Ряды Фурье Практическое занятие 1


Скачать 261.46 Kb.
НазваниеРяды Фурье Практическое занятие 1
страница1/3
Дата публикации17.06.2013
Размер261.46 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3
Тема 2 Ряды Фурье
Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций
1.1 Пространство кусочно-непрерывных функций

1.2 Обобщенный ряд Фурье

1.3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье
1.1 Пространство кусочно-непрерывных функций

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.

Пусть – кусочно-непрерывная на функция. В любой точке разрыва такой функции существуют односторонние пределы . Поэтому на каждом участке непрерывности существуют определенные интегралы Римана и . Значит, кусочно-непрерывная на функция интегрируема вместе со своим квадратом на . Функция в этом случае называется функцией с интегрируемым квадратом.

Так как на множестве кусочно-непрерывных функций определены линейные операции, удовлетворяющие аксиомам линейного пространства, то это множество образует линейное пространство.

^ Скалярным произведением функций и на отрезке называется число

.

На рассматриваемом множестве скалярное произведение функций существует и обладает следующими свойствами:

;

;

;

, ,

т. е. удовлетворяет аксиомам евклидова пространства.

Множество всех кусочно-непрерывных на функций со скалярным произведением называется пространством и обозначается .

Неотрицательное число



называется нормой функции в .

Учитывая, что

,

норму функции можно записать в виде:

.

Функция называется нормированной, если ее норма равна единице.

Две функции и называются ортогональными на отрезке , если их скалярное произведение на равно нулю:

.

Система функций



(конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке, т. е.

, , .

Ортогональная система функций () на отрезке называется ортонормированной, если

.

Любую ортогональную на систему функций () с можно нормировать. Для этого достаточно разделить каждую функцию системы () на ее норму. В результате получим ортонормированную систему функций .

Основной тригонометрической системой функций на отрезке называется система
.
Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной .
^ 1.2 Обобщенный ряд Фурье

При изучении возможности представления функции рядом Тейлора в точке предполагалось, что бесконечно дифференцируема в окрестности этой точки. Представление же функций рядами Фурье допускает более широкий класс кусочно-непрерывных функций.

Пусть () – ортогональная система функций в .

Выражение

.

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций (). Если () – основная тригонометрическая система функций, то ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.

Метрикой (расстоянием) в пространстве называется величина

.

Величина характеризует близость функций и в среднем квадратичном.

Используя определение нормы функции, имеем

.

Ортогональным многочленом Фурье называется частичная сумма

.

Если в качестве ортогональной системы функций выбрана основная тригонометрическая система, то многочлен Фурье называется тригонометрическим и обозначается .
^ 1.3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье

Теорема 1 (об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье) Среди всех обобщенных многочленов вида , , наилучшей средней квадратичной аппроксимацией функции на отрезке является многочлен Фурье, коэффициенты которого находятся по формулам .

Теорема 2 (неравенство Бесселя) Если и ее обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций (), то справедливо неравенство

.

Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции на отрезке , если последовательность его частичных сумм () сходится к функции равномерно, т. е. для любого можно указать такое натуральное число , что при всех будет выполняться равенство

.

Из равномерной сходимости следует, что при

.

Ряд Фурье называется сходящимся в среднем квадратичном к функции на отрезке , если последовательность его частичных сумм () сходится к функции в среднем квадратичном, т. е.

.

Понятие сходимости в среднем квадратичном является обобщением понятия равномерной сходимости.

Теорема 3 Если обобщенный ряд Фурье функции сходится на отрезке равномерно к функции , то он сходится к на и в среднем квадратичном.

Теорема 4 Для того чтобы обобщенный ряд Фурье функции сходился к на отрезке в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля – Стеклова:

.

Ортогональная система функций (), для которой выполняется равенство Парсеваля – Стеклова, называется замкнутой в , а само равенство – уравнением замкнутости.

Из теоремы 4 следует, что любая функция может быть разложена в сходящийся к ней в среднем квадратичном ряд Фурье по ортогональной на системе функций (), если эта система является замкнутой в .
^ Вопросы для самоконтроля
1 Какая функция называется кусочно-непрерывной?

2 Что называется скалярным произведением функций и какими свойствами оно обладает?

3 Какая система функций называется ортогональной и ортонормированной?

4 Запишите основную тригонометрическую систему и докажите ее ортогональность.

5 Какое выражение называется обобщенным рядом Фурье?

6 Как измерить близость функций? Что называется среднеквадратичным уклонением функций?

7 Какое выражение называется ортогональным многочленом Фурье? Запишите тригонометрический многочлен Фурье.

8 Сформулируйте теорему об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье.

9 Что можно сказать о сходимости обобщенного ряда Фурье, если для него выполняется неравенство Бесселя?

10 Какая ортогональная система функций называется замкнутой?
^ Решение типовых примеров
1 Вычислить скалярное произведение функций и на отрезке .

Решение. Имеем:

.

2 Вычислить норму функции в .

Решение. Так как

,

то .

3 Проверить ортогональны ли функции и на отрезках а) , б) .

Решение.

а) функции и являются ортогональными на отрезке , так как

;

б) функции и не являются ортогональными на отрезке , поскольку

.

4 Доказать, что основная тригонометрическая система функций



на отрезке является ортогональной и построить соответствующую ей ортонормированную систему.

Решение. Докажем, что система ортогональна. Имеем:



.

Аналогично доказывается равенство нулю остальных интегралов:

,

,

, ,

, ,

, .

Вычислим норму первого члена основной тригонометрической системы функций. Так как

,

то .
Найдем норму произвольного члена системы, содержащего косинусы:



, .

Аналогично доказывается, что

.

Разделим каждый член ортогональной на системы на соответствующую ему норму. В результате получается ортонормированная на отрезке система функций:
.
  1   2   3

Похожие рефераты:

2 Ряды Фурье в гильбертовых пространствах
Множество всех кусочно-непрерывных на функций со скалярным произведением называется пространством и обозначается
2 Ряды Фурье по тригонометрической системе
Вычислим норму первого члена основной тригонометрической системы функций. Так как
Практическое занятие 5 Ряды Тейлора и Маклорена
Радиус сходимости степенного ряда может быть как равным нулю, так и отличным от него, причем в последнем случае сумма ряда Тейлора...
Исследование свойств преобразования Фурье дискретных сигналов
Преобразование Фурье – есть один из основных свойств исследования непериодических сигналов
Содержание Введение
Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1 и 2-го рода
Практическое занятие (2 часа)
Закономерности формирования, развития и функционирования технологических процессов
План семинарских занятий
Практическое занятие №1 Политическая конфликтология как наука и учебная
Ба-51, 52, 53зс Практическое занятие №1 Вопросы темы: [2 ч.]
«Особенности анализа хозяйственной деятельности в других отраслях народного хозяйства»
10 семестр Практическое занятие №1 Вопросы темы: [2 ч.]
«Особенности анализа хозяйственной деятельности в других отраслях народного хозяйства»
11 семестр практическое занятие №1 Вопросы темы: [2 ч.]
«Особенности анализа хозяйственной деятельности в других отраслях народного хозяйства»

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза