Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-31 03 01-02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»


Скачать 315.04 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины обязательного компонента для специальности 1-31 03 01-02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»
страница1/2
Дата публикации25.05.2013
Размер315.04 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
referatdb.ru > Математика > Программа дисциплины
  1   2


Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»





УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

________________ И.В. Семченко

___________________ 2010

Регистрационный № УД- /р.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебная программа дисциплины

обязательного компонента для специальности

1-31 03 01-02 — «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

Факультет математический
Кафедра дифференциальных уравнений и теории функций
Курс (курсы) 2
Семестр (семестры) 3-4



Лекции 56 часов



Экзамен 4 семестр


Практические (семинарские

занятия 68 часов


Зачет 3 семестр


Лабораторные

занятия нет

Курсовой проект (работа) нет


Самостоятельная управляемая работа

студентов 12 часов


Всего аудиторных часов

по дисциплине 136 часов





Всего часов

по дисциплине 248 часов


Форма получения

высшего образования дневная


Составил: В.В.Мироненко, к.ф.-м. н., доцент
2010
Учебная программа составлена на основе типовой учебной программы, утвержденной 29.12.2008 г.

регистрационный № ТД – G.160/тип.

Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта на заседании кафедры дифференциальных уравнений и теории функций

_______________2010г., протокол №_____
Заведующий кафедрой

доцент _______________ А.П.Старовойтов

Одобрена и рекомендована к утверждению

методическим советом математического факультета


__________________2010г., протокол №____
Председатель

доцент _____________ В.М.Селькин

^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Основная цель изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» состоит в выработке у студента понимания единства математики и того, как математика находит себе приложения. Основные задачи курса сводятся к освоению элементарных приемов интегрирования элементарных дифференциальных уравнений и систем, усвоению основных теорем теории дифференциальных уравнений и знакомству с необходимостью и элементарными приемами качественного исследования дифференциальных систем. Для усвоения курса необходимы сведения из курсов "Математический анализ", "Алгебра", "Линейная алгебра", "Аналитическая геометрия". Курс "Дифференциальные уравнения" служит базой для курсов "Уравнения математической физики", "Теоретическая механика", "Методы оптимизаций".

Курс "Дифференциальных уравнений" посвящен, главным образом, изучению теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Лишь небольшой раздел этого курса посвящен элементарному введению в теорию уравнений в частных производных. Особое значение в курсе "Дифференциальные уравнения" следует уделить теории линейных дифференциальных уравнений и теории систем линейных дифференциальных уравнений.

В результате изучения курса "Дифференциальные уравнения" студент обязан не только усвоить основные приемы интегрирования дифференциальных уравнений и изучить основные теоремы теории этих уравнений, но и научиться применять эти уравнения в других областях науки и техники. С этой целью практические занятия по этому курсу обязаны содержать текстовые задачи на приложения дифференциальных уравнений. На этих задачах студент должен научиться моделировать простейшие физические, химические, биологические и др. процессы с помощью дифференциальных уравнений. Эти умения закрепятся и усилятся затем в курсах "Уравнения математической физики" и "Теоретическая механика".

Общее количество часов – 248; аудиторное количество часов – 136, из них: лекции – 56 часов, практические занятия – 68 часов, контролируемая самостоятельная работа – 12 часов. Форма отчетности – зачет, экзамен.
^ Содержание учебного материала

Раздел 1 Элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений
Тема 1.1 Дифференциальное уравнение и его решение

Понятие дифференциального уравнения. Решение и общее решение дифференциального уравнения. Задача Коши и краевые задачи для дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в естествознании.
^ Тема 1.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными

Метод интегрирования дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Особые и частные решения дифференциального уравнения. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения, приводимые к однородным.
^ Тема 1.3 Линейные дифференциальные уравнения

Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.
^ Тема 1.4 Способы понижения порядка дифференциальных уравнений

Уравнения, не содержащие искомой функции и ее первых производных. Уравнения, не содержащие независимой переменной. Уравнения, однородные относительно искомой функции и ее производных. Уравнения, левая часть которых является точной производной.
^ Тема 1.5 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Различные формы записи дифференциального уравнения. Интегрирование уравнения в полных дифференциалах. Общее решение уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши для уравнения в полных дифференциалах.
^ Тема 1.6 Интегрирующий множитель

Определение интегрирующего множителя. Теорема о существовании интегрирующего множителя. Неединственность интегрирующего множителя. Способы отыскания интегрирующего множителя.
^ Тема 1.7 Уравнения, неразрешенные относительно старшей

производной

Разрешение относительно производной. Общий метод введения параметра. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.
^ Раздел 2 Основные теоремы теории дифференциальных уравнений
Тема 2.1 Геометрический смысл дифференциальных уравнений

первого порядка

Геометрический смысл дифференциального уравнения в нормальной форме. Геометрический смысл дифференциального уравнения в общей форме. Поле направлений. Ломаные Эйлера.
^ Тема 2.2 Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Метод последовательных приближений. Метод ломаных Эйлера. Теорема существования и единственности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
^ Тема 2.3 Вопросы продолжимости решений

Продолжимое и продолженное решение. Промежуток существования решения. Максимальный промежуток существования решения. Продолжимость интегральной кривой до границы области.
^ Раздел 3 Линейные дифференциальные уравнения
Тема 3.1 Линейная зависимость функций

Линейно зависимые функции. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости функций. Достаточное условие линейной зависимости функций.
^ Тема 3.2 Пространство решений линейного однородного

дифференциального уравнения

Формула Остроградского-Лиувилля. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Существование фундаментальной системы решений. Фундаментальная матрица решений.
^ Тема 3.3 Структура общего решения линейного дифференциального уравнения

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных. Метод Коши для линейных дифференциальных уравнений.
^ Тема 3.4 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.
^ Раздел 4 Теория линейных систем дифференциальных уравнений
Тема 4.1 Линейные однородные системы дифференциальных

уравнений

Формула Остроградского-Лиувилля для линейных систем. Фундаментальная система решений. Пространство решений линейной однородной системы. Общее решение линейной однородной дифференциальной системы.
^ Тема 4.2 Линейные неоднородные системы дифференциальных

уравнений

Общее решение линейной неоднородной системы. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольной постоянной. Формула Коши.
^ Тема 4.3 Общее решение линейной стационарной системы

Метод исключения. Метод Эйлера. Общее решение линейной стационарной системы в комплексной области. Общее решение линейной стационарной системы в действительной области.
^ Тема 4.4 Матричный метод решения линейных систем

дифференциальных уравнений

Матричные ряды. Матричная экспонента. Теорема Лаппо-Данилевского. Формула Коши для линейных систем в матричном виде.
^ Раздел 5 Первые интегралы дифференциальных систем
Тема 5.1 Нелинейные дифференциальные системы и их первые

интегралы

Производная в силу системы. Использование производной в силу системы для изучения решений дифференциальной системы. Понятие первого интеграла. Понижение порядка системы с помощью первых интегралов.
^ Тема 5.2 Базис во множестве первых интегралов дифференциальной системы

Множество первых интегралов дифференциальной системы. Структура множества первых интегралов. Теорема о базисе. Построение базиса во множестве первых интегралов.
^ Тема 5.3 Стационарные первые интегралы и законы сохранения

Стационарные первые интегралы. Стационарные первые интегралы как законы сохранения. Стационарные первые интегралы нестационарных систем. Стационарные первые интегралы стационарных систем.
^ Раздел 6 Дифференциальные уравнения в частных производных
Тема 6.1 Линейные уравнения в частных производных

Дифференциальные системы в симметричной форме. Геометрический смысл дифференциальных систем в симметричной форме. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Задача Коши для линейных уравнений в частных производных.
^ Тема 6.2 Квазилинейные уравнения в частных производных и

уравнение Пфаффа

Метод решения квазилинейного уравнения в частных производных. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных. Системы уравнений в частных производных. Уравнение Пфаффа.
^ Раздел 7 Основы качественной теории дифференциальных

уравнений
Тема 7.1 Зависимость общего решения в форме Коши от параметра

и от начальных данных

Общее решение в форме Коши. Зависимость решений от параметра. Метод малого параметра. Теорема об интегральной непрерывности.
^ Тема 7.2 Автономные дифференциальные системы

Фазовое пространство. Траектории автономной системы. Диффеоморфизмы. Теорема о локальном выпрямлении траектории.
Тема 7.3 Особые точки автономных систем

Особые точки линейных систем. Классификация особых точек. Связь между линейными и нелинейными системами. Особые точки нелинейных систем.
Тема 7.4 Устойчивость по Ляпунову

Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Понятие о функции Ляпунова. Основная теорема Ляпунова.
^ Тема 7.5 Теорема Коши о голоморфных решениях

Понятие о голоморфном решении. Голоморфные функции и их мажоранты. Теорема Коши для уравнений и систем. Голоморфные решения дифференциальных уравнений.

^ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ


Номер раздела, темы, занятия



Название раздела, темы, занятия;

перечень изучаемых вопросов

Количество аудиторных часов




лекции

практичес-кие

занятия

лабораторные занятия

Контролируемая самостоятельная

работа студентов

материальное обеспечение занятия

литература

формы контроля знаний

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений

14

18




2










1.1

Дифференциальное уравнение и его решение

  1. Понятие дифференциального уравнения.

  2. Решение и общее решение дифференциального уравнения.

  3. Задача Коши и краевые задачи для дифференциальных уравнений.

  4. Дифференциальные уравнения в естествознании.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




1.2

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

  1. Метод интегрирования дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

  2. Особые и частные решения дифференциального уравнения.

  3. Однородные дифференциальные уравнения.

  4. Уравнения, приводимые к однородным.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




1.3

Линейные дифференциальные уравнения

  1. Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка.

  2. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения.

  3. Уравнение Бернулли.

  4. Уравнение Риккати.

2

4









[1], [2], [3], [4], [5], [6]




1.4

Способы понижения порядка дифференциальных уравнений

  1. Уравнения, не содержащие искомой функции и ее первых производных.

  2. Уравнения, не содержащие независимой переменной.

  3. Уравнения, однородные относительно искомой функции и ее производных.

  4. Уравнения, левая часть которых является точной производной.

2

2









[2], [3], [5], [6]




1.5

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

  1. Различные формы записи дифференциального уравнения.

  2. Интегрирование уравнения в полных дифференциалах.

  3. Общее решение уравнения в полных дифференциалах.

  4. Задача Коши для уравнения в полных дифференциалах.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




1.6

Интегрирующий множитель

  1. Определение интегрирующего множителя.

  2. Теорема о существовании интегрирующего множителя.

  3. Неединственность интегрирующего множителя.

  4. Способы отыскания интегрирующего множителя.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




1.7

Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной

  1. Разрешение относительно производной.

  2. Общий метод введения параметра.

  3. Уравнение Лагранжа.

  4. Уравнение Клеро.

2

2










[2], [3], [4], [5], [6]







Текущий контроль успеваемости студентов










2







Контрольная работа

2

Основные теоремы теории дифференциальных уравнений

6

6




4










2.1

Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

  1. Геометрический смысл дифференциального уравнения в нормальной форме.

  2. Геометрический смысл дифференциального уравнения в общей форме.

  3. Поле направлений.

  4. Ломаные Эйлера.

2

4










[1], [4], [5], [6], [7]




2.2

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

  1. Метод последовательных приближений.

  2. Метод ломаных Эйлера.

  3. Теорема существования и единственности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.

  4. Теорема существования и единственности задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.

2

2










[1], [2], [4], [5], [6], [7]




2.3

Вопросы продолжимости решений

  1. Продолжимое и продолженное решение.

  2. Промежуток существования решения.

  3. Максимальный промежуток существования решения.

  4. Продолжимость интегральной кривой до границы области.

2

-










[1], [4], [5]







Текущий контроль успеваемости студентов










2







Опрос

3

Линейные дифференциальные уравнения

8

10




2










3.1

Линейная зависимость функций

  1. Линейно зависимые функции.

  2. Определитель Вронского.

  3. Необходимое условие линейной зависимости функций.

  4. Достаточное условие линейной зависимости функций.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6], [10]




3.2

Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения

  1. Формула Остроградского-Лиувилля.

  2. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения.

  3. Существование фундаментальной системы решений.

  4. Фундаментальная матрица решений.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




3.3

Структура общего решения линейного дифференциального уравнения

  1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

  2. Принцип суперпозиции.

  3. Метод вариации постоянных.

  4. Метод Коши для линейных дифференциальных уравнений.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




3.4

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

  1. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

  2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

  3. Уравнение Эйлера.

  4. Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]







Текущий контроль успеваемости студентов










2







Контрольная работа

























Зачет




^ Всего часов за 3 семестр

28

34




6










4

Теория линейных систем дифференциальных уравнений

8

10




2










4.1

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

  1. Формула Остроградского-Лиувилля для линейных систем.

  2. Фундаментальная система решений.

  3. Пространство решений линейной однородной системы.

  4. Общее решение линейной однородной дифференциальной системы.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




4.2

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

  1. Общее решение линейной неоднородной системы.

  2. Принцип суперпозиции.

  3. Метод вариации произвольной постоянной.

  4. Формула Коши.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




4.3

Общее решение линейной стационарной системы

  1. Метод исключения.

  2. Метод Эйлера.

  3. Общее решение линейной стационарной системы в комплексной области.

  4. Общее решение линейной стационарной системы в действительной области.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




4.4

Матричный метод решения линейных систем дифференциальных уравнений

  1. Матричные ряды.

  2. Матричная экспонента.

  3. Теорема Лаппо-Данилевского.

  4. Формула Коши для линейных систем в матричном виде.

2

-










[1], [2], [3], [4], [5]







Текущий контроль успеваемости студентов










2







Контрольная работа

5

Первые интегралы дифференциальных систем

6

8




2










5.1

Нелинейные дифференциальные системы и их первые интегралы

  1. Производная в силу системы.

  2. Использование производной в силу системы для изучения решений дифференциальной системы.

  3. Понятие первого интеграла.

  4. Понижение порядка системы с помощью первых интегралов.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]




5.2

Базис во множестве первых интегралов дифференциальной системы

  1. Множество первых интегралов дифференциальной системы.

  2. Структура множества первых интегралов.

  3. Теорема о базисе.

  4. Построение базиса во множестве первых интегралов.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6], [10]




5.3

Стационарные первые интегралы и законы сохранения

  1. Стационарные первые интегралы.

  2. Стационарные первые интегралы как законы сохранения.

  3. Стационарные первые интегралы нестационарных систем.

  4. Стационарные первые интегралы стационарных систем.

2

2










[1], [2], [4], [5], [6]







Текущий контроль успеваемости студентов










2







Опрос

6

Дифференциальные уравнения в частных производных

4

8




1










6.1

Линейные уравнения в частных производных

  1. Дифференциальные системы в симметричной форме.

  2. Геометрический смысл дифференциальных систем в симметричной форме.

  3. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

  4. Задача Коши для линейных уравнений в частных производных.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




6.2

Квазилинейные уравнения в частных производных и уравнение Пфаффа.

  1. Метод решения квазилинейного уравнения в частных производных.

  2. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных.

  3. Системы уравнений в частных производных.

  4. Уравнение Пфаффа.

2

4










[1], [2], [3], [4], [5], [6]







Текущий контроль успеваемости студентов










1







Контрольная работа

7

Основы качественной теории дифференциальных уравнений

10

10




1










7.1

Зависимость общего решения в форме Коши от параметра и от начальных данных

  1. Общее решение в форме Коши.

  2. Зависимость решений от параметра.

  3. Метод малого параметра.

  4. Теорема об интегральной непрерывности.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [7]




7.2

Автономные дифференциальные системы

  1. Фазовое пространство.

  2. Траектории автономной системы.

  3. Диффеоморфизмы.

  4. Теорема о локальном выпрямлении траектории.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




7.3

Особые точки автономных систем

  1. Особые точки линейных систем.

  2. Классификация особых точек.

  3. Связь между линейными и нелинейными системами.

  4. Особые точки нелинейных систем.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [6]




7.4

Устойчивость по Ляпунову

  1. Понятие устойчивости по Ляпунову.

  2. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову.

  3. Понятие о функции Ляпунова.

  4. Основная теорема Ляпунова.

2

2










[1], [2], [3], [4], [5], [7], [9]




7.5

Теорема Коши о голоморфных решениях

  1. Понятие о голоморфном решении.

  2. Голоморфные функции и их мажоранты.

  3. Теорема Коши для уравнений и систем.

  4. Голоморфные решения дифференциальных уравнений.

2

-










[1], [3], [4], [5]







Текущий контроль успеваемости студентов










1







Опрос

























Экзамен




^ Всего часов за 4 семестр

28

34




6













^ Итого часов:

56

68




12











^ ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Перечень практических занятий

1 Дифференциальное уравнение и его решение

2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

3 Однородные и приводимые к однородным дифференциальные уравнения

4 Линейные дифференциальные уравнения

5 Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати

6 Способы понижения порядка дифференциальных уравнений

7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

8 Интегрирующий множитель

9 Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной

10 Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка

11 Ломаные Эйлера

12 Метод последовательных приближений

13 Линейная зависимость функций

14 Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

15 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

16 Метод вариации постоянных

17 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

18. Общее решение линейной однородной дифференциальной системы

19 Общее решение линейной неоднородной системы.

20 Метод вариации произвольной постоянной

21 Общее решение линейной стационарной системы

22 Метод Эйлера

23 Нелинейные системы дифференциальных уравнений

24 Первые интегралы дифференциальных систем

25 Базис во множестве первых интегралов дифференциальной системы

Множество первых интегралов дифференциальной системы. Структура множества первых интегралов. Теорема о базисе. Построение базиса во множестве первых интегралов.

26 Стационарные первые интегралы и законы сохранения

27 Системы в симметричной форме

28 Линейные уравнения в частных производных

29 Квазилинейные уравнения в частных производных

30 Уравнение Пфаффа

31 Метод малого параметра

32 Автономные дифференциальные системы

33 Особые точки автономных систем

34 Устойчивость по Ляпунову
^ Формы контроля знаний
1 Контрольные работы
  1   2

Похожие рефераты:

Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-31...
Учебная программа составлена на основе типовой учебной программы, утвержденной «19» декабря 2008 г
Программа дисциплины вузовского компонента для специальности 1-31...

Математический анализ учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Математический анализ» для...
Программа дисциплины по выбору для специальности 1-31 03 01 02 «Математика...

Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Гісторыя Беларусі» для высших...
Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-31...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Основы информационных технологий учебная программа дисциплины обязательного...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Программа дисциплины обязательного компонента для специальности 1-...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента «История древних цивилизаций» составлена на основе требований образовательного...
Основы информационных технологий учебная программа дисциплины обязательного...
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе требований образовательного стандарта Республики Беларусь....
Учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности
Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Гісторыя Беларусі» для высших...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза