Практикум


Скачать 472.63 Kb.
НазваниеПрактикум
страница1/3
Дата публикации09.03.2013
Размер472.63 Kb.
ТипРешение
referatdb.ru > Математика > Решение
  1   2   3
Equation Chapter 1 Section 1ПРАКТИКУМ 1. МЕТОД ГАУССА. МЕТОД ГАУССА-ЖОРДАНА.
Теория. Рассматривается система линейных уравнений с неизвестными

. Если , , , то кратко:

.

Если , то имеется ровно одно решение и справедлива формула

. MERGEFORMAT

Решение удобно искать МЕТОДОМ ГАУССА, который состоит в преобразовании расширенной матрицы по схеме (прямой ход метода)

.

Для достижения большей точности вычислений перед получением единицы на диагонали ставится наибольший элемент соответствующего столбца. Далее, обратным ходом, находятся значения неизвестных.

ПРИМЕР. Решить систему уравнений . MERGEFORMAT

РЕШЕНИЕ. Прямой ход метода Гаусса:







.

Обратный ход:

.

Схема МЕТОДА ГАУССА-ЖОРДАНА имеет вид

.

Здесь в правой части сразу получается решение, поэтому потребность в обратном ходе отпадает. Этот метод удобен для нахождения обратной матрицы по схеме

.

ПРИМЕР. . Найти обратную матрицу.

РЕШЕНИЕ. Применяем метод Гаусса-Жордана:







.

.

Проведём проверку:

.

По формуле  можем решить систему :

, .

Задание. 1) Решить систему уравнений методом Гаусса и сделать проверку. 2) Найти матрицу обратную к матрице системы найти решение по формуле .

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

28. . 29. . 30. .

Equation Section 2ПРАКТИКУМ 2. МЕТОД ПРОГОНКИ.
Теория. Рассматривается система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей. Её можно записать в виде

. MERGEFORMAT

Решение ищется при помощи рекуррентного равенства

.

Вычисления реализуются по следующему алгоритму:



который называется МЕТОДОМ ПРАВОЙ ПРОГОНКИ. Можно искать решение при помощи равенства



и алгоритма



называемого МЕТОДОМ ЛЕВОЙ ПРОГОНКИ.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОГОНКИ. Если выполняются условия



все знаменатели в формулах правой и левой прогонки не обращаются в ноль, и эти формулы позволяют найти искомое решение. Говорят, что прогонка является устойчивой.

ПРИМЕР. Решить систему уравнений .

РЕШЕНИЕ. Система имеет вид , где

.

Условия устойчивости выполняются: ; . Применяем формулы правой прогонки.

Задание. Решить систему методом прогонки и сделать проверку.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

25. 26. 27.

Equation Section 3ПРАКТИКУМ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН.

Теория. Рассмотрим множество точек на координатной плоскости при условии . Функция называется интерполяционной для этого множества точек, если выполняются условия

. MERGEFORMAT

Функцию можно найти в виде алгебраический многочлена -ой степени , который называется интерполяционным многочленом. Условия  принимают вид

MERGEFORMAT

и дают систему -го уравнения с -м неизвестным . Явно эта система имеет вид

. MERGEFORMAT

Получена система линейных уравнений. Известно, что определитель её матрицы не равен нулю, и её можно решить, например, методом Гаусса.

ПРИМЕР. Дано множество точек , . Найти интерполяционный многочлен.

РЕШЕНИЕ. Для удобства запишем исходные данные задачи в таблицу


-1124

2-313
Четыре точки позволяют построить интерполяционный многочлен третьей степени: . Запишем для него систему уравнений  и решим её методом Гаусса:



.

Из последней строки . Из второй строки , . Из третьей строки , . Из первой строки , . Итак, .

Задание. Найти интерполяционный многочлен для множества точек Сделать проверку. Найти значения многочлена в средних точках .

1. –12452. –2–1133. –2135 2–13–4 4–32–5 –1–312

4. –12355. –3–1236. –3–212 2–13–4 –2–134 21–3–4
7. –13458. –21239. –2–145 –213–4 4–32–5 –131–2

10. –4–23511. –4–12312. –3–112 421–31 –5–334 2–1–5–4

13. –4–21314. –2–11315. –2135 –21–54 –642–5 –1–312

16. –3–23517. –3–12518. –3–112 563–4 –5–154 21–3–4

19. –4–31220. –2–12321. –2235 4–3–54 –653–5 –4–362

22. –3–13523. –312424. –3125 46–3–5 –525–4 61–34

25. –4–2–1314. –2–12515. –2245 –26–51 –634–5 –6–321

28. –3–13429. –312530. –4–113 1–63–4 –5134 2–53–4
Equation Section 4ПРАКТИКУМ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА.

Теория. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА. Пусть – интерполяционный многочлен, построенный по множеству точек , т.е удовлетворяющий условиям : . Тогда справедливо равенство

, MERGEFORMAT

где – интерполяционные многочлены удовлетворяющие условиям



Многочлены можно найти по формуле

. MERGEFORMAT

Интерполяционный многочлен, записанный в виде  при условии , называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА. Обозначим его через . Многочлен Лагранжа может быть сразу записан в явном виде по формуле:

. MERGEFORMAT

^ Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для множества точек , .

Решение. У нас . Выпишем многочлены по формуле 

,

,

,

.





Замечание. Если раскрыть скобки, получим уже известный вид многочлена

.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА. Пусть – интерполяционный многочлен, построенный по множеству точек , а – многочлен, построенный по множеству точек . Они удовлетворяют условиям

.

Положим . Это многочлен степени . Можно показать, что он имеет вид

. MERGEFORMAT

Значит,

. MERGEFORMAT

Введём обозначение . Тогда равенство  принимает вид

.

Продолжая процесс разложения правой части до конца, получим явный вид многочлена:

. MERGEFORMAT

Коэффициенты последовательно находятся по формуле

. MERGEFORMAT

Например, , , , , .

Многочлен  называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ НЬЮТОНА.

ПРИМЕР. Построить интерполяционный многочлен Ньютона для множества точек , .

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу , Данные и результаты вычислений заносим в таблицу.

.

Записываем формулу 

.

Раскрывая скобки, опять получим известный многочлен:

.

Задание. Используя данные практикума 2, получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Раскрыв скобки, убедиться, что все методы дают один и тот же многочлен.

Equation Section 5^ ПРАКТИКУМ 5. КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН.

Теория. Пусть дано множество точек , причём выполняются условия , . Пусть – интерполяционная функция, т.е. функция удовлетворяющая условиям

. MERGEFORMAT

Функция называется КУБИЧЕСКИМ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ СПЛАЙНОМ, если она представима в виде

, MERGEFORMAT

где – кубический многочлен. Условия  приобретает вид

. MERGEFORMAT

Кубический сплайн используется для построения дважды дифференцируемой интерполяционной функции, что требует выполнения следующих дополнительных стыковочных условий

. MERGEFORMAT

Каждый кубический многочлен определяется четырьмя коэффициентами. Для определения сплайна нужно знать коэффициентов. Система равенств  содержит условий. Система  содержит условия. Всего получаем условия для нахождения неизвестных. Для однозначной разрешимости задачи не хватает двух условий, о которых будет сказано ниже.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наклонами сплайна являются числа , моментами – числа , где .

Далее сетка будет предлагаться равномерной: , .

ПОСТРОЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА ПОСРЕДСТВОМ НАКЛОНОВ. Запишем функцию в виде

. MERGEFORMAT

Условия ,  дают

. MERGEFORMAT

. MERGEFORMAT

Два дополнительных условия рассмотрим в виде граничных условий

MERGEFORMAT

при известных . Условия и сразу добавляются к уравнениям .

Граничные условия и требуют некоторой работы, которая даёт



Учитывая и , перепишем эти равенства в виде

.

Теперь граничные условия  можно записать в виде

MERGEFORMAT

Объединяя равенства  и , получаем систему уравнений

. MERGEFORMAT

ПОСТРОЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА ПОСРЕДСТВОМ МОМЕНТОВ. Поскольку , то и, интегрируя дважды, функцию можем записать в виде

. MERGEFORMAT

Справедливы равенства

MERGEFORMAT

и

. MERGEFORMAT

Граничные условия  принимают вид

MERGEFORMAT

Равенства  и  дают систему уравнений , MERGEFORMAT

ИТОГИ. Системы уравнений  и  решаются методом прогонки. Работая с наклонами, решаем систему  и используем формулы  и . Работая с моментами, решаем систему  и используем формулы  и .

ПРИМЕР. Аппроксимировать функцию на отрезке дважды дифференцируемым кубическим сплайном, при граничных условиях и .

РЕШЕНИЕ. Найдём узлы интерполяции:

.

Найдём ординаты функции в узлах:

.

Найдем производные:

.

Работаем с наклонами. Запишем систему 

.

Далее и находим и записываем выражение для сплайна:

.

Работаем с моментами. Запишем систему 

.

Далее находим и записываем выражение для сплайна:

.



Задание. Аппроксимировать функцию на отрезке дважды дифференцируемым кубическим сплайном , при граничных условиях и . Сравнить значения и в точках .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30. .

Equation Section 6ПРАКТИКУМ 6. МЕТОД НИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Теория. Дана последовательность точек на плоскости



Предположим, что эти точки с некоторой погрешностью реализуют некоторую линейную зависимость . Например, точки являются результатом эксперимента, выявляющего зависимость величины от величины , причём эта зависимость предполагается линейной. Задача состоит в нахождении прямой , наилучшим образом описывающей всю последовательность данных точек. Корректная постановка задачи требует указания критерия, по которому выбирается наилучшая прямая. В качестве такого критерия выберем минимизацию функции . Функция является дифференцируемой по переменным и , поэтому в точке минимума должно выполняться необходимое условие . После вычисления частных производных и преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и :

, MERGEFORMAT

Изложенный метод можно применить и для нахождения степенной зависимости более высокой степени, чем первая. Пусть искомая зависимость предполагается квадратичной и ищется оптимальная функция .

В качестве критерия оптимальности возьмём минимум функции . Необходимое условие экстремума имеет вид . Проведя вычисление, получим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , и , аналогичную :

. MERGEFORMAT

ПРИМЕР. Найти оптимальную прямую методом наименьших квадратов по следующим данным:

12345

3,25,16,99,111,0

РЕШЕНИЕ. Заполним таблицу

1234515 3,25,16,99,111,035,3 149162555 3,210,220,736,455,0125,5 Запишем систему уравнений : . Решим систему методом Крамера:



Искомая прямая имеет уравнение .
  1   2   3

Похожие рефераты:

Практикум по спортивной психологии Санкт-Петербург
...
Практикум по общей, экспериментальной и прикладной психологии серия «Практикум по психологии»
Учеб пособие/В. Д. Балин, В. К. Гайда, В. К. Горбачевский и др., Под общей ред. А. А. Крылова, с а. Маничева. – Спб: Питер, 2000....
Практикум по биомеханике
Практикум по биомеханике / Н. Б. Сотский, В. Ю. Екимов, В. К. Пономаренко; Бел гос ун-т физ культуры. — Мн.: Бгуфк, 2012. — с
Практикум по гештальттерапии петербург
Фредерик С. Перлз, Пауль Гудмен, Ральф Хефферлин практикум по гештальттерапии: пер с англ
Лекций: 34 Практических: 34 Лабораторных : 0 przi. 8 Практикум по...
Практикум по информатике. А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер. М, «Ауадемия», 2001
Практикум для студентов специальностей 1-36 01 01 «Технология машиностроения»
Практикум содержит планы занятий, практические задания, контрольные вопросы по темам курса, тестовые задания, темы рефератов
Учебно-методический комплекс по практикум на ЭВМ
Умк предназначается для студентов специальности математика, изучающих основы программирования в рамках дисциплины «Практикум на эвм»,...
Практикум по аналитическим методам
А. Н. Кусенков, Т. В. Макаренко Лабараторный практикум по аналитическим методам в экологии. Для студентов специальности Н. 06. 01...
Практикум по стратегическому маркетингу для студентов экономических...
Практикум по стратегическому маркетингу / Н. Ф. Воробьева, В. П. Третьяков, Горки, 2002. с
Практикум по овцеводству семей, 2008
Бурамбаева Н. Б, Нуржанова К. Х. Практикум по овцеводству для студентов специальности 050802 «Зоотехния». Семипалатинск. Сгу имени...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза