2 Ряды Фурье в гильбертовых пространствах


Скачать 109.09 Kb.
Название2 Ряды Фурье в гильбертовых пространствах
Дата публикации17.06.2013
Размер109.09 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
;

, ,

т. е. удовлетворяет аксиомам евклидова пространства.

Множество всех кусочно-непрерывных на функций со скалярным произведением называется пространством и обозначается .
1.2 Гильбертовы пространства

Неотрицательное число



называется нормой функции в .

Учитывая, что

,

норму функции можно записать в виде:

.

Функция называется нормированной, если ее норма равна единице. Пространство с заданной нормой , называется нормированным.

Метрические пространства, элементами которых являются функции, называются функциональными метрическими пространствами.

Метрическое пространство называется полным, если всякая его фундаментальная последовательность сходится.

Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Полнота понимается здесь в смысле метрики, порожденной нормой пространства.

Полное линейное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством.
1.3 Ортогональные системы функций

Две функции и называются ортогональными на отрезке , если их скалярное произведение на равно нулю:

.

Система функций



(конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке, т. е.

, , .

Ортогональная система функций () на отрезке называется ортонормированной, если

ℕ.

Любую ортогональную на систему функций () с можно нормировать. Для этого достаточно разделить каждую функцию системы () на ее норму. В результате получим ортонормированную систему функций .

^ Основной тригонометрической системой функций на отрезке называется система

.

Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной .
Тема 2 Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

2.1 Экстремальное свойство коэффициентов Фурье.

2.2 Неравенство Бесселя.

2.3 Сходимость рядов Фурье.

2.4 Равенство Парсеваля.
2.1 Экстремальное свойство коэффициентов Фурье

При изучении возможности представления функции рядом Тейлора в точке предполагалось, что бесконечно дифференцируема в окрестности этой точки. Представление же функций рядами Фурье допускает более широкий класс кусочно-непрерывных функций.

Пусть () – ортогональная система функций в .

Выражение

.

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций (). Если () – основная тригонометрическая система функций, то ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.

Метрикой (расстоянием) в пространстве называется величина

.

Величина характеризует близость функций и в среднем квадратичном.

Используя определение нормы функции, имеем

.

^ Ортогональным многочленом Фурье называется частичная сумма

.

Если в качестве ортогональной системы функций выбрана основная тригонометрическая система, то многочлен Фурье называется тригонометрическим и обозначается .
2.2 Неравенство Бесселя

Теорема 1 (об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье) Среди всех обобщенных многочленов вида , , наилучшей средней квадратичной аппроксимацией функции на отрезке является многочлен Фурье, коэффициенты которого находятся по формулам .

Теорема 2 (неравенство Бесселя) Если и ее обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций (), то справедливо неравенство

.
2.3 Сходимость рядов Фурье

Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции на отрезке , если последовательность его частичных сумм () сходится к функции равномерно, т. е. для любого можно указать такое натуральное число , что при всех будет выполняться равенство

.

Из равномерной сходимости следует, что при

.

Ряд Фурье называется сходящимся в среднем квадратичном к функции на отрезке , если последовательность его частичных сумм () сходится к функции в среднем квадратичном, т. е.

.

Понятие сходимости в среднем квадратичном является обобщением понятия равномерной сходимости.
2.4 Равенство Парсеваля

Теорема 3 Если обобщенный ряд Фурье функции сходится на отрезке равномерно к функции , то он сходится к на и в среднем квадратичном.

Теорема 4 Для того чтобы обобщенный ряд Фурье функции сходился к на отрезке в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля – Стеклова:

.

Ортогональная система функций (), для которой выполняется равенство Парсеваля – Стеклова, называется замкнутой в , а само равенство – уравнением замкнутости.

Из теоремы 4 следует, что любая функция может быть разложена в сходящийся к ней в среднем квадратичном ряд Фурье по ортогональной на системе функций (), если эта система является замкнутой в .

Тема 3 Ряды Фурье по тригонометрической системе

3.1 Основная тригонометрическая система.

3.2 Тригонометрические ряды Фурье.

3.3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

3.4 Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье.
3.1 Основная тригонометрическая система

Пусть – кусочно-непрерывная периодическая функция с периодом . Рассмотрим основную тригонометрическую систему функций, ортогональную на :

,

для которой:

, .

Основная тригонометрическая система функций обладает полнотой, т. е. для любой функции , интегрируемой с квадратом, имеет место равенство Парсеваля – Стеклова при , :

.

Поэтому периодическую функцию с периодом можно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к функции в среднем квадратичном:

.

С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой , при синусах – буквой , а начальный коэффициент – буквой .
3.2 Тригонометрические ряды Фурье

Ряд Фурье

,

коэффициенты которого определяются по формулам

, ,

, .

называется тригонометрическим рядом Фурье для периодической функции .

Для тригонометрического ряда Фурье справедливо уравнение Ляпунова:

.

В частности, если , то ряд Фурье для такой функции имеет вид

,

где коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам:

, ,

, ℕ.

Каждой периодической с периодом функции можно поставить в соответствие ряд Фурье

.

Важными являются два вопроса о сходимости рядов Фурье:

– при каких условиях, налагаемых на функцию , ряд Фурье сходится в том или ином смысле к этой функции?

– как влияют свойства функции на характер сходимости ее ряда Фурье?

Ответ на эти вопросы будет дан в следующих теоремах.

Теорема 1 Если – кусочно-непрерывная на отрезке функция, то ее тригонометрический ряд Фурье (2.4) сходится к функции в среднем квадратичном:

.

Теорема 2 Если – кусочно-гладкая на отрезке функция, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка и для суммы ряда Фурье справедливы следующие соотношения:

1) , если – точка непрерывности функции ;

2) , если – точка разрыва первого рода функции ;

3) .

На рисунке 1 дана геометрическая интерпретация условий 1), 2), 3) теоремы 2.



Рисунок 1 – Сходимость ряда Фурье в различных точках
Так, например, условие 2) означает, что в точках разрыва первого рода сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева.

Теорема 3 Если функция является кусочно-гладкой и непрерывной на отрезке , а на концах этого отрезка удовлетворяет условию , то ее тригонометрический ряд Фурье на сходится к равномерно.

Теоремы 1 – 3 показывают, как свойства функции влияют на сходимость ее ряда Фурье:

– если – кусочно-непрерывная функция с периодом , то ее ряд Фурье сходится к ней в среднем квадратичном;

– если – кусочно-гладкая функция, то ее ряд Фурье сходится к в каждой точке непрерывности этой функции и к в точке разрыва, т.е. сумма ряда не везде совпадает с ;

– если – кусочно-гладкая и непрерывная функция, то ее ряд Фурье сходится равномерно к .
3.3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Для четной функции имеет место равенство . В этом случае произведение является четной функцией, а произведение – нечетной. Поэтому коэффициенты ряда Фурье для четной функции находятся по формулам:

, , , ℕ.

а сам ряд Фурье для четной функции содержит только косинусы и свободный член:

.

Для нечетных функций имеет место равенство . В этом случае произведение является нечетной функцией, а произведение – четной. Таким образом, коэффициенты тригонометрического ряда Фурье для нечетной функции находятся по формулам:

, ℕ, , ,

а сам тригонометрический ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусы:

.
3.4 Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье

Если кусочно-гладкая функция задана на отрезке , то ее можно разложить в ряд Фурье или только по косинусам, или только по синусам.

Для разложения функции в ряд по косинусам ее продолжают на отрезок четным образом (рисунок 2):



которую затем периодически продолжают на всю числовую ось.






Рисунок 2 – Продолжение непериодической функции четным образом

Рисунок 3 – Продолжение непериодической функции нечетным образом


В этом случае ряд Фурье для функции на отрезке содержит только косинусы:

,

где , , ℕ.

Для разложения функции в ряд по синусам ее продолжают на отрезок нечетным образом (рисунок 3):



которую затем периодически продолжают на всю числовую ось.

В этом случае ряд Фурье для функции на отрезке содержит только косинусы:

,

где , ℕ.

Пусть , -периодическая функция, которая представима сходящимся тригонометрическим рядом Фурье. В электро- и радиотехнике для такой функции используется комплексная форма тригонометрического ряда Фурье:

.

Коэффициенты , , ряда находятся по формулам:

, .

Выражения называются гармониками, числа , волновыми числами, множество всех волновых чисел – спектром, коэффициенты – комплексными амплитудами.
Вопросы для самоконтроля

Определения

  1. Что называется скалярным произведением функций и какими свойствами оно обладает?

  2. Какая система функций называется ортогональной и ортонормированной?

  3. Какая функция называется кусочно-непрерывной?

  4. Какое выражение называется обобщенным рядом Фурье?

  5. Что называется среднеквадратичным уклонением функций?

  6. Какая ортогональная система функций называется замкнутой?


Формулировки теорем и формулы

  1. Какое выражение называется ортогональным многочленом Фурье?

  2. По каким формулам вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда Фурье для периодических функций?

Доказательства теорем

  1. Запишите основную тригонометрическую систему и докажите ее ортогональность.

  2. Сформулируйте и докажите теорему об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье.

  3. Сформулируйте и докажите неравенство Бесселя.

Вопросы и задачи на понимание

  1. Как измерить близость функций?

  2. Что можно сказать о сходимости обобщенного ряда Фурье, если для него выполняется неравенство Бесселя?

  3. При выполнении каких условий тригонометрический ряд Фурье сходится к функции?

  4. В чем особенность вычисления коэффициентов Фурье для четных и нечетных функций?

  5. Как разложить в ряд Фурье непериодическую функцию?







Похожие рефераты:

2 Ряды Фурье по тригонометрической системе
Вычислим норму первого члена основной тригонометрической системы функций. Так как
Ряды Фурье Практическое занятие 1
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа...
Исследование свойств преобразования Фурье дискретных сигналов
Преобразование Фурье – есть один из основных свойств исследования непериодических сигналов
Отчеты учителей по темам самообразования Мониторинг оценки нервно-психического...
Проведение работы по подготовке к вступлению учащихся 8-11 классов в ряды оо «брсм», учащихся 4 классов в ряды оо «брпо»
Методологические подходы к анализу политических процессов на европейском...

Экзаменационные вопросы по курсу “ кооперация в апк
Возникновение кооперативного движения (Оуэн, Кинг, Фурье, Шульце-Делич, Райфайзен)
Литература Тема урока «Образ Обломова первый шаг к пониманию этого...
...
1. Приближенно келеровы f-структуры на однородных -пространствах...
Конструирование Web-системы управления документацией с эффективным пользовательским интерфейсом
Решение. Имеем
Решение. Функция,, – гладкая и абсолютно интегрируемая на интервале. Следовательно, для нее существуют косинус- и синус- преобразования...
Инструкция по охране труда для газосварщика общие требования безопасности
...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза