Решение задачи о брахистохроне


Скачать 185.02 Kb.
НазваниеРешение задачи о брахистохроне
Дата публикации16.03.2013
Размер185.02 Kb.
ТипРешение
referatdb.ru > Математика > Решение
1.** Задача о брахистохроне и ее решение. Основная задача.

Постановка задачи: В вертикальной плоскости заданы 2 точки на различных уровнях. Требуется соединить их некоторой гладкой линией (без изломов), скатываясь по которой, тяжёлый материальный шарик под воздействием лишь силы тяжести (трение не учитывается) пройдёт путь из верхней точки в нижнюю за кратчайшее время.

Воспользуемся законом сохранения энергии в : в любой точке кривой сумма потенциальной и кинетической энергии шарика постоянна. Будем считать, что в точке 0 сумма равна 0, получаем , где – масса шарика; – ускорение свободного падения; – его скорость.

. С другой стороны ;



Тогда . Проинтегрируем обе части этого равенства: – время скатывания по кривой . Введём множество функций: . Тогда задача о брахистохроне примет вид: .

Эта задача была одной из первых задач, которая была поставлена и решена с помощью метода вариаций. Отсюда и название вариационное исчисление.

^ Постановка основной задачи вариационного исчисления. Слабая минималь

Основной задачей вариационного исчисления является обобщение задачи о брахистохроне.

Определение. Функция непрерывная вместе со своей первой производной и удовлетворяющая условию называется допустимой кривой.

Обозначим через – множество всех допустимых кривых (рис. 1). Каждой допустимой кривой поставим в соответствие функционал , где функция . Основная задача вариационного исчисления имеет вид (1)

Допустимая кривая называется минималью, если . Минималь – это аналог оптимального плана.

Определение. называется слабой минималью и обозначают СМ, если для некоторого . Здесь -окрестность в пространстве кривой , то есть Слабая минималь – это аналог локального оптимального плана.

Решение задачи о брахистохроне
Применяя к решению задачи из пункта 1 полученные условия оптимальности, получим:



Вычисляем для этой функции: и компоненты, входящие в полную производную по Составляем для задачи развёрнутое уравнение Эйлера. Если привести все слагаемые к общему знаменателю, то в результате для уравнения Эйлера получим: . Поскольку знаменатель в нуль не обращается, то уравнение Эйлера запишем в виде: (21)–это дифференциальное уравнение 2-го порядка явно не зависящее от х. Применением следствия из канонической системы нетрудно убедиться, что: =const (22) – первый интеграл для (21).

Имеем:

Из первого интеграла (22) (это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными) не трудно найти общее решение в параметрической форме:

(23)

где определяются из условий: .

В частности получим, что с1=0 и найдём с. Получим единственную экстремаль задачи.

Можно доказать, что задача о брахистохроне имеет решение и поэтому наша экстремаль и будет минималью – решением задачи о брахистохроне.

Известно, что кривая (23) называется циклоидой.

Таким образом, приходим к выводу, что брахистохроной является некоторая дуга циклоиды:


2.** Основная задача. Обобщение. О численном решении.
Основной задачей вариационного исчисления является обобщение задачи о брахистохроне.

Определение. Функция непрерывная вместе со своей первой производной и удовлетворяющая условию называется допустимой кривой.

Обозначим через – множество всех допустимых кривых (рис. 1). Каждой допустимой кривой поставим в соответствие функционал , где функция . Основная задача вариационного исчисления имеет вид:

(1)

Допустимая кривая называется минималью, если . Минималь – это аналог оптимального плана.

Определение. называется слабой минималью и обозначают СМ, если для некоторого . Здесь -окрестность в пространстве кривой , то есть

Слабая минималь – это аналог локального оптимального плана.

3.** Вариации допустимых кривых и функционала.

Пусть дана некоторая допустимая кривая , тогда функция называется вариацией этой допустимой кривой, если снова является допустимой, то есть . Удобно вариацию представлять в виде: , где – описывает форму вариации, а множитель её величину. Аналог в конечномерном программировании: .

Ясно, что при , поэтому функцию также называют вариацией допустимой кривой.

Из определения допустимых кривых вытекает, что некоторая функция будет вариацией тогда и только тогда, когда : 1) ;

2) .То есть вариация имеет вид(см.рис.)

Обозначим через . Для нашей задачи ясно, что некоторая вариация подходит сразу для всех допустимых кривых.

Вариация называется тривиальной, так как она оставляет любую допустимую кривую на месте. Вариация – основной инструмент исследования основной задачи вариационного исчисления.

Определение. Зафиксируем некоторую допустимую кривую и вариацию , тогда если допустимо разложение

, то коэффициент при называется первой вариацией функционала, а коэффициент при второй вариацией функционала.

Получим для основной задачи вариационного исчисления вид 1-ой и 2-ой вариации. Из теории разложения функции в ряд вытекает, что 1-ой вариации функционала вид:

(2)

Из соотношения (2) видно, что если зафиксировано , то первая вариация представляет из себя некоторое число. Из теории разложения функции в ряд следует, что 2-ая вариация функционала имеет вид:Видно, что 2-ая вариация представляет из себя некоторое число при фиксированных .

4.** Условие оптимальности в терминах вариации
Теорема 1. Пусть – слабая минималь основной задачи вариационного исчисления, тогда: 1) ;2) .

Доказательство. 1) Пусть – слабая минималь, предполагаем противное: , тогда из разложения получаем: где предполагаем, что -малое и противоположного знака знаку числа . При достаточно малом . Тогда это неравенство противоречит, что – слабая минималь.

2) Пусть – слабая минималь, предполагаем противное, что существует такая, что . Из разложения имеем:

для достаточно малого , то есть – противоречит, что – слабая минималь. Ч.т.д.

В частности, условие стационарности из теоремы 1 можно записать в явном виде: если – слабая минималь, то

(4)

5.** Условие Эйлера. Лемма Лагранжа.
Основная задача вариационного исчисления имеет вид: (1)

Теорема 1.. Пусть – слабая минималь основной задачи вариационного исчисления, тогда: 1) ;2) .

Условие стационарности из теоремы 1 неудобно для проверки, а тем более для поиска функции, подозрительной на слабую минималь, поскольку из (4) видно, что оно должно выполняться для всевозможных итераций.

Эйлер вывел своё уравнение, которое удобно для проверки и нахождения решения задачи (1).

^ Лемма (Лагранжа). Если для некоторой непрерывной функции и любой итерации справедливо равенство: (5) то отсюда следует, что .

Доказательство. От противного: пусть выполняется (5), но тем не менее существует . Так как функция входит в (5) линейно, то , а в силу непрерывности можно считать, что – внутренняя точка на , более того существует малое .




Выберем в (5) в качестве , так как изображено на рисунке.

Замечание. В точках функция гладкая и равна 0, а площадь выделенной фигуры равна (такую функцию можно подобрать).

Подставим в левую часть (5) и подсчитаем:

. Противоречие с условием (5). Ч.т.д.

^ Теорема 2(условие Эйлера). Если – слабая миниамаль основной задачи вариационного исчисления, то она необходимо всюду на [a,b] должна удовлетворять уравнению (уравнение Эйлера) (6) (то есть при подстановке в уравнение (6) должна обращать его в верное тождество на [a,b]).

Доказательство. Пусть – слабая миниамаль, тогда по теореме 1 выполняется условие стационарности, то есть выполняется равенство (4). Второе слагаемое в (4) проинтегрируем по частям: .

Полученное подставим в (4), в результате получим:

.

Поскольку в квадратных скобках стоит непрерывная функция , то используя лемму Лагранжа, приходим к тождеству:

. Ч.т.д.

6.** Условие Эйлера. Обсуждение.
Основная задача вариационного исчисления имеет вид: (1) .

Задача (4): (4)

Теорема 1.. Пусть – слабая минималь основной задачи вариационного исчисления, тогда: 1) ;2) .

Условие стационарности из теоремы 1 неудобно для проверки, а тем более для поиска функции, подозрительной на слабую минималь, поскольку из (4) видно, что оно должно выполняться для всевозможных итераций.

Эйлер вывел своё уравнение, которое удобно для проверки и нахождения решения задачи (1).

^ Лемма (Лагранжа). Если для некоторой непрерывной функции и любой итерации справедливо равенство: (5)

то отсюда следует, что .

^ Теорема 2(условие Эйлера). Если – слабая миниамаль основной задачи вариационного исчисления, то она необходимо всюду на [a,b] должна удовлетворять уравнению (уравнение Эйлера) (6) (то есть при подстановке в уравнение (6) должна обращать его в верное тождество на [a,b]).

Обсуждение условий Эйлера

Из теоремы 2 следует: решение ОЗВИ надо искать только среди решений уравнения (6).

Распишем подробно уравнение (6) вычислив во 2-м слагаемом полную производную по (для удобства умножим уравнение (6) на -1):

(6*)

Из (6*) видно, что относительно искомой функции уравнение Эйлера, есть обыкновенное дифференциальное уравнение II-го порядка. Предположим, что мы нашли его общее решение на [a, b]:



Выделим из него допустимые кривые. Они выделяются с помощью условий:

– эти функции, допустимые прямые, которые являются решением уравнения Эйлера называется экстремалями ОЗВИ.

Условие Эйлера можно переформулировать: любая слабая минималь находится среди экстремалей задачи.

Для решения ОЗВИ надо: по функционалу построить уравнение Эйлера, решить его, построить экстремали и проверить условия существования решения и условия II-го порядка.

Определение. Если для функционала , для некоторой допустимой кривой и вариации допустимо представление: , то функция а(х) на [a,b] называется вариационной производной функционала I вдоль допустимой кривой y и обозначается: или grad(I(y)).

Из доказательства теоремы 2 следует, что для ОЗВИ: (7)

и теорему 2 можно переформулировать:

Для функции одной переменной производная – это число, для функции переменных производная – это вектор, а для вариационной производной – это функция на [a,b].

7.** Теорема Гильберта.
Определение. Допустимая кривая будет называться неособой, если выполняется условия:

Поскольку экстремаль и слабая минималь – допустимые кривые, то можно говорить о неособых экстремалях, и неособых слабых минималях.

Справедлива следующая теорема.

^ Теорема 4 (Гильберта). Каждая неособая экстремаль дважды непрерывно дифференцируема, то есть принадлежит классу .

Доказательство. Пусть – экстремаль, причём неособая, то есть . Рассмотрим уравнение: где . Из доказательства интегрального условия Эйлера следует, что справедливо соотношение: (см. тождество (12)), то есть наше уравнение разрешимо, . Поскольку то функция удовлетворяет всем условиям теоремы о не явных функциях (в главе 3), а согласно этой теореме так как , то такой же будет и явное решение, то есть , а это означает, что существует , что и требовалось доказать. Ч.т.д.

Для многих задач ОЗВИ все допустимые кривые являются неособыми и для них можно использовать развёрнутое уравнение Эйлера.

8.** Условие Вейерштрасса-Эрдмана.
Рассмотрим более широкий класс задач ОЗВИ.

Определение. Некоторую функцию будем называть кусочно-непрерывной, если эта функция имеет на [a,b] конечное число разрывов I-го рода. Обозначается множество таких функций PC[a,b].

Будем говорить, что функция является кусочно-гладкой на [a,b], если сама она непрерывна, а её производная кусочно-непрерывна.

В этом случае .

Введём множество допустимых кривых следующим образом: .




Рассмотрим вариационную задачу вида: (18)

Ясно, что задача (18) содержит ОЗВИ. Для неё справедлива теорема:
Теорема 6. Пусть – слабая минималь задачи (18), а точки – точки её излома. Тогда на каждом отрезке должна удовлетворять уравнению Эйлера: А в каждой точке излома вып. условие Вейерштрасса-Эрдмана: (19)

Доказательство. Пусть – слабая минималь, тогда для неё выполняется теорема 1, и дословно повторяя доказательство интегрального условия Эйлера приходим к выводу:

(20)

Если теперь рассмотреть , то на нём правая часть (20) будет непрерывно дифференцируемой функцией, следовательно, применяем к (20) второе доказательство условия Эйлера и приходим к (12).

Рассмотрим теперь точки излома . Поскольку справа в тождестве (20) стоит непрерывная функция x (интеграл с переменным верхним пределом), то она будет непрерывна и точках излома, следовательно, будет непрерывна в точках излома левая часть (20), а условие непрерывности можно записать в виде (19).

9.** Канонические переменные и каноническая система
По ОЗВИ построим функцию (15), считая, что переменная выражена через из выражения (16) Функция называется гамильтонианом задачи.

Теорема 5. Уравнение Эйлера эквивалентно канонической системе:

(17)

Доказательство. Необходимость. Пусть решение уравнения Эйлера, положим тогда и покажем, что пара и удовлетворяет уравнению (17): (I-е уравнение (17) верно)

Достаточность. Пусть пара – решение системы (17). Докажем тогда, что функция y удовлетворяет уравнению Эйлера: тогда с одной стороны по (16): а с другой стороны: Приравнивая правые части получим, что наша функция y удовлетворяет условию Эйлера. Система (17) имеет симметричный и удобный вид, и для некоторых задач ОЗВИ при нахождении экстремалей проще решения уравнения Эйлера построить и решить каноническую систему (17).Особую роль гамильтониан играет в механике: функция и переменные имеют особый смысл: – есть импульс силы.

Следствие теоремы 5. Вдоль решения системы (17): .

Доказательство. .

Отсюда можно сделать вывод, что если для некоторого ОЗВИ: – не зависит от , и тогда , тогда по следствию: – первый интеграл системы (17).

Это позволяет понизить её порядок, свести решение канонической системы, а значит и решение уравнения Эйлера к дифференциальному уравнению первого порядка.
10.** Присоединенная задача на минимум. Лемма 1,2.

Из теоремы 1 §1 следует, что если – слабая минималь, то , что значит:

(1)
Присоединённая задача на минимум

Пусть зафиксирована некоторая допустимая кривая .

Обозначим: в (1), и рассмотрим задачу вариационного исчисления:

(2)

Она называется присоединённой задачей на минимум вдоль допустимой кривой у. По своему типу задачи (2) относятся к ОЗВИ, только в ней в место

Если у нас – слабая минималь задачи, то функцию будем обозначать .

Лемма 1. Присоединённая задача на минимум вдоль слабой минималь ОЗВИ всегда имеет решение (по крайней мере, тривиальное).

Доказательство. Пусть в (2) , тогда очевидно:

то есть функционал присоединённой задачи на минимум ограничен снизу нулём.

Если взять тривиальную , то очевидно функционал достигает нулевого значения.

Таким образом, тривиальная вариация будет решением задачи. Ч.т.д.

Лемма 2. (3)

Доказательство.

(I) (II)

Если теперь (I) умножить на h, а (II) на , и сложить, то получим в результате Ч.т.д.

11.** Присоединенная задача на минимум. Уравнение Якоби.

Из теоремы 1 §1 следует, что если – слабая минималь, то , что значит:

(1)
Присоединённая задача на минимум

Пусть зафиксирована некоторая допустимая кривая .

Обозначим: в (1), и рассмотрим задачу вариационного исчисления:

(2)

Она называется присоединённой задачей на минимум вдоль допустимой кривой у. По своему типу задачи (2) относятся к ОЗВИ, только в ней в место

Если у нас – слабая минималь задачи, то функцию будем обозначать .
Так как задача (2) относится к ОЗВИ, то для неё выполняется все условия оптимальности доказанные в §1, в частности и условие Эйлера. Построим для задачи (2) уравнение Эйлера:

(4)

Это уравнение называется уравнением Якоби вдоль допустимой кривой у.

Если вычислить полную производную по х в (4), и собрать члены при одинаковых производных функции h, то уравнение Якоби примет вид:

(4*)

то есть относительно искомой функции h уравнение Якоби (4*) представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение II-го порядка с непрерывными коэффициентами . Подсчитаем коэффициенты :



отнимая от этого соотношения получаем:

.

Похожие рефераты:

Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им....
Тема Решение задачи об использовании ресурсов. Решение задачи о планировании производства. Решение транспортных задач
Исследование существования тройки Исследование множеств, содержащих...
Решение исходной задачи с использованием трёхмерной последовательности Фибоначчи
Решение задачи Дирихле для полуплоскости можно записать по формуле...
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности задается интегральной формулой Пуассона
Вопросы к экзамену Основные понятия, этапы и методы математического...
Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графическое решение задачи
Лекция №3 Принципы организации съемочных работ
Основные геодезические задачи: вычисление дирекционных угла в направлений; решение треугольников; прямая и обратная геодезические...
Мгэу им. А. Д. Сахарова 20 лет. Вклад университета в решение задачи...
Лификации специалистов в области энергоэффективных технологий и использования возобновляемых источников энергии, материально-техническое...
Контрольное задание №2 Решение задачи 1
Проблема определения радиусов звезд непроста и для ее разрешения используются различные методологические подходы. Исходные данные...
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует:...
Решение задач по физической географии
Юные географы, предлагаем вам решить задачи по физической географии. За каждое правильное решение можно получить 10 баллов. Полным...
Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода...
Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза