1. Кусочно-линейная интерполяция


Скачать 73.98 Kb.
Название1. Кусочно-линейная интерполяция
Дата публикации09.03.2013
Размер73.98 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
4.2:  ЛОКАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена.
1. Кусочно-линейная интерполяция

Простейшим, часто используемым видом локальной интерполяции, является кусочно-линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки () соединяются прямолинейными отрезками, а функция приближается к ломаной с вершинами в данных точках.



Для каждого из интервалов , () в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки , :
(1)
Следовательно, при использовании кусочно-линейной интерполяции сначала необходимо определить интервал, в который попадает значение аргумента , затем подставить значение в формулу (1) для найденного интервала и найти приближенное значение функции . Можно показать, что интерполирование по формуле (1) тождественно интерполированию с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа первой степени () для точек , :
(2)

Формулы (1) и (2) эквивалентны.
2. Кусочно-квадратичная интерполяция

В случае кусочно-квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке () принимается квадратичный трехчлен:

, (3)

где .

Для определения неизвестных коэффициентов необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы через три точки , , . Эти условия можно записать в виде:

(4)
Интерполяция для любой точки проводится по трем ближайшим точкам. Решив систему (4) относительно , и подставив найденные значения в уравнение (3), получим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени () для трех соседних точек , , :

3. Кубическая сплайн-интерполяция

Интерполирование при разбиении отрезка интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена приобретает существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная.

В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяции сплайнами (от английского слова Spline – рейка).

Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.
Рассмотрим способ построения сплайнов третьей степени (кубических сплайнов). Пусть интерполируемая функция задана своими значениями в узлах (). Длину частичного отрезка обозначим (). Будем искать кубический сплайн на каждом частичном отрезке в виде:

(5),
где — четверка неизвестных коэффициентов. Всего их , т.к. отрезков. Можно доказать, что задача на нахождение кубического сплайна имеет единственное решение.

Потребуем совпадения значений сплайна в узлах с табличными значениями функции : (6)

(7)

Число этих уравнений (), вдвое меньше числа неизвестных коэффициентов. Чтобы получить дополнительные условия, потребуем непрерывности первой и второй производной и во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные , , , , во внутреннем узле . Сначала получим и , последовательно дифференцируя формулу (5):





Для первой производной имеем:


Во втором случае прежде понадобилось в выражении заменить значение на значение .

Аналогично, для второй производной имеем:



Приравнивая левые и правые производные, получим:

(8)

(9)

Уравнения (8) и (9) в совокупности дают еще условий. В качестве недостающих двух условий берут требования к поведению сплайнов в граничных точках и . Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах (т.е. равенство нулю второй производной), то получим:

(10)

Перепишем все уравнения (6), (7), (8), (9), (10), исключив неизвестных :

(11).

Система (11) состоит из уравнений. Решив ее, получим значения неизвестных , определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна.

()

Чтобы получить представление о характере и объеме вычислительной работы по нахождению всех коэффициентов сплайна, рассмотрим простой пример.
Пример. Интерполируемая функция задана таблицей, состоящей из четырех узлов ():



2

3

5

7



4

-2

6

-3

Требуется найти значения коэффициентов , определяющих кубический сплайн на трех частичных отрезках:



Составим систему вида (11). Первая группа уравнений состоит из трех уравнений ():



Следующая пара уравнений дает еще четыре уравнения ():



И наконец, два уравнения, задающих граничные условия для крайних сплайнов:



Общая система состоит из 9 уравнений. Составим ее матрицу:

Система может быть решена на ЭВМ методом Гаусса. Полученные результаты округлены до двух знаков после запятой:

Полученные значения коэффициентов определяют искомый сплайн :

Убедимся, что найденный сплайн удовлетворяет заданным свойствам (значения сплайна и его первых производных в соответствующих узловых точках приведены в таблице):



2

3

5

7



4

–2

6

–3



4

–2









–2

6









6

–3,04



–11,6

–0,4









–0,4

1,60









1,62

–7,62


Прежде всего отметим практическое совпадение значений “соседних” выражений сплайна в узловых точках, а также совпадение этих значений с табличными значениями функции . Кроме того, практически совпадают значения производных и в узле , так же как и производных и в узле , что обеспечивает гладкость совокупного кубического сплайна.

Похожие рефераты:

Вопросы к экзамену. (механико-технологический факультет, 1Тм, То, М, 1-й семестр)
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов линейного пространства
Методические указания для проведения лабораторных занятий по дисциплине...
Действия над векторами. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис пространства. Координаты вектора
2 Ряды Фурье в гильбертовых пространствах
Множество всех кусочно-непрерывных на функций со скалярным произведением называется пространством и обозначается
Лот№1- «Газификация жилого дома по ул. Привокзальная №10»; Лот№2-«Газоснабжение...
Протокол №120 вскрытия конвертов с заявками на участие в конкурсе по государственным закупкам работ по строительству : Лот№1- «Газификация...
Высшая математика Перечень вопросов, вынесенных на экзамен, по разделу...
Перечень вопросов, вынесенных на экзамен, по разделу «Линейная алгебра и математический анализ» для студентов экономических специальностей:...
Ряды Фурье Практическое занятие 1
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа...
Математика перечень тем практических занятий по разделу «Линейная...
...
Лабораторная работа №4 Интеграл Лебега-Стилтьеса
Если – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, имеющая точки разрыва и непрерывная слева, а – интегрируемая функция, то при...
Для студентов специальностей
Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Обобщенный метод наименьших квадратов
Анонс новинок готовимся к экзаменам
Преподавание темы «Линейная функция и ее график». 7 класс Л. Цымбал, математика, №14 2004

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза