  7. Различные виды задания уравнений прямой и плоскости. Отклонение от прямой и плоскости.

  8. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Теорема о необходимых и достаточных условиях параллельности и перпендикулярности двух прямых.

  9. Взаимное расположение плоскостей /в аналитическом изложении/. Необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

  10. Исследование поверхностей второго порядка по их каноническим

уравнениям с помощью вращения, растяжений и сечений.

Дифференциальные уравнения

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка и методы их решения.

  2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

  3. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка от параметров и от начальных данных.

  4. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общие свойства. Однородное ОДУ. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля. Общее решение однородного ОДУ.

  5. Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных.

  6. Однородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.

  7. Однородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица. Вронскиан. Формула Лиувилля. Структура общего решения однородной системы ОДУ.

  8. Постановка краевых задач для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Специальные функции краевых задач и их явные представления. Функция Грина и ее явные представления. Интегральное представление решения краевой задачи. Теорема существования и единственности решения краевой задачи.

  9. Автономные системы. Свойства решений. Особые точки линейной автономной системы двух уравнений. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Устойчивость однородной системы линейных дифференциальных уравнений с переменной матрицей.

  10. Устойчивость по первому приближению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Второй метод Ляпунова.


Литература:

  1. Н. Темiрғалиев. “Математикалық анализ”, т.1, 2, 3.

  2. У.Рудин. «Основы математического анализа». М.: Мир, 1976 г.

  3. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. ”Элементы функционального анализа”. М. Наука, 1965 г.

  4. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. “Элементы теории функций и функционального анализа”. М.: Наука, 1968 г.

  5. У. Рудин ”Функциональный анализ”. М.: Мир, 1975 г.

  6. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1965.

  7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976.

  8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1977.

  9. Михлин С.Г. Курс математической физики. М., «Наука», 1979.

  10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958.

  11. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М., 1982

  12. Курош А.Г. Теория групп. – М., 2005

  13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра - М., 1979

  14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп – М., 1982

  15. Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М., 1979

  16. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.

  17. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1,2 – М.: Просвещение, 1986.

  18. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.

  19. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.

  20. Ван дер варден Б. Алгебра - М., 1980


Функциональный анализ

  1. Основные понятия и аксиомы метрического пространства. Примеры метрических пространств. Неравенство Гельдера и неравенство Минковского.

  2. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров

  3. Отображения в метрических пространствах. Принцип сжимающих отображений. Применение принципа сжатых отображений к дифференциальным и интегральным уравнениям

  4. Компактные множества в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа.

  5. Определение и примеры линейных или векторных пространств.

  6. Определение и примеры нормированных и банаховых пространств

  7. Определение и примеры гильбертовых пространств

  8. Представление непрерывных линейных функционалов в гильбертовом пространстве.

  9. Существование ортогональных базисов, ортогонализация. Неравенство Бесселя.

  10. Теорема Рисса-Фишера

  11. Определение и примеры линейных операторов. Непрерывность и ограниченность.

  12. Обратный оператор.


Уравнения математической физики

  1. Основные уравнения математической физики, постановка для них задачи Коши и краевых задач. Корректность постановки задачи. Пример Адамара.

  2. Классификация уравнений с частными производными и приведение их к каноническому виду. Понятие характеристики.

  3. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

  4. Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства. Функция Грина для круга. Формула Пуассона. Некоторые следствия из формулы Пуассона (неравенство Гарнака, теоремы Лиувилля и Гарнака).

  5. Объемный потенциал и его свойства. Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом потенциалов.

  6. Решение смешанной краевой задач для уравнения колебаний струны методом Фурье. Задача о собственных значениях и собственных функциях.

  7. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье. Собственные значения и собственные функции и их свойства.

  8. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

  9. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

  10. Тепловые потенциалы, их свойства и применения к решению краевых задач для уравнения теплопроводности.


Литература:

  1. У.Рудин. «Основы математического анализа». М.: Мир, 1976 г.

  2. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. ”Элементы функционального анализа”. М. Наука, 1965 г.

  3. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. “Элементы теории функций и функционального анализа”. М.: Наука, 1968 г.

  4. У. Рудин ”Функциональный анализ”. М.: Мир, 1975 г.

  5. Н. Темiрғалиев. “Математикалық анализ”, т.1, 2, 3.

  6. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1965.

  7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976.

  8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1977.

  9. Михлин С.Г. Курс математической физики. М., «Наука», 1979.

  10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958.

  11. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М., 1982

  12. Курош А.Г. Теория групп. – М., 2005

  13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра - М., 1979

  14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп – М., 1982

  15. Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М., 1979

  16. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.

  17. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1,2 – М.: Просвещение, 1986.

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990

Теория вероятностей и математическая статистика

  1. Предмет теории вероятностей. Математические модели случайных явлений.

  2. Аксиомы А.Н.Колмогорова и их отношение к действительному миру опыта (эмпирическая дедукция аксиом).

  3. Элементы комбинаторики.

  4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теоретико-вероятностная независимость.

  5. Последовательность вероятностных пространств. Вероятностное меровведение, описывающее "независимые испытания". Схема Бернулли и полиномиальная схема.

  6. Случайная величина - числовая измеримая функция элементарных событий. Распределение вероятностей случайной величины. Функция распределения случайной величины.

  7. Случайный вектор. Распределение вероятностей и функция распределения случайного вектора. Независимость набора случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Ковариация. Коэффициент корреляции двух случайных величин.

  8. Независимость и одинаковая распределенность случайных величин xk(w) в схеме Бернулли. Случайная величина Sk(w)=x1(w)+xk(w), xk(w)=xk1,…,хN)=хk i=0 или 1 (i=1,…,n)), математическое ожидание и дисперсия Sn(w) .

  9. Неравенство Чебышева (случай конечного числа исходов). Закон больших чисел для схемы Бернулли.

  10. Пределы последовательности множеств. Аксиоматика А.Н. Колмогорова вероятностной модели эксперимента с бесконечным числом исходов. Измеримые множества и функции, интеграл Лебега. Случайная величина как числовая А - измеримая функция от элементарных событий и ее распределение. Функция распределения и ее свойства.

  11. Математическое ожидание и дисперсия дискретной, непрерывно распределенной случайной величины.

  12. Основные типы распределений (дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные). Формула композиции. Распределение суммы независимых нормально распределенных величин.

  13. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Следствия: теорема Бернулли. Закон больших чисел в форме Чебышева. Центральная предельная теорема (при условии Ляпунова).

  14. Вероятностно-статистическая модель. Оценка вероятности "успеха" в схеме Бернулли: несмещенность Эффективная оценка вероятности "успеха" в схеме Бернулли.

  15. Распределение "хи- квадрат". Выбор из двух гипотез: статистический критерий, критическое множество, вероятности ошибок, уровень значимости критерия, наиболее мощный критерий.
^

Основная литература


  1. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука. 1987.

  2. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука. 1980.

  3. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учебное пособие / Е.С. Вентцель; Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Академия, 2003.- 464с.- (Высшее образование).
^

Дополнительная литература:


  1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применение. М.: Мир.

  2. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. А.А.Свешникова. М.: Наука, 1965.

  3. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов.- 2-е изд.- М.: ФОРУМ, 2008.- 480с., ил.- (Высшее образование).

  4. Шыныбеков, А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / А.Н. Шыныбеков.- Алматы: Экономика, 2008.- 244с.

  5. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Высшая школа, 1965.

  6. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

  7. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998.

  8. Татубалин В.Н. Теория вероятностей. М., МГУ, 1982.

  9. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. М.: Наука, 1968.

  10. Ермаков Г.В., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука. 1987.

  11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1979.


Вариационное исчисление


  1. Предмет вариационного исчисления. Понятие функционала.

  2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

  3. Обобщения простейшей вариационной задачи.

  4. Изопериметрическая задача. Условный экстремум.

  5. Вариационные задачи с подвижными границами. Условие трансверсальности.

  6. Экстремали с угловыми точками.

  7. Вторая вариация функционала. Формула второй вариации.

  8. Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Условие Лежандра.

  9. Прямые методы вариационного исчисления.

Основная литература:

1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1973.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.

3. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука,1969.

Дополнительная литература:

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

5. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. ЛГУ, 1980.

Заведующей кафедрой ФиПМ Оспанов К.Н.
Протокол заседания кафедры ФиПМ № 13 от «29» июня 2012г.

Похожие рефераты:

Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры по специальности 6
Для поступающих на образовательные программы магистратуры по специальности 6M0705– Математическое и компьютерное моделирование
Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры по специальности “
Для поступающих на образовательные программы магистратуры по специальности “6M0109 – Математика”
Программа вступительного экзамена по специальности для поступающих...
...
Программа вступительного экзамена по специальности для поступающих...
...
Программа вступительного экзамена по специальности для поступающих...
...
Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры...
Устное народное творчество. Признаки, жанры, отличие от литературы. Сюжеты, герои, мотивы. Научные школы, концепции, теории. Видные...
Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры...
Устное народное творчество. Признаки, жанры, отличие от литературы. Сюжеты, герои, мотивы. Научные школы, концепции, теории. Видные...
Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры...
Устное народное творчество. Признаки, жанры, отличие от литературы. Сюжеты, герои, мотивы. Научные школы, концепции, теории. Видные...
Программа вступительного экзамена по специальности для поступающих...
Предшествующий уровень образования лиц, желающих освоить образовательные программы докторантуры PhD–послевузовское образование
Программа для поступающих на образовательные программы магистратуры...
Ритуал, его функции и место в культуре. Этнографическое и культурно-антропологическое понимание ритуала. Связь мифа и ритуала. Символический...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза