Практическое занятие 9 Интегралы, зависящие от параметра


Скачать 332.72 Kb.
НазваниеПрактическое занятие 9 Интегралы, зависящие от параметра
Дата публикации26.03.2013
Размер332.72 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
Практическое занятие 9 Интегралы, зависящие от параметра
9.1 Определение и свойства собственных интегралов, зависящих от параметра

9.2 Определение, сходимость и свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

9.3 Интегралы Эйлера

9.4 Интеграл Фурье
9.1 Определение и свойства собственных интегралов, зависящих от параметра

Пусть на множестве определены функции и , причем . И пусть на множестве



определена функция , которая при любом значении параметра интегрируема по Риману. Тогда интеграл представляет собой функцию параметра , определенную на множестве .

Собственным интегралом, зависящим от параметра, называется интеграл вида

, (9.1)

переменная называется параметром.

В частности, если и , , , , то собственный интеграл, зависящий от параметра примет вид

. (9.2)

Пусть , функции и непрерывны на . Рассмотрим область , образованную графиками функций , и прямыми ,

,

которая является областью определения функции .

Теорема 1 (непрерывность) Пусть

1) функции и непрерывны на отрезке , причем ,

2) функция непрерывна на множестве .

Тогда интеграл есть непрерывная на функция и справедлива формула

. (9.3)

Теорема 2 (дифференцирование по параметру) Пусть 1) функции и непрерывны на прямоугольнике и ; 2) функции , непрерывно-дифференцируемы на отрезке . Тогда интеграл является дифференцируемой функцией на и справедлива формула





(9.4)Теорема 3 (интегрирование по параметру) Пусть функция непрерывна на прямоугольнике .

Тогда интеграл является интегрируемой функцией и справедливо равенство

. (9.5)
^ 9.2 Определение, сходимость и свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

Пусть функция определена на множестве

.

И пусть функция удовлетворяет условиям:

1) ( может быть конечным или бесконечным);

2) для любого функция интегрируема по переменной на каждом отрезке , где .

Если конечно, то есть несобственный интеграл от неограниченной функции; если бесконечно, то есть несобственный интеграл c бесконечным верхним пределом.

Не ограничивая общности, будем рассматривать случай  .

Несобственным интегралом, зависящим от параметра, называется интеграл вида

, (9.6)

где переменная называется параметром.

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы, зависящие от параметра :

, .

Несобственный интеграл, зависящий от параметра , называется сходящимся (поточечно), если и существует конечный предел :



:

.

Поточечная сходимость несобственного интеграла , зависящего от параметра определяет сходимость его при каждом фиксированном как несобственного.

Поскольку

,

то для сходящегося интеграла справедливо равенство

.

Несобственный интеграл, зависящий от параметра, называется равномерно сходящимся по параметру на множестве , если для любого существует такое , , что для всех и всех , , выполняется неравенство :

, при ,

: и

.

Обозначим , где . Тогда интеграл равномерно сходится, когда при .

Теорема 4 (критерий Коши) Для того чтобы несобственный интеграл сходился равномерно по параметру на множестве , необходимо и достаточно, чтобы такое, что и выполнялось неравенство

.

Следствие. Если такое, что и такие, что

,

то интеграл нe сходится равномерно по параметру на множестве .

Теорема 5 (Вейерштрасса) Пусть существует функция , удовлетворяющая условиям:

1) определена на и интегрируема на , ;

2) для и ;

3) сходится.

Тогда интеграл сходится абсолютно и равномерно на .

Пусть интеграл (равномерно) сходится на множестве . И пусть последовательность , , , , сходится к . Тогда последовательность функций (равномерно) сходится на множестве к функции .

Теорема 6 (Дирихле) Пусть

1) функции , и непрерывны как функции на полуинтервале ;

2) функция , являющаяся при любом первообразной по функции , ограничена при , ;

3) при , и ;

4) существует непрерывная на функция такая, что и для и .

Тогда интеграл



сходится равномерно по параметру на множестве .

Теорема 7 (непрерывность) Пусть функция непрерывна на конечном или бесконечном прямоугольнике

,

а интеграл равномерно сходится по параметру на отрезке . Тогда интеграл является непрерывной функцией переменной на отрезке и справедлива формула

. (9.7)

Теорема 8 (интегрирование по параметру) Пусть функция непрерывна на конечном или бесконечном прямоугольнике , а интеграл сходится равномерно по параметру на отрезке . Тогда функция является интегрируемой на и существует интеграл .

Теорема 9 (о перестановке порядка интегрирования) Пусть функция непрерывна на множестве и выполнены следующие условия:1) несобственный интеграл сходится равномерно по параметру на любом отрезке ; 2) несобственный интеграл сходится равномерно по параметру на любом отрезке ; 3) один из двух повторных интегралов

,

сходится. Тогда сходятся оба повторных интеграла , и справедливо равенство

. (9.8)

Теорема 10 (дифференцирование по параметру) Пусть функции и непрерывны на конечном или бесконечном прямоугольнике , а интеграл равномерно сходится на отрезке . Тогда интеграл является дифференцируемой на отрезке функцией и справедливо равенство

. (9.9)

^ 9.3 Интегралы Эйлера

Определение и свойства гамма-функции. Функция

, , (9.10)

называется гамма-функцией, а ее значение представляет собой интеграл Эйлера.

Гамма-функция обладает следующими свойствами:

– гамма-функция является непрерывной функцией переменной ;

;

;

;

– (формула понижения) ;

;

– гамма-функция имеет непрерывные производные любого порядка , , и справедливо равенство

;

(интеграл Пуассона) ;

– (формула дополнения) если , то

;

– (формула Стирлинга) при справедливо

.

Определение и свойства бета-функции. Функция

, , (9.11)

называется бета-функцией, а ее значение представляет собой интеграл Эйлера.

Бета-функция обладает следующими свойствами:

– бета-функция является непрерывной функцией и обладает частными производными любого порядка;

;

, ;

;

;

;

;

;

– (связь гамма- и бета- функций) .
^ 9.4 Интеграл Фурье

Пусть функция локально интегрируема. Интегралом в смысле главного значения называется интеграл:

, . (9.12)

Отличие интеграла в смысле главного значения от несобственного интеграла состоит в том, что несобственный интеграл есть

(9.13)

при произвольных и , а интеграл в смысле главного значения (9.12) есть предел того же интеграла, но при .

Очевидно, что, если существует несобственный интеграл (9.13), то и существует интеграл в смысле главного значения (9.12). Обратное верно не всегда: интеграл в смысле главного значения (9.12) может существовать, а несобственный интеграл (9.13) – нет.

Рассмотрим множество кусочно-непрерывных и абсолютно интегрируемых на функций, т. е. .

Интегралом Фурье функции называется функция вида

. (9.14)

Поскольку





и интеграл , то на основании признака сравнения несобственных интегралов, данный интеграл сходится при любом .

Отображение , ставящее в соответствие функции функцию и определяемое формулой (9.14), называется преобразованием Фурье и обозначается

.

Отображение , ставящее в соответствие функции функцию по формуле

. (9.15)

называется обратным преобразованием Фурье и обозначается

.

Функция называется образом Фурье функции .

Теорема 11 (формула обращения) Если функция и существуют правая и левая производные, то справедлива формула

.

Формула обращения может быть записана в виде



или

.

Используя формулу Эйлера , интеграл Фурье можно записать в виде



.

Обратное преобразование Фурье примет вид



.

Косинус-преобразованием Фурье называется действительная часть преобразования Фурье:

. (9.16)

Синус-преобразованием Фурье называется мнимая часть преобразования Фурье:

. (9.17)

Очевидно, что .

Если – четная функция, то функция – нечетная функция. Тогда и

,

при этом

,

.

Если – нечетная функция, то функция – четная функция. Тогда и

,

при этом

,

.
Преобразование Фурье обладает свойствами:

– (линейность) ,

;

– (преобразование Фурье от сдвига)

;

– (преобразование Фурье от производной) если , то

;

– если функции , , , …, принадлежат пространству и – кусочно-непрерывна на любом отрезке, то

;

– пусть и ее первообразная абсолютно интегрируемые функции на , – непрерывна, . Тогда

;

– (дифференцирование преобразования Фурье) пусть функции , абсолютно интегрируемые функции на . Тогда функция имеет на непрерывную производную, причем

;

– если непрерывна, а функции , , …, – абсолютно интегрируемы, то

;

– если , то ;

Пусть функции и . Функция (если несобственный интеграл сходится )

(9.18)

называется сверткой функций и .

Теорема 12 Если и непрерывны, ограничены и абсолютно интегрируемы на , то свертка есть непрерывная ограниченная и абсолютно интегрируемая функция на .

Теорема 13 Если и непрерывны, ограничены и абсолютно интегрируемы на , то

.

Свертка обладает свойствами:

– (коммутативность) ;

– (распределительный закон) ;

– (сочетательный закон): .
Вопросы для самоконтроля
1 Дайте определение собственного интеграла, зависящего от параметра.

2 Перечислите свойства собственного интеграла, зависящего от параметра.

3 Дайте определение несобственного интеграла, зависящего от параметра.

4 Дайте определения: а) поточечной сходимости, б) равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

5 Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

6 Сформулируйте признаки Вейерштрасса и Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

7 Перечислите свойства несобственного интеграла по параметру.

8 Дайте определение гамма-функции и перечислите ее свойства.

9 Дайте определение бета-функции и перечислите ее свойства.

10 Для каких функций существует преобразование Фурье?

11 Дайте определение прямого и обратного преобразования Фурье.

12 В чем суть теоремы обращения?

13 Что называется косинус-, синус- преобразованиями Фурье?

14 В чем особенность преобразования Фурье для четных и нечетных функций?

15 Какими свойствами обладает преобразование Фурье?

16 Что называется сверткой функций?

17 Чему равно преобразование Фурье от свертки функций?
^ Решение типовых примеров
1 Найти производную функции

.

Решение. Имеем:



.

2 Исследовать на равномерную сходимость интеграл

, .

Решение. Возьмем . Покажем, что существует .

Имеем

.

Положим . Тогда выполняется неравенство

.

Согласно определению, интеграл сходится равномерно по параметру на .

3 Исследовать на равномерную сходимость интеграл

, .

Решение. Покажем, что определение равномерной сходимости не выполняется. Возьмем . Тогда и такие, что



.

Следовательно, интеграл сходится неравномерно по параметру на множестве .

4 Исследовать на равномерную сходимость интегралы

а) при , и ;

б) , .

Решение. а) пусть . Так как и сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно по параметру на .

Пусть . Покажем, что на интеграл сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Коши. Возьмем , возьмем , , . Тогда

.

Следовательно, интеграл сходится неравномерно по параметру на множестве ;

б) для подынтегральной функции рассмотрим функцию , для которой

.

Интеграл и является сходящимся для всех .

Тогда интеграл сходится равномерно согласно признаку Вейерштрасса.

5 Исследовать на равномерную сходимость интеграл

, .

Решение. Пусть , .

Функция имеет ограниченную первообразную

.

При , для функции выполнены следующие неравенства:

, ,

и . Значит, согласно признаку Дирихле, данный интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

6 Вычислить интеграл Пуассона

.

Решение. Имеем

.

Умножая это равенство на и интегрируя его от до по , получаем

. (9.19)

Так как и интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно по параметру на любом отрезке согласно признаку Вейерштрасса.

Аналогично доказывается, что интеграл сходится равномерно по параметру на любом отрезке . Следовательно, повторный интеграл сходится.

Переставляя порядок интегрирования в равенстве (9.19), получаем



.

Отсюда

7 Вычислить интеграл .

Решение. Рассмотрим функцию .

Интеграл является несобственным, так как функция не определена в точках и .
При функция , при функция . Поскольку , то . Значит, интеграл равномерно сходится, и функция является дифференцируемой. По теореме 10 имеем





.

8 Используя интегралы Эйлера, вычислить .

Решение. Имеем



.

9 Найти косинус- и синус- преобразования Фурье функции , , и обратные к ним.

Решение. Функция , , – гладкая и абсолютно интегрируемая на интервале . Следовательно, для нее существуют косинус- и синус- преобразования Фурье:



.

Отсюда

.

Аналогично получим

.

Обратные косинус- и синус -преобразования Фурье равны:

,

.
^ Задания для аудиторной работы
1 Найти производные функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Вычислить интегралы:

а) , , , если ;

б) .

3 Исследовать равномерную сходимость интеграла

, .

4 Вычислить несобственные интегралы, зависящие от параметра:

а) , , ;

б) , , ;

в) ;

г) , .

5 С помощью интегралов Эйлера вычислить интегралы:

а) ; в) ;

б) ; г) , .

^ 6 Найти область определения и выразить через интегралы Эйлера интегралы:

а) ; б) , .

7 Найти синус- и косинус- преобразования Фурье функции , .

^ 8 Найти преобразование Фурье функций:

а)

б)
Задания для домашней работы
1 Найти производные функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

^ 2 Вычислить интегралы:

а) , , , если ;

б) .

3 Исследовать равномерную сходимость интеграла

, .

4 Вычислить несобственные интегралы, зависящие от параметра:

а) , , ;

б) , ;

в) ;

г) , , .

5 С помощью интегралов Эйлера вычислить интегралы:

а) ; в) ;

б) , ; г) , .

6 Найти область определения и выразить через интегралы Эйлера интегралы:

а) , ; б) , .

7 Найти синус- и косинус- преобразования Фурье функции

, .

8 Найти преобразование Фурье функций:

а)

б)



Похожие рефераты:

Исследование функций одной и нескольких переменных
Неопределенный и определенный интегралы. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
Содержание Введение
Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1 и 2-го рода
Формулы интегрирования Основные формулы интегрирования Интегралы...

I. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений Практическое...
Количество строк ступенчатой матрицы назовем её рангом. Рангом произвольной матрицы назовем ранг ступенчатой матрицы, полученной...
Решение этих задач вполне возможно, потому что здоровье человека...
Опубликована: Кряж В. Н., Лосева Г. Д. Значение знаний о здоровье и здоровом физически активном образе жизни. — Початковая школа,...
Устойчивость линейных систем автоматического управления в области одного параметра
Для того чтобы построить область устойчивости системы автоматического управления (рис. 1) в плоскости одного параметра, необходимо...
Практическое занятие (2 часа)
Закономерности формирования, развития и функционирования технологических процессов
План семинарских занятий
Практическое занятие №1 Политическая конфликтология как наука и учебная
9 семестр Практическое занятие №1 Вопросы темы: [2 ч.]
«Особенности анализа хозяйственной деятельности в других отраслях народного хозяйства»
Ба-61, 62, 63зс практическое занятие №1 Вопросы темы: [2 ч.]
«Особенности анализа хозяйственной деятельности в других отраслях народного хозяйства»

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза