Неопределённый интеграл


Скачать 185.43 Kb.
НазваниеНеопределённый интеграл
страница1/3
Дата публикации21.07.2013
Размер185.43 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3




ГЛАВА 5

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1 Понятия первообразной и неопределённого интеграла .

П. 1. Понятие первообразной.

Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции. Многие задачи физики, механики, техники приводят к необходимости решения обратной задачи, т.е. нахождение функции по её производной .

Например, задача нахождения закона движения материальной точки по заданной скорости.

Определение 1. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для всех из промежутка имеет место равенство

.

Пример. . Первообразной для функции на является функция , так как . Отметим, что функции

также являются первообразными функции .

ТЕОРЕМА 1: Пусть функция является первообразной для функции на промежутке . Тогда для произвольной постоянной , функция + также является первообразной для функции на промежутке . Любая первообразная на промежутке , является функцией вида +, где - некоторое постоянное число.

Доказательство



Следствие: Пусть какя-нибудь первообразная для функции на промежутке Х. Множество всех функций вида +, где С – произвольное постоянное число есть множество всех первообразных для функции на промежутке Х.

П. 2. Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных функции на промежутке Х называется неопределённым интегралом от функции на этом промежутке и обозначается

.

Читается так: «интеграл от от х по ». Символ называется знаком неопределённого интеграла , - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом, по определению

,

где – какая-нибудь первообразная функции , С – произвольная постоянная.

Пример.

Таким образом, нахождение неопределённого интеграла сводится к нахождению какой-нибудь одной первообразной для подынтегральной функции.

Нахождение неопределённого интеграла называется интегрированием подынтегральной функции.

Замечание. Все равенства с неопределёнными интегралами надо понимать как равенства соответствующих множеств всех первообразных.

§2 Основные свойства неопределённого интеграла

10. (1)

Равенство (1) очевидно, так как функция является первообразной для функции .

Пример.

Замечание. Так как , то формула (1) может быть записанной в виде

. (1’)

20. (2)

Это равенство нужно понимать так: производная неопределённого интеграла (любой функции из множества) равна подынтегральной функции. Справедливость её следует из определения первообразной: .

Замечание. Если использовать определение дифференциала, то из (2) получаем

. (2’)

Это означает, что дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

30. Если функции и имеют первообразные, то функция + также имеет первообразную, причём

(3)

Эта означает, что неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов от данных функций.

Равенство (3) будем понимать как равенство двух множеств. В левой части имеем множество всех первообразных для функции +. Правую часть понимаем как множество всевозможных функций, каждая из которых представляет собой сумму какой-нибудь первообразной для и какой-нибудь первообразной для .

Доказательство.



Пример.

40. Если функция имеет первообразную и – действительное число, то функция также имеет первообразную, причём

, (4)

это значит, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Доказательство. Равенство (4) мы понимаем как равенство двух множеств – множество первообразных функции и множество функций, которые являются произведением на первообразную функции .

Пусть – какая-нибудь первообразная функции , тогда первообразная функции , так как . В соответствии с определением определённого интеграла , с другой стороны .

Так как , то из равенства С1=С2 для каждого С2 можно найти С1 и наоборот. Значит множества функций и совпадают, что и доказывает равенство (4).▼

50. Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной камбинации интегралов от рассматриваемых функций, это значит

, (5)

где и – постоянные и .

Это свойство называется свойством линейности. Его справедливость следует из свойств 30 и 40.

§3 Таблица основных интегралов

Пусть функция дефференцируемая на некотором промежутке ^ Х. Каждая из следующих формул справядлива на произвольном промежутке, который содержится в Х.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Здесь du – дефференциал функции u(х) и он равен du=u'(x)dx.

Доказательство. Чтобы доказать любое из равенств 1–14, нужно показать, что производная правой части совпадает с подынтегральной функцией

1. .

2.


11.



Примеры. 1.

2.

3.

§4 Методы интегрирования.
  1   2   3

Похожие рефераты:

Неопределённый интеграл
А2Вычислить интеграл, применяя метод введения нового аргумента.1 ; 2
Методические указания для выполнения заданий для самостоятельного...
Е задания для срс 3 состоят из следующих частей: неопределенный интеграл, определенный интеграл, несобственные интегралы, приложения...
Первообразная и неопределенный интеграл
Определение: Функция F(X) называется первообразной функцией  функции f(X) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Задания по алгебре и началам анализа для 11 класса учащихся экстернатной группы
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица первообразных. Свойства неопределенного интеграла
1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
Открытое акционерное общество «интеграл»-управляющая компания холдинга...

Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем
Оплату производить согласно
Открытое акционерное общество «интеграл» (оао «интеграл»), именуемое в дальнейшем

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза