Математический анализ учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности


НазваниеМатематический анализ учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности
страница1/8
Дата публикации02.05.2013
Размер1.21 Mb.
ТипПрограмма дисциплины
referatdb.ru > Математика > Программа дисциплины
  1   2   3   4   5   6   7   8
Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»





УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины» профессор

________________ И.В. Семченко

«____»____________ 2010 г.

Регистрационный № УД- /р .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебная программа дисциплины обязательного компонента
для специальности

1-31 03 01 02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

специализации 1-31 03 01-02 12 «Математический анализ»

Факультет математический

(название факультета)

Кафедра математического анализа

(название кафедры)

Курс (курсы) _1, 2______________________________

Семестр (семестры) _1, 2, 3, 4____________________


Лекции _248__________ час.

(количество часов)

Экзамен _1, 2, 3, 4_________

(семестр)

Самостоятельная управляемая

работа студентов ____24__________

(количество часов)

Зачет _1, 2, 3,4__________

(семестр)

Лабораторные

занятия _272__________ час.

(количество часов)

Курсовой проект,

работа ______─___________

(семестр)

Всего аудиторных часов

по дисциплине_544________ час.

(количество часов)

Форма получения

высшего образования

дневная_____________________

Всего часов

по дисциплине_922_______ час.

(количество часов)





Составил ^ А.В.Гаврилюк, к.п.н., доцент
Гомель 2010


Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Математический анализ» для высших учебных заведений по специальностям 1-31 03 01 «Математика (по направлениям)»,
утвержденной Министерством образования Республики Беларусь 30.12.2008 г., регистрационный № ТД – G.169/тип.

Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры

математического анализа

(название кафедры)
_______________________________

(дата, номер протокола)
Заведующий кафедрой

_____________ _____^ А.Р. Миротин

(подпись) (И.О. фамилия)

Одобрена и рекомендована к утверждению методическим советом

математического факультета

(название факультета)
_______________________________

(дата, номер протокола)
Председатель

_____________ ______В.М.Селькин_

(подпись) (И.О. фамилия)
^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина «Математический анализ» является базовой для преподавания большинства математических курсов. Наиболее тесной является связь данной дисциплины с такими дисциплинами как «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Уравнения математической физики», «Вариационное исчисление и методы оптимизации». При изучении математического анализа студенты знакомятся с основами дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких действительных переменных. Основные понятия дифференциального и интегрального исчисления являются базовыми для освоения указанных выше математических дисциплин.

Элементы теории предела и дифференциального исчисления используются при изучении дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Уравнения математической физики». Базовые конструкции интегрального исчисления используются при решении интегральных уравнений в рамках изучения дисциплины «Функциональный анализ и интегральные уравнения», при создании вариационных принципов в задачах математической физики (дисциплина «Уравнения математической физики»), при изучении геометрии гладких поверхностей в рамках дисциплины «Дифференциальная геометрия», при построении необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах оптимизации (дисциплина «Вариационное исчисление и методы оптимизации»).

Целью дисциплины "Математический анализ" является создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики.

Задачами дисциплины являются:

-формирование у студентов понятия числа;

-изучение понятия предела и освоение этого понятия с целью практического использования при решении различных задач математики;

-овладение основами дифференциального и интегрального исчислений;

-формирование умений и навыков использования основ дифференциального и интегрального исчислений при решении задач математики, механики, математической физики.

Дисциплина обязательного компонента «Математический анализ» изучается студентами 1 и 2 курсов специальности 1-31 03 01 02 «Математика» (научно - педагогическая деятельность) в объеме 544 часов учебных занятий (из них 272 часа лекционных и 272 часа лабораторных занятий).
^ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Тема 1 Элементы математической логики и теории множеств

Высказывания, значение истинности высказывания. Операции над высказываниями. Высказывательные переменные. Формулы алгебры высказываний. Основные тавтологии. Одноместные предикаты. Кванторы общности и существования. Отрицание предикатов и кванторов. Применение логики предикатов для описания математических понятий. Элементы теории доказательств.

Множества и операции над ними (объединение, пересечение, разность, дополнение). Двойственность операций объединения и пересечения. Декартово произведение множеств.

Бинарные отношения и их примеры. Понятие отображения (функции) и графика отображения. Область определения и область значений, образы и прообразы. Композиция отображений. Полный прообраз множества. Сужение функции. Сюръекция, инъекция, биекция. Обратное отображение. Отношение эквивалентности. Рефлексивность, симметричность, транзитивность.

^ Тема 2 Множество действительных чисел

Множества N, Z, Q; операции на них, свойства. Аксиоматика множества действительных чисел. Важнейшие подмножества.

Максимальный и минимальный элементы множества. Границы числовых множеств. Множества, ограниченные сверху и снизу. Точные верхняя и нижняя границы множества. Теорема Дедекинда.

Позиционные системы счисления. Алгоритм определения q-ичных цифр числа. Модель множества вещественных (действительных) чисел. Геометрическая интерпретация вещественных (действительных) чисел.

Мощность множеств. Мощность пустого, конечного множества. Счетные множества. Счётность множества рациональных чисел. Мощность континуума. Теорема Кантора о несчетности континуума.

^ Тема 3 Предел последовательности

Абсолютная величина числа и окрестности, свойства модуля. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции с последовательностями. Ограниченные последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

Общие свойства предела (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности). Предел и операции над последовательностями. Предельный переход в неравенствах.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Символы Харди и Ландау. Шкала бесконечно больших последовательностей.

Различные формы полноты множества вещественных чисел. Последовательности стягивающихся сегментов, лемма Кантора. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Предельная точка множества, лемма Больцано-Вейерштрасса.

Признаки сходимости последовательности. Последовательности Коши, критерий Коши сходимости последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонных последовательностей. Неравенство Бернулли, число Эйлера «е».

Подпоследовательности и частичные пределы, лемма Больцано-Вейерштрасса для последовательностей. Верхний и нижний пределы ограниченной последовательности и их характеристические свойства.

^ Тема 4 Предел функции

Определение предела функции Коши. Предел функции по Гейне. Определение предела в терминах окрестностей. Общие свойства предела функции (единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел).

Арифметические операции над числовыми функциями. Предел и операции над функциями. Предел функции и неравенства. Замечательные пределы.

Односторонние пределы, критерий существования предела в терминах односторонних пределов. Пределы на бесконечности и бесконечные пределы. Несобственные (бесконечные) числа. Понятие предела функции по базе. Символы Харди и Ландау для функций.

Существование предела функции. Критерий Коши предела функции. Монотонные функции. Существование односторонних пределов у монотонной функции.

^ Тема 5 Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций (локальная ограниченность, локальное сохранение знака). Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность композиции.

Непрерывность функции на множестве. Глобальные свойства непрерывных функций на отрезке. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и о достижении точных границ. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях. Теорема о непрерывном образе отрезка. Равномерная непрерывность, теорема Кантора. Колебание функции. Точки разрыва функции и их классификация.

Биективность строго монотонной функции. Критерий глобальной непрерывности монотонной функции. Критерий взаимной однозначности непрерывной функции. Теорема о множестве точек разрыва монотонной функции.

Элементарные функции. Степенная, экспоненциальная и логарифмическая функции и их свойства (непрерывность и монотонность). Непрерывность элементарных функций.

^ Тема 6 Дифференцируемые функции

Определение производной. Примеры естественнонаучных задач, приводящих к понятию производной.

Дифференцируемость и ее связь с существованием производной. Дифференциал, приближенные вычисления с использованием дифференциала.

Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Связь непрерывности и дифференцируемости. Дифференцирование и арифметические операции. Дифференцирование композиции. Производная обратной функции. Производная функции, заданной неявно, и параметрически заданной функции. Производные высших порядков. Полином Тейлора.

Экстремумы функции. Лемма Ферма (необходимое условие экстремума). Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

Формула Тейлора. Различные формы остатка формулы Тейлора (Пеано, Лагранжа, Коши). Пять основных разложений элементарных функций. Понятие о сходимости числовых рядов. Сходимость разложений Тейлора элементарных функций.

Исследование функций с помощью производной. Монотонность и знак производной. Первое и второе достаточные условия экстремума. Алгоритм отыскания глобального экстремума.

Выпуклые функции. Свойства выпуклых функций. Условия выпуклости в терминах первой и второй производной. Точки перегиба. Выпуклость элементарных функций.

Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения эскиза графика.

^ Тема 7 Неопределенный интеграл

Первообразная функции. Описание класса всех первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций. Обобщённая первообразная и неопределенный интеграл.

Основные методы интегрирования (интегрирование по частям и замена переменной). Интегрирование простейших дробей. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегрирование дробно-линейных и квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.

Теорема Чебышева. Понятие об интегралах, не представимых в элементарных функциях.

^ Тема 8 Определенный интеграл Римана

Примеры естественнонаучных задач, приводящих к понятию интеграла Римана. Определение интеграла Римана: разбиение отрезка, разбиения с отмеченными точками и интегральные суммы, предел интегральных сумм. Класс интегрируемых функций. Необходимое условие интегрируемости.

Суммы Дарбу и их свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу и основные неравенства для них. Критерии интегрируемости в терминах сумм Дарбу и в терминах интегралов Дарбу. Классы интегрируемых функций (непрерывные, ограниченные с конечным числом точек разрыва, монотонные).

Интеграл по ориентированному промежутку. Свойства определенного интеграла: интегрируемость линейных комбинаций, линейность, аддитивность по области, монотонность. Неравенства для определенного интеграла. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом. Теоремы о среднем значении, формулы Бонне.

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной функции и обобщенной первообразной у кусочно - непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Основные методы вычисления определенных интегралов - интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Формула Тейлора с остатком в виде интеграла.

Приложения определенного интеграла. Длина пространственной кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Объем тела вращения.

Несобственные интегралы. Особенности функции, определение интеграла от функции с особенностью. Свойства несобственного интеграла: совпадение с интегралом Римана для интегрируемых функций, линейность, аддитивность и монотонность. Интегрирование по частям и замена переменной в несобственном интеграле. Случай нескольких особенностей. Главное значение по Коши.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимость. Признак сравнения для интегралов от положительных функций. Признак Абеля-Дирихле для условной сходимости.

^ Тема 9 Топологические пространства

Множество Rn; линейное пространство Rn. Евклидово пространство Rn; нормированное пространство Rn .

Нормированное пространство. Неравенство Коши - Буняковского. Определение расстояния в нормированном пространстве. Неравенства треугольника для нормы и для расстояния.

Метрическое пространство. Примеры метрических пространств. Шар, открытое множество в метрическом пространстве. Основные свойства системы открытых множеств в метрическом пространстве.

Топологическое пространство. Формулы двойственности. Замкнутые множества. Основные свойства системы замкнутых множеств. Окрестность точки. Внутренняя точка множества, внешняя, граничная, изолированная, предельная (определения, связи, примеры). Замыкание множества. Замыкание и замкнутость. Характеристика замкнутых множеств в терминах предельных точек.

Последовательность. Предел последовательности в топологическом пространстве и в метрическом пространстве. Предел последовательности в Rn (определения на языке расстояний и на языке окрестностей). Связь между близостью точек и близостью координат. Покоординатное определение предела последовательности в Rn. Связь предела с арифметическими операциями.

Компактные подмножества топологического пространства. Замкнутые подмножества компакта. Компакты в Rn. Критерий компактности. Полные метрические пространства. Теорема о полноте Rn. Подпоследовательность последовательности точек из Rn. Теорема Больцано - Вейершрасса и её следствие для компактов.

Функции нескольких переменных. Область определения, график, множество уровня, примеры. Определения предела функции многих переменных на языке расстояний, окрестностей, по Гейне. Равносильность определений. Предел по направлению и предел по окрестности. Связь предельного перехода с арифметическими операциями. Повторные пределы функции многих переменных. Теорема о повторных и двойных пределах.

Непрерывность функции многих переменных в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о композиции непрерывных функций многих переменных. Глобальные свойства непрерывных функций многих переменных. Теоремы Вейерштрасса. Теорема Больцано - Коши. Теорема Кантора.

  1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие рефераты:

Основы информационных технологий учебная программа дисциплины обязательного...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Основы информационных технологий учебная программа дисциплины обязательного...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Гісторыя Беларусі» для высших...
Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Гісторыя Беларусі» для высших...
Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-31...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Смг учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности
Учебная программа дисциплины обязательного компонента «Физическая культура. Лфк» составлена на основе требований образовательного...
Методика преподавания истории учебная программа дисциплины обязательного...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента «Методика преподавания истории» составлена на основе типовой учебной программы,...
Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента «История древних цивилизаций» составлена на основе требований образовательного...
Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-53...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Программа по дисциплине обязательного компонента для специальности...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта Республики...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза