Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов 2 курса физического факультета специальности 1-53 01 02 «асои» Глава 1 Теория вероятностей


НазваниеТекст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов 2 курса физического факультета специальности 1-53 01 02 «асои» Глава 1 Теория вероятностей
страница1/6
Дата публикации16.03.2013
Размер1.32 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6




  • Кафедра высшей математики

  • Бураковский В.В.

  • Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»


для студентов 2 курса физического факультета специальности 1-53 01 02 «АСОИ»
Глава 1 Теория вероятностей

Введение
Возникновение теории вероятностей относят к XVII веку и связывают с решением комбинаторных задач теории азартных игр и потребностями страхового дела. Азартные игры и страхование являются классическими примерами вероятностных экспериментов. Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку ориентироваться в ходе игры, делать расчет ставок, оценивать шансы выигрыша, а также позволяли планировать расходы и доходы страховых компаний и.т.д.

Эти модели начали разрабатывать в XVII веке Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс. Основы классической теории вероятностей, которые сохранились и в настоящее время, были сформулированы в XVIII веке в работах Я.Бернулли, А.Муавра, П.Лапласа, С.Пуасона, К.Гаусса.

В 1933 г А.Н.Колмогоров опубликовал «Основные понятия теории вероятностей», в которой дал аксиоматическое построение теории вероятностей, основанной на теории множеств. Такое построение теории вероятностей сделало ее строгой математической наукой.

В это же время выделяется новая дисциплина—математическая статистика, которая имеет в настоящее время огромное прикладное значение. Она применяется в экономике, технике, социологии, физике и т.д. От ТВ отделились новые математические дисциплины: теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория планирования экспериментов. Сейчас они бурно развиваются.

^ П.1.1. Вероятностный эксперимент. Предмет и задачи теории вероятностей.

Результаты любого эксперимента в той или иной степени зависят от комплекса условий S, при которых данный эксперимент производится. Эти условия либо объективно существуют, либо создаются искусственно (т.е. производится планирование эксперимента).

По степени зависимости результатов эксперимента от условий, при которых он производился, все эксперименты можно разделить на два класса: детерминированные и вероятностные.

  1. ^ Детерминированные эксперименты—это эксперименты, результаты которых можно предвидеть заранее на основании естественнонаучных законов исходя из данного комплекса условий S.

Примером детерминированного эксперимента является определение ускорения, получаемого телом массы m под воздействием силы F, т.е.. Искомая величина однозначно определяется комплексом условий эксперимента (т.е. массой тела m и силой F).

Детерминированными являются, например, все процессы, основанные на использовании законов классической механики, согласно которым движение тела однозначно определяется заданными начальными условиями и силами, действующими на тело.

  1. ^ Вероятностные эксперименты (стохастические или случайные)—эксперименты, которые можно повторять произвольное число раз при соблюдении одних и тех же стабильных условий, но, в отличие от детерминированного, исход вероятностного эксперимента неоднозначен, случаен. Т.е. нельзя заранее на основании комплекса условий S предвидеть результат вероятностного эксперимента. Однако, если вероятностный эксперимент повторять многократно при одних и тех же условиях, то совокупность исходов таких экспериментов подчиняется определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей (а точнее их математических моделей) и занимается теория вероятностей. Приведем несколько примеров вероятностных экспериментов, которые в дальнейшем будем называть просто экспериментами.


Пример 1

Пусть эксперимент заключается в однократном подбрасывании симметричной монеты. Этот эксперимент может закончиться одним из исключающих друг друга исходов: выпадение герба или решетки (решки). Если точно знать начальные скорости поступательного и вращательного движения и начальное положение монеты в момент броска, то можно предвидеть результат этого эксперимента по законам классической механики. Т.е. он был бы детерминированным. Однако исходные данные эксперимента не могут быть зафиксированными и постоянно изменяются. Поэтому говорят, что результат эксперимента неоднозначен, случаен. Тем не менее, если будем подбрасывать одну и ту же симметричную монету многократно по достаточно длинной траектории, т.е. по возможности сохраним стабильными некоторые условия эксперимента, то совокупное число его исходов подчиняется определенным закономерностям: относительная частота выпадения герба , частоте выпадение бросков (n—число бросков, m1—число выпадений герба, m2—решки).

Пример 2

Предположим, что мы заполняем карточку спортлото. До проведения тиража выигрышей невозможно предсказать, сколько номеров будет правильно угадано. Однако опыт проведения тиража спортлото говорит о том, что средний процент игроков, угадавших m (1≤m≤6) номеров, колеблется около некоторой постоянной величины. Эти «закономерности» (средний процент правильного угадывания данного количества номеров) используются для расчета фондов выигрыша.

Вероятностные эксперименты имеют следующие общие черты: непредвиденность результата; наличие определенных количественных закономерностей при их многократном повторении при одинаковых условиях; множество возможных исходов.

  1. ^ Предметом теории вероятностей является количественный и качественный анализ математических моделей вероятностных экспериментов, называемый статической обработкой экспериментальных данных.

  2. Теория вероятностей—наука, занимающаяся анализом математических моделей для принятия решений в условиях неопределенности.


1.2. События и операции над ними.

Относительные частоты и их свойства

Первичным понятием теории вероятностей, неопределяемым через другие понятия, является пространство элементарных исходов Ω. Обычно в качестве пространства элементарных исходов берутся единственно возможные неразложимые результаты эксперимента.
Пример

  1. Предположим, что бросается симметричная монета. Тогда (герб и решка).

  2. Игральная кость .

  3. Бросаются две монеты .

  4. Бросаются две игральных кости . Число элементарных исходов 36.

  5. На [AB] числовой оси w бросается наудачу точка.



  1. На [AB] бросаются две точки .

B

y

x
Определение. Событием называется произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω. Те элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А.

Говорят, что событие А произошло, если в результате эксперимента происходит элементарный исход w A, т.е. благоприятствующий событию А.

Рассмотрим пример 2. , –событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков; –событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

  1. Все пространство элементарных исходов Ω, если взять в качестве события, называют достоверным событием, поскольку оно происходит в любом эксперименте (всегда).

  2. Пустое множество (т.е. множество, которое не содержит ни одного элементарного исхода) называется невозможным событием, поскольку оно никогда не происходит.

Все остальные события, кроме Ω и , называются случайными.

^ Операции над событиями

    1. Суммой событий А и В называется объединение этих множеств А B.

или .

–событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.

    1. Произведением событий А и В называется пересечение множеств А и В, т.е. А В. Обозначается как АВ.

АВ–событие, когда А и В происходят одновременно.

и .

    1. Разностью событий А и В называется разность множеств А\В.

А\В–событие, которое происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.

и .

  1. События А и В называются несовместимыми, если . Если А и В несовместимы, то будем обозначать .

  2. Говорят, что событие А влечет событие В, если А является подмножеством В, т.е. (когда происходит А, происходит В).

.

  1. Событие называется противоположным к событию А.

Пример 2. . происходит тогда, когда А не происходит.

  1. Говорят, что события Н12,…,Нn образуют полную группу, если Н12+…+Нn=Ω (т.е. Н1, Н2, Нn–несовместимы, т.е. Нi Нj= , если i≠j).

Например, А и образуют полную группу: .

Предположим, что производится некоторый случайный эксперимент, результат которого описывается пространством Ω. Произведем N экспериментов. Пусть А—некоторое событие ( ), N(A)—число тех экспериментов, в которых произошло событие А.

Тогда число называется относительной частотой события А.

Свойства относительных частот

  1. Относительная частота произвольного события А. .

  2. Относительная частота достоверного события равна 1. .

  3. (Аддитивность) Относительная частота суммы несовместимых событий


^ 2. Аксиомы теории вероятностей
Пусть Ω—пространство элементарных исходов. Предположим, что F—некоторый класс подмножеств Ω.

  1. Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью А, так что при этом выполняется аксиомы:



  1. , т.е. вероятность достоверного события равна 1.

  2. (счетной аддитивности) Если и , то (для несовместимых событий).


3 Дискретные пространства элементарных исходов.

Классическое определение вероятности


  1. Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать числами натурального ряда (натуральными числами).

Все другие бесконечные множества называются несчетными. Примером несчетного множества может служить [а,b], счетного N.

  1. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечно или счетно, т.е. или .

Любому элементарному исходу ставится в соответствие число , так что при этом . Т.е.

  1. Вероятностью события А называется число .

Пример. Бросаем игральную кость —дискретное пространство элементарных исходов. . Р (выпадает нечетное количество очков)=

Сделаем следующие предположения:

  1. Пространство элементарных исходов —конечно.

  2. Все элементарные исходы равновозможны (равновероятны), т.е. . Тогда получим , т.к. слагаемые равны, то имеем , т.е. , где . Рассмотрим некоторые события , где k≤n. Вероятность события А.

  1. Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных исходов: .

^ Это классическое определение вероятности.

Примеры:

  1. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?

, n=6; , k=3; .

  1. Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб?

, , .

  1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна семи?

, n=36;

, k=6;

.
^ 4. Элементы комбинаторики
Лемма 1. Из m элементов а1,…,аm первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно mn упорядоченных пар вида (аi, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Доказательство:



Всего имеем mn пар.

Пример. В колоде 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт. Итого n=49=36.

Лемма 2. Из n1 элементов первой группы a1, а2,…, аn1,

n2 элементов второй группы b1, b2,…, bn2,

n3 элементов k-ой группы x1, x2,…, xnk

можно составить ровно n1 n2…nk различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы.

  1. При k=2 утверждение выполняется (Лемма 1).

  2. Предположим, что Лемма 2 выполняется для k. Докажем для k+1 группы элементов . Рассмотрим комбинацию как и . Предположение дает возможность вычислить число комбинаций из k элементов, их n1 n2 nk. По Лемме 1 число комбинаций из k+1 элементов n1 n2… nk+1.

Пример. При бросании двух игральных костей N=66=36. При бросании трех костей N=666=216.

^ Леммы 1 и 2 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов a1, a2 ,an. Будем рассматривать выборку объема k из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам:

  1. упорядоченные и неупорядоченные.

  2. с возвращением и без возращения.

Если выборка упорядоченная, то выборки с одним и тем же составом выбранных элементов, но разным порядком элементов в выборках, считаются различными.

Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример. Возьмем множество из трех элементов {1,2,3}. Выбираем k=2.

(1,1);(1,2);(1,3);

(2,1);(2,2);(2,3);

(3,1);(3,2);(3,3);(1,1);(1,2);(1,3);

(2,2);(2,3);

(3,3);С возвращением(1,2);(1,3);

(2,1);(2,3);

(3,1);(3,2);(1,2);(1,3);

(2,3);Без возвращенияупорядоченнаянеупорядоченнаявыборка

Составим общую таблицу числа выборок:

С возвращением Без возвращенияупорядоченнаяНеупорядоченнаяВыборкаУпорядоченная выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения .

  1. Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений .

Пример. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

n=113.

, .

  1. Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке.

Pk-число перестановок из k элементов. , поскольку 0!=1.

  1. Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через .

. , где .

.
  1   2   3   4   5   6

Похожие рефераты:

Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и...
Рабочая программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов
Программа теоретической части №1 по курсу «Теория вероятностей и...
Пространство элементарных исходов. Соотношения между событиями и операции над ними
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика» по разделу теория вероятностей и математическая статистика,...
Факультет математический (название факультета) Кафедра экономической...
Учебная программа составлена на основе типовой программы «Теория вероятностей и математическая статистика» утвержденной Министерством...
Математика теория вероятностей и математическая статистика. Методические...
Рекомендовано к изданию методической комиссией инженерного факультета (протокол № от )
Программа экзамена по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Определение случайной последовательности. Типы сходимости случайных последовательностей
Теория вероятностей и математическая статистика Цель дисциплины
Цель дисциплины изучение основ теории вероятностей, формирование у студентов знаний, умений и навыков построения и анализа математических...
Руководство для практических занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Любой эксперимент или наблюдение изучаемого физического явления заканчивается некоторым событием (исходом). Если результат эксперимента...
Теория вероятностей и математическая статистика Типовая учебная программа...
Председатель Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза