О. Н. Пирютко Повторим математику быстро


НазваниеО. Н. Пирютко Повторим математику быстро
страница1/11
Дата публикации17.03.2013
Размер2.11 Mb.
ТипКнига
referatdb.ru > Математика > Книга
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
  1. О.Н.Пирютко

  2. Повторим математику быстро

  3. 10-11 классы

  4. Предисловие



Книга написана для тех, кто самостоятельно хочет повторить школьную математику за 10-й - 11-й классы.

Как нужно работать с книгой?

В книге 20 тем, содержащих весь программный курс математики 10-11 классов школы. По каждой из тем попробуйте сначала написать тест, он называется “проверочным”, затем проверьте ответы ( они написаны под тестом в перевёрнутом виде). Если вы не можете выполнить задание или сделали в нём ошибку, в следующем разделе (“Улучшите свои знания”) под тем же номером, что и задание, вы найдёте правило и ( самое главное!) алгоритм его применения с подробными примерами. Вам станет ясно, в чём же была проблема. Далее проверьте себя по разделу “Наиболее часто встречающиеся ошибки” и, наконец, выполните контрольный тест, а ответы сверьте с приведёнными в конце книги.

Эта книга также будет полезна учащимся 10-11 классов как справочник- – помощник, т.к. содержит основной теоретический курс математики и подробные указания его применения.

В предлагаемых основных материалах нет сложных заданий, рассчитанных на изучение математики на повышенном уровне, но она может быть первым этапом в подготовке к различным видам тестирования и другим

конкурсным испытаниям.

В дополнительных материалах содержится информация, которой нужно владеть для выполнения заданий повышенного уровня. Приводится тест по всему курсу математики 10-11 классов. Задания, отмеченные * повышенной сложности.

Автор.
  • ^

    Алгебра и начала анализа




  1. Тема 1 Тригонометрические функции




  1. Проверочный тест


  1. Найдите:

а) область определения функций,

б) множество значений функций:
-3sinx; tgx+5; cos2x.


  1. Определите период функций:

а) sin2x; б) cos 0,5x; в) tg7x.


  1. Выясните, какие из функций являются четными, какие – нечетными, а какие – ни четными, ни нечетными:

а) tg2x; б) sinxcos 3x; в)⅓cosx; г)sinx+cosx.


  1. Определите знак произведения:

а) sin50° · cos60° · sin 188° · cos 189° ;

б) tg2 · sin4.


  1. Что больше: а)sin 37° или sin 67°; б)cos 54° или cos45°; в)tg59° или tg13°?




  1. Постройте графики функций:

а)sin2x; б)cos х/2; б) tg јx.

  1. Ответы:


  1. а) х – любое число; х ≠ π/2 +πk , k – целое число; х – любое число.

б) [-3; 3]; (-∞; +∞); [-1; 1] .

  1. а)π/2; б)2π; в)2π/7.

  2. в)четная функция; а),б) – нечетные функции, г) не является ни четной функцией, ни нечетной.

  3. а)“плюс”; б)“минус”.

  4. а)sin 67° > sin 37°; б)cos45° >cos 54°;в) tg59° >tg13°.









  1. ^

  2. Улучшите свои знания



1.a)Область определения(D) тригонометрических функций :

D(sin x) = (-∞; +∞); D(cosx) = (- ∞; +∞); D(tgx) : х ≠ π/2 +πk , k – целое число.
Примеры

Найдите область определения функций:

1. 2sin5x; 2. -cos4x; 3. tg3x.

Решение.

Так как область определения функции y = sint – все действительные числа,

т. е. t (-∞; +∞),то 5x тоже принадлежит этому промежутку, 5x(-∞; +∞), значит, х (-∞; +∞). D(2sin5x) = (-∞; +∞).

1.Так как область определения функции y = cost – все действительные числа, т. е. t (-∞; +∞),то 4x тоже принадлежит этому промежутку,

4x (-∞;+∞), значит, х (-∞; +∞). D(-cos4x) = (- ∞ ; +∞).

Так как область определения функции y = tgt все действительные числа, кроме t = π/2 +πk, где k – целое число, то 3х ≠ π/2 + πk , k – целое число, т.е.

х ≠ π/6+πk/3, k – целое число. D(tg3x) : х ≠ π/6 +πk/3 , k – целое число.

b) Множество значений (E) тригонометрических функций:
  1. ^
    E(sinx) = [-1; 1] ; E(cosx) = [-1; 1] ; E (tgx) = (-∞; +∞).

Примеры

Найдите множество значений функций:

1. 2sin5x; 2.-cos4x; 3. tg3x.

Решение.

  1. Так как множество значений функции sint – отрезок [-1; 1], то

-1 ≤sin5x≤1, т.е. -2≤2sin5x≤2, значит, Е(2sin5x) =[-2;2].

  1. Так как множество значений функции cost – отрезок [-1; 1], то

-1 ≤сos4x ≤1, т.е. -1 ≤ -сos4x ≤1, значит, Е (-cos4x) =[-1;1].

  1. Так как множество значений функции tg t - вся числовая прямая:

(-∞;+∞), то и Е (tg 3x) = (-∞; +∞).

2. Функция f(x) называется периодической с периодом Т (Т≠0) , если для любого х из области определения функции х ± Т тоже принадлежит области определения функции, и f(х ± Т) = f(x).
Свойства:

  1. Если Т – период функции f(x), то kT – тоже период f(x), где k – произвольное целое число.

  2. Если Т – период функции f(x), то период функции f(mx) (m – некоторое действительное число, не равное нулю) равен Т/m.

Период функций sinx и cosx равен 2π, период функции tgx равен π.
Примеры

Определите период функции: 1. sin2x; 2. tg7x.

Решение.

  1. Так как период функции sinx равен 2π, то период функции sin2x равен 2π/2=π.

  2. Так как период функции tgx равен π, то период функции tg7x равен π/7.



3. Функция f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции f(x) -x также принадлежит области определения и

f(x) = f(-x).
Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из области

определения функции f(x), - x также принадлежит области определения и

f(-x) = - f(x).
Примеры

Установите четность или нечетность функции:

  1. y= xІ-|x|; 2.y =xі - x; 3. y = 3√x+5; 4.y = x - xІ.

Решение.

  1. Область определения данной функции – все действительные числа,

f(-x)= (-x)І-|-x| = xІ- |x| = f(x), значит, функция y= xІ-|x| четная.

  1. Область определения данной функции – все действительные числа,

f(-x) = (-x)і -(- x) = - xі + x =-( xі - x) = - f(x).

  1. Область определения данной функции – все неотрицательные

действительные числа. Значит, если x D(3√x+5), тo

– x D(3√x+5),т.е.данная функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Область определения данной функции – все действительные числа,

f(-x)= -x- (-x)І =-x -xІ =-(x+xІ) ≠ - f(x) ≠ f(x), значит, данная функция не

является ни четной, ни нечетной.

^ Функции sinx и tgx являются нечетными, функция cosx – четная:

sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) =cosx.
Примеры

Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие – нечетными, а какие – ни четными , ни нечетными:

  1. y = -2 sin 6x +tg4x;

  2. y = 4cos 3x + 3;

  3. y = sinx + cosx.

Решение.

  1. f(-x) =-2sin 6(-x )+tg4(-x) = 2 sin 6x - tg4x= -(-2 sin 6x +tg4x) =- f(x),

функция является нечетной.

  1. f(-x) = 4cos 3(-x) + 3 =4cos 3x + 3= f(x), функция является четной.

  2. f(-x) = sin(-x) + cos(-x) =-sinx +cosx ≠ - f(x) ≠ f(x), значит, функция не

является ни четной, ни нечетной.


4.Промежутки знакопостоянства и нули функции.

Промежутки знакопостоянства функции числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной). y

^ Промежутки знакопостоянства функции sinx: sinx

sinx > 0 х (2πk; π +2πк), k – любое целое

число;

sinx < 0 х (π +2πк; 2πk), k – любое целое х

число.
Промежутки знакопостоянства функции cosx: y

сosx > 0 х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k – любое cosx

целое число;

cosx < 0 х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое

целое число. х


y

Промежутки знакопостоянства функции tgx: tgx

tgx > 0

х (πk; π/2 +πк), k – любое целое число;

tgx <0 x

х (-π/2 +πк; πk), k – любое целое число.
Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Нули функции sinx: sinx=0, x= πк, k – любое целое число.

^ Нули функции cosx: cosx= 0, x = π/2 +πк, k – любое целое число.

Нули функции tgx: tgx =0, x= πк, k – любое целое число.
Примеры

Определить знак произведения:

1. sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139° ;

2.tg67°sin73° cos 246°;

3. tg4 · sin2· cos1.

Решение.

  1. Так как угол 57° принадлежит первой четверти (т.е. 0° <57°< 90°), то sin57° > 0. Угол 80° также принадледит первой четверти, значит, cos80°. Углы 108° и 139° принадлежат второй четверти, т.е.

sin 108° >0, cos 139° <0. Значит, sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139° <0,

как произведение трех положительных и одного отрицательного чисел.

  1. Углы 67° и 73° принадлежат первой четверти, угол 246° - третьей, значит, tg67°>0, sin73° >0, cos 246°<0, т.е. tg67°sin73° cos 246° <0.

  2. Так как π ≈ 3.14, то π < 4 < 3π/2, то угол 4 радиана принадлежит третьей четверти, т.е. tg4 > 0. Аналогично, угол 2 радиана принаддежит второй четверти, т.е. sin 2 > 0, и угол 1радиан принаддежит первой четверти, cos1>0. Значит, tg4 · sin2· cos1 >0.



5. Функция f(x) называется возрастающей на множестве М, если для любых двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то f(x1)>f(x2), а если х1

Функция f(x) называется убывающей на множестве М, если для любых

двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (если х1>x2, то

f(x1) 2), а если х12, то f(x1) >f(x2)).
Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М, называется монотонной на этом множестве.
Функция y=sinx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое целое число.

Функция y=cosx возрастает на промежутках (- π+2πк; 2πk), k – любое целое число.

Функция y=sinx убывает на промежутках (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое целое число.

Функция y=cosx убывает на промежутках (2πк; π+2πk), k – любое целое число.

Функция y=tgx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое целое число.
Примеры

Что больше:

1. sin 37° или sin 67°; 2. cos 54° или cos45°; 3. tg59° или tg13°?

Решение.

  1. Так как функция y=sinx возрастает на промежутке (-90°; 90°),

и 37°(-90°; 90°), 67°(-90°; 90°), и 37° < 67°, то sin 37° < sin 67°.

  1. Так как функция y=cosx убывает на промежутке (-90°; 90°),

и 54°(-90°; 90°), 45°(-90°; 90°), и 54° > 45°, то cos 54° < cos 45°.

  1. Так как функция y=tgx возрастает на промежутке (-90°; 90°), то

tg59° > tg13°.


6. График функции y=sinx (рис.4):



График функции y=cosx (рис.5):



График функции y=tgx (рис.6):



Примеры

  1. Построим график функции y=sin2x. Период этой функции равен 2π/2=π. Построим синусоиду на этом периоде (рис.7).



  1. Построим график функции y=cos ⅔x. Период cos ⅔x равен 3π. Построим график на этом периоде (рис.8).



  1. Построим график функции y=tg7x. Период tg7x равен π/7. Построим график на этом периоде (рис.9).




  • ^

    Наиболее часто встречающиеся ошибки


!Проверь, не делаешь ли ты так!

  1. sin47° < sin157° - неверно, так как 47° и 157° принадлежат разным промежуткам монотонности. Чтобы выяснить, какое из чисел sin47° или sin107° больше, надо заменить углы 47° и 107° на углы принадлежащие одному промежутку монотонности:

воспользуемся формулой sinα = sin(180° - α) для α =157°, sin157°= sin23°.

Далее, так как 47°(-90°; 90°), 73°(-90°; 90°) и sinx возрастает на

промежутке (-90°; 90°), то sin 47° > sin23°, т.е. sin47° > sin157°.


  1. tg 2 > 0 – неверно. Правильно будет: угол 2 радиана принадлежит промежутку (π/2; π), значит, tg 2 < 0.

  • ^

  • Контрольный тест





  1. Найдите:

а) область определения функции:

; ; tg(3x+ π/4);

б) множество значений функции:

-2сos2x; ⅓ sinx +1; .


  1. Найдите период функции:

3,4sin 11x +2; tg(πх); сos(0.4x+ π/6).



  1. Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие – нечетными, а какие – ни четными , ни нечетными:

xcosx; sin(x+ 1); tg(x).

  1. Определить знак значения выражения:

sin129°cos95°tg260°; ;

  1. Расположите в порядке возрастания числа:

а) sin π/12; sin 10π /9; sin 2,1 π; б) cos π/5; cos2,3 π; cos1,4 π;

в) tg π/7; tg2,9 π; tg4 π.


  1. Укажите, на каком из рисунков изображен график функции у= cos3x.

а) б)

в) г)


  1. ^

    Тема 2 Основные тригонометрические тождества




  1. Проверочный тест:





  1. Найдите:

  2. sinx и tgx, если сosx =1/5, x[- π/2;0].

  3. cosx, если tgx=2, x[ π; 3π/2].




  1. а) Найдите sin(α+β), если sinα =3/5, а cosβ=⅓ , α[π/2; π], β[0; π/2],

б) Упростите: .


  1. а) Найдите: сos 210°; sin(-135°); tg (11π/6).

б) Упростите: .



  1. а) Найдите sin2α; cos2α; tg2α, если tgα=5, α[0; π/2]

б) Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x=, x[π/2; π].

  1. Упростите:



  1. Ответы:


1. а) - ; б) ; 2.а) ; б) 1; 3. а) -; -; -; б); 4. а) -; -; б) ; - ; -; 5. .

  • ^

    Улучшите свои знания




1.Тригонометрические функции одного и того же аргумента


  1. sinІx + cosІx =1

- сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же аргумента равна 1.

По этой формуле, зная значения синуса какого – нибудь угла (например, sinx =1/3), можно найти косинус этого же угла (cosІx =1- sinІx =1-(1/3)І=

=1-1/9=8/9, cosx=±2. Знак cosx зависит от того, в какой четверти

находится угол х.

Зная значения косинуса какого – нибудь угла, по этой формуле можно

найти синус этого же угла: найдем sinx, если сosx=1/5, x[- π/2;0];

sinІx=1-cosІх =24/25, sinx=-2, так как при x[- π/2;0] sinx<0.



где x≠ πn, n – любое целое число; где x≠ πn, n – любое целое число


  1. ctgІx +1 = 1/ sinІx, x≠ πn, n – любое целое число.

По этой формуле, зная значения котангенса какого – нибудь угла (например, ctgx =4), можно найти синус этого же угла, т.е. sinx.

(sinx==, знак зависит от того, в какой четверти находится угол х)


  1. tgІx +1 = 1/ cosІx, x≠π/2+ πn, n – любое целое число.

По этой формуле, зная значения тангенса какого – нибудь угла (например,

tgx =5, x[π/2; π] ), можно найти косинус этого же угла, т.е. cosx.

(cosx = - =, знак «- », так как при x[π/2; π] cosx<0)



  1. tgxctgx=1, x≠π/2n, n – любое целое число.


Пример:

Найдите значения всех тригонометрических функции угла x, если

tgx =0.75, x[π; 3/2π]

Решение.

Из формулы tgxctgx=1 найдем ctgx=1/tgx =1:0.75 = 4/3.

Из формулы tgІx +1 = 1/ cosІx найдем cosx = - , знак «- » , берется потому, что при x[π; 3/2π] cosx<0.

Из формулы найдем sinx = cosxtgx =- 0.80.75 = -0.6.

2.Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций


  1. Синус суммы двух углов:

sin(x +y) =sinxcosy + sinycosx

  1. Синус разности двух углов:

sin(x -y) =sinxcosy - sinycosx

  1. Косинус суммы двух углов:

cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny

  1. Косинус разности двух углов:

cos(x-y) = cosxcosy + sinx siny

  1. Тангенс суммы двух углов:

tg(x+y) = , где

x+y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k – целые числа.

  1. Тангенс разности двух углов:

tg(x-y) = , где

x- y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k –целые числа.
Примеры:

а) Найдите cos(x+y), если sinx =3/5, а cosy=⅓ , x[π/2; π], y[0; π/2].

Решение.

Запишем формулу cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny. В правой части этой формулы значения cosx и siny не известны .Найдем их:

cosx = -=, siny ==.

Подставим найденные значения в формулу cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny, получим: cos(x+y)=.

б) Упростите выражение: .

Решение.

Замечаем, что в числителе представленной дроби записана правая часть формулы косинуса разности двух углов, т.е.

cos 110°cos40° +sin 110° sin 40° = cos(110° – 40°)= cos70°.

В знаменателе представленной дроби записана правая часть формулы синуса разности двух углов, т.е.

sin 35°cos15° – cos35°sin15°=sin(35° – 15°) = sin 20°. Тогда получим:

=, cos 70° = sin20°,т.к. 20° дополняет 70° до 90°.

3. Формулы приведения

Формулы приведения позволяют от тригонометрических функций аргумента π/2‡n +α, перейти к тригоометрическим функциям аргумента α.

Например, sin(π/2+α) = cos α, cos(π+α) = - cos α.

Правило:

а) если в формуле приведения (например, cos(5π/2+α) ) аргумент α

прибавляется к числу π/2(или вычитается из числа π/2), взятого нечетное

число раз( в нашем случае 5раз ), то название функции меняется на

кофункцию: синус- на косинус, косинус- на синус, тангенс- на котангенс (в нашем случае название функции косинус изменится на синус);

б) если в формуле приведения (например, cos(3π +α) ) аргумент α прибавляется к числу π/2(или вычитается из числа π/2), взятого четное

число раз( в нашем случае – 6 раз, 3π =6‡ π/2 ), то название функции не меняется;

в) знак приведенной функции определяется по знаку приводимой функции в соответствующее четверти, считая угол α острым ( так как 5π/2+α принадлежит второй четверти, а во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, то cos(5π/2+α)=-sinα; угол 3π +α принадлежит третьей четверти, а в третьей четверти косинус принимает отрицательные значения, значит, cos(3π +α)=-cos α).
Примеры

а) Найдите: сos 210°; sin(-135°); tg (11π/6).

Решение.

сos 210°= cos(180˚+30˚) =-cos30˚=-/2, так как 180˚=90˚‡2(π/2 взято четное число раз), то название функции не меняется; угол 180˚+30˚ находится в третьей четверти , значения косинуса в ней отрицательны, поэтому перед приведенной функцией поставлен «- ».

sin(-135°) =-sin(90° +45°)=- cos45° = - /2

tg (11π/6) = tg (2π- π/6)=-tg π/6=-/3
б) Упростите выражение:

Решение.

===

==
4.a)Формулы двойного аргумента


  1. Синус двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx

  2. Косинус двойного аргумента: cos2x = cos2 x - sin2 x

  3. Тангенс двойного аргумента:

tg2x =

Пример

Найдите sin2α; cos2α; tg2α, если tgα=5, α[0; π/2]

Решение.

Запишем формулу синуса двойного аргумента: sin2α = 2sinαcosα.

В правой части этой формулы не известны sinα и соsα.

Из формулы tgІ α +1 = 1/ cosІ α найдем cos α .

соs α = . Из формулы sin2 α +соs2 α=1 найдем

sinα. sinα = . Подставим найденные значения sinα и соs α в формулу синуса двойного аргумента: sin2α = 2sinαcosα =

=
cos2α найдем из формулы косинуса двойного аргумента:

соs 2α = cos2α – sin2α = .

tg2α =
б)Формулы половинного аргумента

1.Синус половинного аргумента: six

^ 2.Косинус половинного аргумента: cos

3.Тангенс половинного аргумента:tg x

Пример

Решение.
Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x=, x[π/2; π].

По формуле синуса половинного аргумента найдем sinx= = Выбираем знак «+», так как x[π/2; π](вторая четверть), sinx в этой четверти положительный.
По формуле косинуса половинного аргумента найдем соsx= = , выбираем знак «-», так как x[π/2; π](вторая четверть), cosx в этой четверти отрицательный.

tgx =

5. Формулы cуммы и разности одноименных

тригонометрическихфункций (синуса и косинуса).
^ 1.Сумма синусов двух углов:

sinx +siny =2sincos

^ 2. Разность синусов двух углов:

sinx - siny =2sincos

^ 3. Сумма косинусов двух углов:

cosx +cosy =2cos cos

^ 4. Разность косинусов двух углов:

cosx – cosy = -2 sin sin
Пример

Упростите:

Решение.

К числителю дроби применим формулу разности синусов, а к знаменателю –формулу суммы косинусов, получим:

=

По формуле синуса двойного аргумента заменим: =2, а

соs, получим =.

  • ^

    Наиболее часто встречающиеся ошибки


!Проверь, не делаешь ли ты так!
1.По значению sinα = -, α. Найдите соsα.

cоsα =, этот ответ неверный, т.к. α,

а в этом промежутке значения косинуса отрицательны.

Правильно будет: cоsα = -.

2.Примените формулы приведения к выражениям а) sin(3π-α) ;б) tg(x - π).

а)sin(3π-α) = cosα. Это неверно, название функции не меняется, так как

3π =6, 6 – четное число. Верно будет: sin(3π-α) = sinα.

б) tg(x - π) = ctgx, это неверно, верно будет: tg(x - π) =- tg(π-x) =-ctgx

  • ^

    Контрольный тест



1.Вычислите cos105˚- sin195˚+sin(-135˚).

2.Найдите sin, если tgx = 2, x.

3.Упростите выражение: .

4.Вычислите, не пользуясь таблицами: sin 22,5˚.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие рефераты:

По геометрии в 8-м классе: "Теорема Пифагора"
Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему, но прежде повторим и проверим домашнее задание
® q 3-3526 Основа и Катализатор Клей/ Герметик
Быстрое схватывание соединенных деталей: быстро приобретает адгезивную прочность при комнатной температуре, быстро давая возможность...
Менингококковая инфекция
Он быстро погибает в окружающей среде: при кипячении гибнет быстро — в течение нескольких секунд, при действии дезинфицирующих веществ...
Рабочая программа составлена на основе учебной программы дисциплины «Введение в математику»

Анкета тест
Сергей – типичный непоседа, на уроках постоянно вертится, разговаривает с соседом. Говорит очень быстро. Походка порывистая, вприпрыжку....
Тематический план курса "Введение в математику"
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Студентов Литература Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М
Кандидат технических наук, доцент кафедры уравнений математической физики Степанец В. Я
Урок социально – бытовой ориентировки для учащихся 2 класса специальной...
Давайте вместе со мной повторим волшебные слова, которые будут девизом нашего урока
Яблонский С. В. Введение в дискретную математику
Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы. Непротиворечивость конъюнктивной нормальной формы
Викторина: Знаете ли вы информатику, математику и физику?
...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза