 Рефераты ДатаБаза |
Скачать 117.56 Kb.
|
| 01.01.01 – математический анализ * * Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 23 августа 2007 г. № 138 Цели и задачи программы-минимум. В основу программы-минимум по специальности «01.01.01-математический анализ» положены курсы дифференциального и интегрального исчисления, теории функций действительной переменной, теории функций комплексной переменной и функционального анализа. Перечисленные курсы в большем или меньшем объеме читаются на механико-математических и математических факультетах белорусских университетов. По сравнению с типовыми программами по этим курсам предлагаемая программа-минимум для аспирантского экзамена является более насыщенной и трудоемкой в смысле усвоения. Изучение материалов, изложенных в программе-минимум, имеет своей целью глубокое ознакомление с фундаментальными достижениями по перечисленным разделам математического анализа, лежащими в основе современных исследований в этой области. ^ Основные требования к аспиранту, сдающему кандидатский экзамен по специальности 01.01.01-математический анализ, состоят в следующем. Он должен свободно владеть основными методами дифференциального и интегрального исчисления, теории функций и функционального анализа; знать основные определения и факты, а также идеи доказательства центральных теорем. Наряду со знанием основных понятий и теорем экзаменующийся по программе-минимум должен продемонстрировать умение подробно проводить доказательства, решать упражнения и приводить необходимые примеры и контрпримеры. Предполагается наличие математического университетского образования и высокого уровня знаний других базовых и смежных курсов алгебры, геометрии и топологии, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. ^ I. Дифференциальное и интегральное исчисление. Основные понятия теории множеств. Множества и операции над ними. Декартово произведение множеств. Частично, линейно и вполне упорядоченные множества. Бинарные отношения. Понятие отображения (функции) и сопутствующих понятий: график, область определения и область значений, образы и прообразы, полный прообраз множества. Композиция отображений, сужение функции. Сюръекция, инъекция, биекция, обратное отображение. Понятие о мощности множества. Отношение эквивалентности, классы смежности, фактор-пространство. ^ Аксиоматика множества действительных чисел и его модели. Мощность подмножеств числовой прямой. Теорема Кантора о несчетности континуума. Множества, ограниченные сверху и снизу. Точные верхняя и нижняя границы множества. Теорема Дедекинда. ^ Общие свойства предела, критерий Коши. Сходимость монотонных последовательностей, число Эйлера. Верхний и нижний пределы. ^ Сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Абсолютная и условная сходимость. Критерий Коши. Критерий сходимости положительных рядов, признаки сравнения. Интегральный признак Коши. Условная сходимость, признаки Абеля и Дирихле. Cумма перестановки абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановках. Теорема Коши о произведении рядов. ^ Лемма Кантора. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Предельная точка множества, лемма Больцано-Вейерштрасса. ^ Общие свойства предела функции. Односторонние пределы монотонной функции. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Операции над непрерывными функциями. Классификация разрывов функции. ^ . Теоремы Вейерштрасса, теоремы Больцано-Коши. Равномерная непрерывность, теорема Кантора. Критерий глобальной непрерывности монотонной функции и критерий взаимной однозначности непрерывной функции на отрезке. ^ Производная и диффернциал. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши). Правила Лопиталя. Формула Тейлора, различные формы остатка (Пеано, Лагранжа, Коши). Сходимость разложений Тейлора элементарных функций. Монотонность в терминах производной. Выпуклые функции и условия выпуклости в терминах производных. Условия экстремума. Классические неравенства (Йенсена, Гельдера, Минковского). ^ Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы отыскания первообразных. Определение интеграла Римана. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям и замена переменной. Формула Тейлора с остатком в виде интеграла. ^ Виды особенностей. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости (сравнения и Абеля-Дирихле). Главное значение по Коши. ^ Производная, частные производные функции и их связь между ними. Достаточное условие дифференцируемости. Производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков, теорема Шварца. Формула Тейлора с остатками Пеано и Лагранжа, интегральная форма остатка. Условия экстремума. Дифференцируемые векторные функции. Матрица Якоби. Производная композиции. Теоремы об обратной и о неявной функции. ^ Равномерная сходимость, критерий Коши. Перестановка предельных переходов. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле для равномерной сходимости. Функциональные свойства суммы ряда. Степенные ряды, радиус сходимости, формула Коши-Адамара. Теорема Абеля. Пространство непрерывных функций: векторная структура, норма, полнота. Теорема Вейерштрасса о плотности алгебраических полиномов в пространстве непрерывных функций. Мера Жордана в . Внутренняя и внешняя меры Жордана ограниченного множества, измеримые множества, мера Жордана. Критерии измеримости. Свойства меры Жордана (монотонность, аддитивность, субаддитивность). Мера открытых и замкнутых множеств. Интеграл Римана в . Определение интеграла Римана на множестве, измеримом по Жордану. Критерии интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Критерий Лебега интегрируемости по Риману. Свойства интеграла Римана. Мера декартова произведения измеримых множеств. Теорема Фубини и ее следствия: Замена переменной в интеграле Римана. ^ Функции ограниченной вариации и их свойства, аддитивность и непрерывность вариации. Теорема Жордана. Определение интеграла Стилтьеса и его свойства. Существование интеграла Стилтьеса, оценка интеграла. Формулы для вычисления с помощью интегралов Римана ^ Жордановы кривые и их параметризации. Описание класса параметризаций. Спрямляемость и длина кривой. Критерий Жордана спрямляемости. Гладкая кривая и формулы для вычисления ее длины. Натуральная параметризация и ее существование. Криволинейный интеграл 1-го рода вдоль спрямляемой жордановой кривой, формулы для вычисления. Ориентация жордановой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода вдоль ориентированной спрямляемой жордановой кривой. ^ Необходимое условие существования первообразной. Теорема об эквивалентности существования первообразной и независимости криволинейного интеграла от пути. Нахождение первообразной с помощью криволинейного интеграла. Ориентация плоского контура. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла. ^ Площадь гладкой поверхности. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского. Скалярные и векторные поля, основные дифференциальные операторы векторного анализа. ^ Непрерывность и дифференцируемость интегралов, зависящих от параметра. Гамма- и бета-функции Эйлера, их функциональные свойства и некоторые соотношения для них. Асимптотическая формула Стирлинга. ^ Мера Лебега. Мера, лебегово продолжение меры. Свойства меры Лебега (монотонность, конечная аддитивность, субаддитивность). Счетная аддитивность и непрерывность меры Лебега, измеримость счетных объединений и пересечений. Мера Лебега в евклидовых пространствах. Меры Лебега-Стилтьеса на прямой. ^ Измеримые функции и их свойства, измеримость предела последовательности измеримых функций. Сходимость по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. ^ Интеграл Лебега и его свойства. Счетная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла. Предельный переход под знаком интеграла Лебега, теоремы Лебега, Фату, Леви. Сравнение с интегралом Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини. Меры, порожденные суммируемыми функциями. ^ Теорема Лебега о производной монотонной функции. Абсолютно непрерывные функции. Производная неопределенного интеграла Лебега. Восстановление функции по ее производной. Формула Ньютона-Лейбница для суммируемых функций. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона-Никодима. Интеграл Лебега-Стилтьеса. ^ Пространства . Ортогональные системы функций и ряды Фурье. Действительная и комплексная тригонометрические системы. Интегральное представление для частных сумм. Лемма Римана-Лебега, принцип локализации. Условия сходимости ряда Фурье в точке и равномерной сходимости. Теорема Фейера. Полнота и замкнутость тригонометрической системы. Преобразование Фурье и его свойства. Теорема Римана-Лебега. Взаимодействие операций анализа и преобразования Фурье. Свертка и ее преобразование Фурье. Теорема Планшереля. ^ Дифференцируемость. Множество комплексных чисел. Производная функции комплексного переменного, дифференцируемость. Уравнения Коши-Римана и условия дифференцируемости. Аналитичность в точке и на множестве, целые функции. Конформные отображения, геометрический смысл аргумента производной. Геометрический смысл модуля производной. Элементарные аналитические функции. ^ Интегральная теорема Коши. Интегральная Формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого. ^ . Лемма Абеля. Радиус и круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций, теоремы Вейерштрасса. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, неравенство Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности. ^ Оператор Лапласа, гармонические функции. Формула Шварца. Формула Пуассона. Сопряженные гармонические функции. Восстановление сопряженной гармонической функции. ^ Изолированные особые точки однозначного характера. Вычеты, теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента, теорема Руше. Целые и мероморфные функции. Рост целой функции, порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг-Леффлера о мероморфных функциях с заданными полюсами и главными частями ^ . Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Принцип сохранения области. Критерий однолистности. Теорема Римана. Теорема о соответствии границ при конформном отображении. ^ Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса. Понятие римановой поверхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Принцип симметрии. Отображение многоугольников, формула Кристоффеля-Шварца ^ Топологические пространства. Основные понятия общей топологии (топология, внутренние и предельные точки множества, открытые и замкнутые множества, замыкание и граница). Предел и непрерывность функции на топологическом пространстве. Компактные и связные множества и их непрерывные образы. Глобальный критерий непрерывности. Линейные топологические пространства, счетно-нормированные пространства. ^ Метрическое пространство и его топология. Ограниченные множества. Полнота, теорема Кантора о вложенных замкнутых шарах. Пополнение метрических пространств. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Принцип сжимающих отображений и его приложения. Нигде не плотные множества. Категории Бэра (множества 1-й и 2-й категории). Теорема Бэра о категориях. Сепарабельность. ^ Норма, линейное нормированное пространство. Метрика в линейном нормированном пространстве. -мерное евклидово пространство, критерий Гейне-Бореля компактности в нем. Компактные и предкомпактные множества в метрическом пространстве, необходимые условия. -сети и вполне ограниченные множества. Критерий компактности Хаусдорфа. Свойство Больцано-Вейерштрасса (счетная компактность) и его связь с предкомпактностью. ^ Конечномерные линейные нормированные пространства. Эквивалентность норм. Замкнутость конечномерных подпространств. Теорема Бореля о существовании элемента наилучшего приближения в конечномерном пространстве. Лемма Ф.Рисса о "почти перпендикуляре", теорема Ф.Рисса. ^ Скалярное произведение. Евклидовы и унитарные пространства. Гильбертовы пространства. Критерий элемента наилучшего приближения подпространством. Ортогональное дополнение и его свойства, теорема о проекции. ^ Ортогонализация Грама-Шмидта. Полные и замкнутые ортонормированные системы. Ряды Фурье. Тождество Бесселя и неравенство Бесселя, экстремальное свойство сумм Фурье. Сходимость рядов Фурье и равенство Парсеваля. Теорема Ф.Рисса-Фишера. ^ Ограниченные линейные операторы, условия ограниченности. Норма оператора и формулы для ее вычисления. Расширение оператора по непрерывности. Пространство линейных ограниченных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза. Условия сходимости последовательности операторов. Обратимые операторы, теоремы об обратных операторах. Открытость множества обратимых операторов. Теорема Банаха о гомеоморфизме. Принцип открытых отображений. Замкнутые операторы, связь замкнутости и непрерывности. Теорема Банаха о замкнутом графике. ^ Линейные функционалы и гиперплоскости. Выпуклые функционалы и теорема Хана-Банаха в линейных топологических пространствах. Теорема Хана-Банаха в линейных нормированных пространствах (действительный и комплексный случаи) и следствия из нее. Сопряженное пространство и его свойства. Общий вид функционалов в в гильбертовом пространстве. Рефлексивные пространства. Сопряженные операторы. Ограниченность и норма сопряженного оператора. ^ Слабая сходимость функционалов и порождающая топология. Условия слабой сходимости функционалов. Слабое свойство Больцано-Вейерштрасса. Слабая сходимость элементов линейного нормированного пространства и порождающая топология. Условия слабой сходимости элементов. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве. ^ Компактные операторы. Замкнутость класса компактных операторов. Область значений компактного оператора. Компактность сопряженного оператора. Выпуклость. Функционал Минковского и его свойства. Теорема об отделяющей гиперплоскости. Опорный функционал и опорная гиперплоскость. Теорема о существовании опорной гиперплоскости в точках границы. Крайние точки, крайние подмножества и их свойства. Теорема Крейна-Мильмана. Спектр. Регулярные значения оператора, резольвента. Спектр. Компактность спектра, открытость множества регулярных значений. Оценка нормы резольвенты. Тождество Гильберта. Непрерывность и аналитичность резольвенты на множестве регулярных значений. Непустота спектра ограниченного оператора. ^ . Самосопряженный оператор, его эрмитова и квадратичная формы. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора. Вычисление нормы и максимального собственного числа самосопряженного оператора с помощью квадратичной формы. Теорема Гильберта-Шмидта. ^ . Производная и дифференциал Фреше. Производная по направлению (производная Гато), производная по подпространству. Теоремы об обратной и о неявной функции. ^ . Пространство основных функций. Пространство обобщенных функций медленного роста. Регулярные обобщенные функции, меры, функция Дирака. Операции анализа для обобщенных функций (сдвиги, растяжения, умножение, дифференцирование, свертки, преобразование Фурье). ^
|
| Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический анализ.... Рабочая программа дисциплины «Математический анализ. Анализ функции одной переменной» для преподавателя | Литература Зорич В. А. Математический анализ. М., Наука, Т. 1 1981 ... |
| Литература Зорич В. А. Математический анализ. М., Наука, Т. 1 1981 Создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики. Освоение курса «Математический анализ» позволит студентам... | Литература Зорич В. А. Математический анализ. М., Наука, Т. 1 1981 Создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики. Освоение курса «Математический анализ» позволит студентам... |
| Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический анализ.... Рабочая программа дисциплины «Математический анализ. Анализ функции многих переменных» для студентов | Программа обучения по дисциплине (Syllabus) дисциплина Математический... Ознакомление с фундаментальными методами исследования числовых и функциональных рядов. Исследование несобственных интегралов первого... |
| Математический анализ учебная программа дисциплины обязательного компонента для специальности Учебная программа дисциплины обязательного компонента составлена на основе типовой учебной программы «Математический анализ» для... | Исследование операций» по теме: «Нахождение оптимальных планов производства... «Нахождение оптимальных планов производства продукции и их экономико-математический анализ» |
| Программа вступительного экзамена по приему в магистратуру по специальности... Программа вступительного экзамена составлена на основании типовых программ дисциплин «Математический анализ», «Уравнения математической... | Программа (пдс) обучения по дисциплине Действительный анализ Она дополняет и обобщает классический математический анализ. Ее содержание составляет вопросы, зародившиеся в недрах классического... |
Рефераты ДатаБаза |