Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении некоторых условий произойдёт или не произойдёт


Скачать 432.62 Kb.
НазваниеПособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении некоторых условий произойдёт или не произойдёт
страница1/6
Дата публикации14.09.2013
Размер432.62 Kb.
ТипРешение
referatdb.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4   5   6
Пособие №3

Теория вероятностей
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события.

Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении некоторых условий произойдёт или не произойдёт.

События обозначаются , , , ,

Относительной частотой появления события называется отношение числа «» появления данного события к общему числу «» проведённых одинаковых испытаний: .

Пример 247 Пусть по данному объекту из данного орудия при одинаковых условиях произведено 5 выстрелов, число попаданий 2.

Решение Относительная частота .

Вероятность случайного события может быть подсчитана, исходя из анализа рассматриваемого испытания.

Случайные события называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое – либо иное событие, несовместное с ними.

Событие (случай) такой группы называется благоприятствующим появлению события , если появление этого случая влечёт появление события .

^ Классическое определение вероятности. Вероятностью «» события называется отношение числа «» благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев «», образующих полную группу равновозможных несовместных событий, или символически .

Из определения следует, что . для невозможных событий. для достоверных событий.
^ Решение примеров на классическое определение вероятностей

Необходимо помнить следующие виды комбинаторики:

1) Перестановками из «» элементов называется такие виды комбинаций, которые друг от друга отличаются порядком расположения элементов.

Число перестановок из «» элементов:

2) Размещениями из «» элементов по «» () называются такие виды комбинаций, которые отличаются друг от друга и порядком расположения элементов, и самими элементами.

Число размещений из «» элементов по «» равно: (всего «» сомножителей). 3) Сочетаниями из «» элементов по «» () называются такие виды комбинаций, которые отличаются друг от друга только самими элементами.

Число сочетаний из «» элементов по «» равно:
.
Пример 248 Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Решение Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих событию А равно 9, m=9. Общее число всех возможных случаев равно 36, n=36. Следовательно, p=9/36=1/4.
Пример 249 В партии из 100 изделий 10 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых 4 изделий 3 будут не бракованные?

Решение Взять 4 изделия из 100 можно числом способов. Число случаев, когда среди этих 4 изделий будут 3 не бракованные, равно . Искомая вероятность
.
Пример 250 На шести карточках напечатаны буквы: а, т, м, р, с, о. Они перемешаны.Найти вероятность того, что на 4- х, вынутых по одной, карточках можно будет прочесть слово «трос».

Решение Всего случаев . Благоприятствует 1 случай: . .

Пример 251 На пяти карточках напечатаны буквы: о, п, р, с, т. Они перемешаны. Найти вероятность того, что на вынутых по одной карточках можно будет прочесть слово «спорт».

Решение Всего случаев . Благоприятствующих . Искомая вероятность .
^ Теоремы сложения и умножения вероятностей
Для несовместных событий: .

Для независимых событий: .

Для совместных событий: .

Для зависимых событий: .
Пример 252 В урне 12 шаров. Из них 2 красных, 6 синих, 1 белый и 3 чёрных шара. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение цветных шаров. всего шаров.
. ; .
Пример 253 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком – 0,8; вторым – 0,9.Найти вероятность попадания обоими стрелками.
Решение .
Пример 254 Условие примера 253.Найти вероятность поражения цели, т.е. вообще попадания кем – либо.

Решение .
Пример 255 В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули 1 шар, и не вернули снова в ящик. Затем вынули ещё один шар. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение . ; тогда
(первое событие уже наступило). .
^ Вероятность появления хотя бы одного события в «» независимых испытаниях
А – Появилось хотя бы одно из «» событий. , где - вероятности не появлений этих событий. Если они равновероятны, то .
Пример 256 В цехе имеются 4 машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент 0,9.Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина.

Решение - вероятность того, что не работает.
.
Формула полной вероятности
, − составляют полную
группу. , а также известны.
Пример 257 Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9.

Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь (из наудачу взятого набора) стандартная.

Решение ; (деталь из первого или второго набора). ; (детали стандартны).
.

Формула Бейеса:
(условия те же, что в предыдущей формуле).

Пример 258 Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9.

Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь из первого набора.

Решение
.
^ Повторение испытаний. Формула Бернулли
Вероятность того, что в «» независимых испытаниях равновероятные события повторяются ровно «» раз () определяется формулой:
; .
Пример 259 Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что она упадёт 6 раз гербом вверх?
Решение .
^ Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Случайные величины обозначаются X, Y, Z,…, и возможные значения x, y, z,…. Каждое возможное значение принимается со своей вероятностью.
Таблица 5 – Закон распределения случайной величины






















.
К числовым характеристикам относятся:
а) математическое ожидание

.
Пример 260 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения.



2

3

5



0,1

0,2

0,7



^ Решение ;
б) дисперсия
Пример 261 Задана случайная величина. Найти




1

2



0,6

0,4










0,6

0,4


,
.

;
в) Среднее квадратическое отклонение.
Пример 262 Берём данные примера 261. .
Непрерывная случайная величина. Функции распределения
а) Интегральная функция распределения (или просто функция распределения). . Аналитическая форма записи:
.
б) Дифференциальная функция (либо плотность) распределения. . Аналитическая форма записи:
.
Пример 263 Непрерывная случайная величина задана функцией распределения.
.
Найти плотность (дифференциальную функцию) распределения.
.

^ Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

а) Через интегральную функцию .
б) Через дифференциальную функцию .
Пример 264 Задана плотность распределения . Найти .
Решение


.
Пример 265 задана функцией распределения

.
Найти .

Решение.


Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
а) Математическое ожидание .

б) Дисперсия .

в) Среднее квадратическое отклонение .
Пример 266 Найти и величины , заданной функцией распределения.
.
Решение Найдём плотность распределения


.
.
.

Методические указания к практическим занятиям
Тема 1. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии.
Занятие 1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-399-403.

Занятие 2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Экономическая интерпретация матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-387-389.

Занятие 3. Правило Крамера. Метод обратной матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-38-44.
Занятие Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений. Системы линейных неравенств и исследование их решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-45-47.
Занятие 4. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Системы линейно зависимых и линейно независимых векторов. Системы ортогональных векторов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-251,252,266,268.
Занятие 5. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису. Векторы в экономических задачах. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-593-595.
Занятие 6.Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-86-90.
Занятие 7. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Уравнения прямой в пространстве.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-289-293,320-322.
Занятие 8. Различные задачи для прямых и плоскости в пространстве. Экономические приложения линейных зависимостей.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-340-342.


Тема 2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.

Занятие 9.Способы задания и свойства функций. Основные элементарные функции, их графики (линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции). Построение графиков сложных функций методом преобразования графиков.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-622-624.
Занятие 10. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции, односторонние пределы. Бесконечно малые и теоремы о бесконечно малых.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-645-650.
Занятие 11. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-724-727.
Занятие 12. Производные элементарных функций. Производная сложной, обратной и неявной функции. Производные высших порядков. Предельные издержки.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-11-30.

Занятие 13. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференциал суммы, произведения и частного. Правило Лопиталя.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-146-154.
Занятие 14..Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-282,283.
Занятие 15. Общая схема исследования функций и построения графиков. Нахождение максимума прибыли.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-297-301.
Занятие 16.Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению и градиент функции. Экстремум функции нескольких переменных.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-1197-1201.
Тема 3. Интегральное исчисление.

Занятие 17. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод подстановки и интегрирование по частям.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-1337-1343.
Занятие 18.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы интегрирования. Геометрические и экономические приложения определенных интегралов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-1552-1556.
Тема 4. Дифференциальные уравнения.

Занятие 19. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения. Задача Коши. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-507,510,515,516.
Тема 5. Теория рядов.

Занятие 20. Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-55-62.
Занятие 21. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. Функциональный ряд. Ряд Фурье.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-119-121.
^ Тема 6. Теория вероятностей.

Занятие 22. Случайные события. Классификация событий. Вероятность. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-3-7,18-20,51,98.
Занятие 23. Случайные величины и законы распределения случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности. Их свойства, графики. Числовые характеристики случайных величин. Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Числовые характеристики.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-164-166,188-190.
Занятие 24. Равномерное, показательное распределения. Нормальный закон распределения. Их функции распределения и числовые характеристики. Независимые случайные величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-329-330.
Занятие 25. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Ковариация. Коэффициент корреляции.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-400-401.
Тема 7. Математическая статистика.

Занятие 26. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики вариационного ряда: среднее значение, дисперсия, мода, медиана. Эмпирическая функция распределения и ее график.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-439-440.
Занятие 27. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Точечные оценки. Метод моментов, метод максимального правдоподобия. Понятие интервального оценивания. Доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-502.
Занятие 28. Проверка статистических гипотез. Основные понятия. Общая схема проверки. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-544.
Занятие 29. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Критерий согласия Пирсона хи-квадрат.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-561.
Занятие 30. Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-668.

Методические указания к практическим занятиям
Тема 1. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии.
Занятие 1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-399-403.

Занятие 2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Экономическая интерпретация матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-387-389.

Занятие 3. Правило Крамера. Метод обратной матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-38-44.
Занятие Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений. Системы линейных неравенств и исследование их решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-45-47.
Занятие 4. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Системы линейно зависимых и линейно независимых векторов. Системы ортогональных векторов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-251,252,266,268.
Занятие 5. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису. Векторы в экономических задачах. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-593-595.
Занятие 6.Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-86-90.
Занятие 7. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Уравнения прямой в пространстве.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-289-293,320-322.
Занятие 8. Различные задачи для прямых и плоскости в пространстве. Экономические приложения линейных зависимостей.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-340-342.


Тема 2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.

Занятие 9.Способы задания и свойства функций. Основные элементарные функции, их графики (линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции). Построение графиков сложных функций методом преобразования графиков.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-622-624.
Занятие 10. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции, односторонние пределы. Бесконечно малые и теоремы о бесконечно малых.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-645-650.
Занятие 11. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-724-727.
Занятие 12. Производные элементарных функций. Производная сложной, обратной и неявной функции. Производные высших порядков. Предельные издержки.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-11-30.

Занятие 13. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференциал суммы, произведения и частного. Правило Лопиталя.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-146-154.
Занятие 14..Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-282,283.
Занятие 15. Общая схема исследования функций и построения графиков. Нахождение максимума прибыли.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-297-301.
Занятие 16.Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению и градиент функции. Экстремум функции нескольких переменных.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-1197-1201.
Тема 3. Интегральное исчисление.

Занятие 17. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод подстановки и интегрирование по частям.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-1337-1343.
Занятие 18.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы интегрирования. Геометрические и экономические приложения определенных интегралов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-1552-1556.
Тема 4. Дифференциальные уравнения.

Занятие 19. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения. Задача Коши. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-507,510,515,516.
Тема 5. Теория рядов.

Занятие 20. Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-55-62.
Занятие 21. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. Функциональный ряд. Ряд Фурье.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-119-121.
^ Тема 6. Теория вероятностей.

Занятие 22. Случайные события. Классификация событий. Вероятность. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-3-7,18-20,51,98.
Занятие 23. Случайные величины и законы распределения случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности. Их свойства, графики. Числовые характеристики случайных величин. Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Числовые характеристики.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-164-166,188-190.
Занятие 24. Равномерное, показательное распределения. Нормальный закон распределения. Их функции распределения и числовые характеристики. Независимые случайные величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-329-330.
Занятие 25. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Ковариация. Коэффициент корреляции.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-400-401.
Тема 7. Математическая статистика.

Занятие 26. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики вариационного ряда: среднее значение, дисперсия, мода, медиана. Эмпирическая функция распределения и ее график.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-439-440.
Занятие 27. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Точечные оценки. Метод моментов, метод максимального правдоподобия. Понятие интервального оценивания. Доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-502.
Занятие 28. Проверка статистических гипотез. Основные понятия. Общая схема проверки. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-544.
Занятие 29. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Критерий согласия Пирсона хи-квадрат.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-561.
Занятие 30. Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ.

Рекомендуемая литература: [3],[4],[6].

Рекомендуется решить задачи: [4]-668.

Бақылау жұмыстарын орындау тәртібі.Бақылау жұмысының номері студенттің сынақ кітапшасының соңғы цифрымен сәйкес келуі тиіс

О правилах выполнения и оформления контрольных работ. Номер варианта контрольной работы студента должен совпадать с последней цифрой его зачетной книжки.

Бақылау жұмыстары қызыл түсті сиямен орындалмауы керек.

Выполнение контрольной работы чернилами красного цвета исключается.

^ 1 бақылау жұмысы

Контрольная работа 1

Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тапсырма 1

АВС үшбұрыштың төбелерінің координаталары берілген. ^ А төбесінен жүргізілген медиананың, биіктіктің және биссектрисаның теңдеулерін табыңдар

Задание 1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины А


1 А (-1; 0), B (5; 9), C (9; 4)

2 A (1; -1), B (6; 8), C (8; 3)

3 A (-5; 1), B (-1; -2), C (7; 4)

4 A (-7; -1), B (-10; 3), C (-2; 9)

5 A (2; -10), B (6; -7), C (14; -13)

6 A (-1; 2), B (-4; 6), C (4; 0)

7 A (-7; 1), B (-3; 4), C (5; -2)

8 A (6; 5), B (9; 1), C (1; 7)

9 A (6; -2), B (2; -5), C (-6; 1)

10 A (-3; 2), B (-7; -1), C (1; -7)


Мысал

Пример

^ АВС үшбұрыштың төбелерінің координаталары берілген. А төбесінен жүргізілген медиананың, биіктіктің және биссектрисаның теңдеулерін табыңдар

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины А


А (1,-2), В (4,3), С (-2,1)


Шешуі:

1) медиананың теңдеуін жазу үшін ^ ВС қабырғасының орта М нүктесін табамыз

Решение:

1) чтобы написать уравнение медианы найдем координаты точки М - середины отрезка ВС


ХМ= ;
УМ= М(1,2)


Медиананың теңдеуін мынадай формула бойынша жазамыз

Составим уравнение медианы по формуле


;
;


2) ^ А төбесінен жүргізілген биіктіктің теңдеуін жазу үшін ВС түзуінің бұрыштық коэффициентін табу керек

2) чтобы написать уравнение высоты из вершины А найдем угловой коэффициент прямой ВС


.


АN және ВС түзулердің перпендикулярлық шартын қолданып АN түзуінің бұрыштық коэффициентін табамыз

Используя условие перпендикулярности прямых АN и ВС, найдем угловой коэффициент прямой АN





онда ^ АN биіктіктің теңдеуі мынадай түрде жазылады

тогда уравнение высоты АN запишется в виде






3)А төбесінен шығатын биссектрисаның теңдеуін жазу үшін биссектрисаның мынадай қасиетін қолданамыз

3) чтобы написать уравнение биссектрисы из вершины А воспользуемся свойством биссектрисы





Онда L нүктенің координаталарын мынадай формула бойынша табамыз

Тогда координаты точки L найдем по формуле




.


АL биссектрисаның теңдеүі

Уравнение биссектрисы AL


.


Тапсырма 2

Берілген сызықтық тендеулер жүйесін Гаусс және матрица әдістерімен шешіңдер

Задание 2

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса и матричным способом


1



2




3



4




5



6




7



8




9


10




Гаусс әдісінде белгісіздерді біртіндеп жою арқылы теңдеулер жүйесін сатылы түрге келтіреміз
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Данная система преобразуется к ступенчатому виду.


Есептеулерді жеңілдету үшін жүйенің матрицасын сатылы түрге келтіруге болады.

Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Мысал

Пример

Теңдеулер жүйесін шеш
  1   2   3   4   5   6

Похожие рефераты:

Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...
2 Статистическое определение вероятности
Теория вероятностей математический аппарат, предназначенный для количественного описания случайных событий, которые при реализации...
Сложение и умножение вероятностей
Занятие № «Основные аксиомы теории вероятностей. Вычисление вероятностей события»
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий....

В. И. Харламова теория вероятностей и
Рецензенты: Ю. В. Малинковский, профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой экономической кибернетики и теории...
Руководство для практических занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Любой эксперимент или наблюдение изучаемого физического явления заканчивается некоторым событием (исходом). Если результат эксперимента...
Факультет математический (название факультета) Кафедра экономической...
Учебная программа составлена на основе типовой программы «Теория вероятностей и математическая статистика» утвержденной Министерством...
Литература Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986
Ознакомление студентов с основными принципами теории вероятностей и примерами их приложений, дальнейшее формирование у студентов...
Какие события называют случайными?
Что такое условная вероятность события? Как формулируется теорема умножения вероятностей для зависимых событий?
Теории вероятностей и матстатистике
Практические занятия по Теории вероятностей и матстатистике в 4 семестре 2013-2014 учебного года в группах 4c ист

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза