Раз уравнение, значит, должно быть равенство. Но что должно включать равенство, чтобы уравнение называлось функциональным?


Скачать 52.11 Kb.
НазваниеРаз уравнение, значит, должно быть равенство. Но что должно включать равенство, чтобы уравнение называлось функциональным?
Дата публикации30.05.2013
Размер52.11 Kb.
ТипВопрос
referatdb.ru > Математика > Вопрос
Функциональные уравнения – знакомые незнакомцы

Функциональные уравнения! Раз уравнение, значит, должно быть равенство. Но что должно включать равенство, чтобы уравнение называлось функциональным? Вообще говоря, определение функционального уравнения довольно сложное, это одно из основных понятий интенсивно развивающейся области математики – функционального анализа. Понятно, что у нас не хватит знаний для глубокого изучения функциональных уравнений. Но кое в чём мы сможем разобраться.

Под функциональным уравнением будем понимать уравнение, в котором нужно найти неизвестную функцию, связанную с известными функциями при помощи образования сложной функции. С простейшими функциональными уравнениями Вы уже встречались. Например, уравнение . Решением этого уравнения является любая чётная функция.

Познакомимся со способами решения функциональных уравнений на конкретных примерах.

Задача 1. Найдите все функции, определённые на , удовлетворяющие условию .

Пусть - некоторое действительное число. Тогда или . Отсюда или . Из этого видно, что, если функции существуют, то их графикам будут принадлежать точки или . Понятно, что такими функциями будут функции и , но не только они!!! Например, функция также является решением уравнения.

Решением будет являться и функция

Это знаменитая функция Дирихле, с которой Вы ещё не раз встретитесь, изучая высшую математику.

Можете сконструировать ещё несколько функций-решений данного функционального уравнения.

Окончательный ответ будет звучать так:

- всякая, определённая на функция, график которой принадлежит объединению двух прямых и .

Задача 2. Найдите функцию , определённую на множестве натуральных чисел, удовлетворяющую условию , где - некоторое действительное число.

Будем решать это уравнение по схеме, которая в математике называется методом Коши.

1. Найдём выражения для Получим , , .

2. Этот “эксперимент” подсказывает, что , где .

3. Проверим, действительно ли выполняется равенство , где . Применим для доказательства метод математической индукции.

1. Проверим, выполняется ли равенство при : - верно.

2. Предположим, что равенство верно при , где , т.е. - верно.

3. Докажем, что из этого следует равенство для . Т.к. , то при получим или ; . Значит, равенство верно для любого натурального . Таким образом, решением заданного функционального уравнения будет функция , где - произвольное число.

Надеюсь, Вы узнали в этой функции давнюю знакомую – бесконечную арифметическую прогрессию.

Попробуйте сами составить функциональное уравнение, решением которого будет геометрическая прогрессия. Если не сможете, не огорчайтесь, попробуйте “увидеть” это уравнение в одной из задач для самостоятельной работы.

Рассмотрим ещё один метод решения функциональных уравнений – метод подстановки. Он заключается в подстановке вместо переменных их некоторых значений, позволяющих найти функцию .

Задача 3. Найдите все функции, определённые на множестве , удовлетворяющие соотношению .

Придадим   значение . Получим .

Отсюда .

Получим систему

Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2).

; ;

Отсюда ; ; .

Проверим, действительно ли функция удовлетворяет уравнению .



- верно.

Ответ: .

Решим ещё одно функциональное уравнение методом Коши.

Задача 4. Найдите все непрерывные функции (график таких функций можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги), удовлетворяющие условию .

Будем находить решение функционального уравнения постепенно, т.е. сначала найдём его решение, если является натуральным числом, затем – целым, потом рациональным и, наконец, - действительным.

1.     Пусть . Тогда .

2.     При , получим , ,

3.     Докажем методом математической индукции, что при натуральных значениях (докажите это самостоятельно!) . (1)

4.     При получим . - постоянное число. Обозначим его через . Значит, для , имеем .

5.     Положим в равенстве (1) , где , получим . Отсюда или . Обозначив через , получим . Значит, при положительном и рациональном мы получим . Предполагая, что функция - непрерывна, получим  , при , .

6.     Возьмём в равенстве . Получим . Отсюда .

7.     Возьмём в этом равенстве . Получим или .

Т.к. , то , т.е. . Итак, для любого действительного решением уравнения будет функция .

  Ответ:

Замечание. Уравнение называется уравнением Коши.

Ещё один способ решения функциональных уравнений заключается в использовании функциональных уравнений с известным решением.

Задача 5. Найдите непрерывные функции , удовлетворяющие условию . (1)

Попробуем свести это уравнение к функциональному уравнению Коши с непрерывным решением . Пусть , тогда . Так как - постоянное число, обозначим его через и получим .

Придадим теперь значение . Получим . Из уравнения (1)  получим или (2). Решением уравнения (1) является функция . Значит, решением уравнения (2) будет функция .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Запишите несколько решений функционального уравнения

а) ;

б) .

2. Укажите все функции с , удовлетворяющие следующему условию: .

3. Решите задачу 2, если функции–решения задачи обладают дополнительными свойствами:

а) непрерывностью в каждой точке своей области определения;

б) непрерывностью и чётностью;

в) непрерывностью и нечётностью.

4. Решите функциональные уравнения:

а)

б) .

5. Найдите все функции, определённые на множестве , для которых выполняется тождество

.

6. При каких значениях существует функция , для которой справедливо тождество ?

7. Найдите , если для всех имеет место соотношение .

8. определена при всех действительных значениях и удовлетворяет условию . Найдите .

Похожие рефераты:

Кодекс Республики Беларусь о судоустройстве и статусе судей 29 июня 2006 г. №139-З
Статья Равенство граждан и организаций перед законом и судом. Состязательность и равенство сторон при осуществлении правосудия
Уравнения математической физики
Уравнение гиперболического типа, если характеристическое уравнение имеет семейство характеристик
Линейные уравнения
...
На конкурс должно быть представлено оборудование ведущих мировых производителей
Право на поставку должно быть подтверждено авторизационным письмом производителя оборудования
На конкурс должно быть представлено оборудование ведущих мировых производителей
Право на поставку должно быть подтверждено авторизационным письмом производителя оборудования
На конкурс должно быть представлено оборудование ведущих мировых производителей
Право на поставку должно быть подтверждено авторизационным письмом производителя оборудования
Техническая спецификация закупаемых товаров
Ведущих мировых производителей, оборудование должно быть собрано и протестировано на заводах изготовителя. Право на поставку должно...
Питание детей 3-7 лет должно быть организовано таким образом, чтобы...
Питание должно снабжать организм ребенка необходимым количеством энергии для двигательной, психической и прочей активности
Уголок по экономии и бережливости
Оформление должно быть строгим, без излишеств. Представленный материал должен соответствовать трудовому законодательству Республики...
Техническая спецификация
На закуп должно быть представлено оборудование ведущих мировых производителей. Оборудование должно быть протестировано на заводах...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза