Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по математике (теория вероятностей и математическая статистика) дисциплина для специальности (-ей)

УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _____________________ФИО _____________________ подпись «____»________20___г., протокол №___ Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по математике (теория вероятностей и математическая статистика) дисциплина для специальности (-ей): Информационные системы и технологии (название специальности) __2___курс___________3___________семестр ФЗО 4___курс___________7___________семестр ФНО (номер курса (1, 2, 3…), номер семестра (1, 2, 3…) факультет заочного образования, факультет непрерывного образования (название факультета (ФЗО, ФНО)) Барановичи 2010 ВВЕДЕНИЕ Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика» по разделу теория вероятностей и математическая статистика, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки к компьютерному тестированию, список учебной литературы. Тематический план курса № п/п Наименование раздела, темы 1. Раздел I. Случайные события и вероятность 1.1. Основные понятия теории вероятностей 1.2. Вероятность. Методы вычисления вероятностей 1.3. Элементы комбинаторного анализа 1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей 1.5. Теорема полной вероятности события. Формула Байеса 2. Раздел II. Случайные величины и законы их распределения 2.1. Дискретные и непрерывные случайные величины 2.2. Законы распределения случайных величин 3. Раздел III. Элементы математической статистики 3.1. Вариационный ряд и его характеристики 3.2. Статистическое оценивание 3.3. Статистическая гипотеза 3.4. Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Вопросы для подготовки к тестированию: Что называют опытом или испытанием? Что называют элементарным событием? Какое событие называют достоверным в данном опыте? Какое событие называют невозможным в данном опыте? Какое событие называют случайным в данном опыте? Сформулируйте определение несовместных событий? Сформулируйте определение совместных событий? Какие события называют противоположными? Какие события считают равновозможными? Что называют полной группой событий? Как определяется класс событий? Какие события образуют -алгебру? Что называют измеримым пространством? Сформулируйте определение вероятности события. Сформулируйте аксиомы вероятностей. Чему равна вероятность достоверного и невозможного события? В каких пределах заключена вероятность события? Что такое относительная частота события? Сформулируйте классическое определение вероятности. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Как определяется геометрическая вероятность? Что называют пересечением, объединением и разностью двух событий. Что называют сочетаниями, размещениями и перестановками? По какой формуле вычисляют число сочетаний, размещений из n различных элементов по m элементов? По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов? Какой формулой определяется число размещений по m элементов с повторениями из n элементов? Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов? По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если некоторые элементы повторяются? Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий? Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? Запишите формулу вероятности суммы n несовместных событий. Какие события называют зависимыми, а какие независимыми? Чему равна вероятность двух независимых событий? Чему равна вероятность произведения n независимых событий? Что называют условной вероятностью события? Чему равна вероятность двух зависимых событий? Чему равна вероятность произведения n зависимых событий? Чему равна вероятность суммы двух и трех совместных событий? Как найти вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий? Запишите формулу полной вероятности события. Запишите формулу Байеса. Примеры решения задач Классическая формула вероятности Пример 1. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А). Решение. Пространство элементарных событий состоит из элементарных событий — случайно вынут один шар. Общее число всех равновозможных событий равно числу шаров находящихся в урне, т. е. n = 12. Введем событие А — наудачу выбранный шар, оказался черным. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно числу черных шаров, т. е. m=9. Следовательно, искомая вероятность равна: . Пример 2. В партии товара имеется 500 предметов первого сорта, 350 предметов второго сорта, 100 предметов третьего сорта и 50 бракованных. Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие будет годным. Решение. Пространство элементарных событий состоит из элементарных событий — случайно взято одно изделие. Общее число всех равновозможных элементарных событий равно числу товара в партии, т. е. n=1000. Событию А — изделие годное, благоприятствуют 950 изделий, т. е. m=950. Следовательно, искомая вероятность равна . Элементы комбинаторного анализа Пример 3. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных. ^ Решение. Пусть событие А — 2 детали бракованные. Тогда число равновозможных независимых исходов равно . Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Среди шести взятых наугад деталей должно быть 2 бракованных, а значит 4 стандартных. Две бракованные детали из пяти можно выбрать = 10 способами, а 4 стандартных детали из 19 стандартных деталей можно довыбрать = 3876 способами. Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому m = 3876  10 = = 38760. Следовательно, Р(А)= 38760 / 134596 = 0,3. Теоремы сложения и умножения вероятностей Пример 4. В ящике 40 деталей: 20 — первого сорта, 15 — второго сорта, 5 — третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь окажется не третьего сорта (событие А). ^ Решение. П е р в ы й с п о с о б. Событие А наступает, если извлеченная наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С), т. е. событие ^ А — есть сумма несовместных событий В и С: . Найдем вероятность события В — деталь первого сорта, воспользовавшись классической формулой вероятности: . Найдем вероятность события С — деталь второго сорта, воспользовавшись классической формулой вероятности: . Тогда вероятность события А равна: . В т о р о й с п о с о б. Воспользуемся тем, что вероятность события , противоположного событию А, равна: или . Найдем вероятность противоположного события — деталь третьего сорта, воспользовавшись классической формулой вероятности: . Тогда вероятность события А равна: . Пример 5. Среди 28 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что оба студента взяли «хорошие» билеты. Решение. Пусть событие А — первый студент вытянул «хороший» билет, событие В — второй студент вытянул «хороший» билет. Так как студенты тянут билеты по очереди, то при вытягивании хорошего билета первым студентом, вероятность для второго студента вытянуть хороший билет изменится (так как билетов стало меньше). Следовательно, события А и В являются зависимыми. Вероятность того, что оба студента взяли хорошие билеты равна . Пример 6. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 — второго сорта и 3 — третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1), вторая деталь второго сорта (событие А2) и третья деталь третьего сорта (событие А3). Решение. Пусть событие А — первая деталь первого сорта, вторая деталь второго сорта, третья деталь третьего сорта. Введем обозначения: — деталь первого сорта; — деталь второго сорта; — деталь третьего сорта. Тогда событие , где — зависимые события, так как детали вынимают последовательно. Следо-вательно, требуется найти вероятность произведения трех зависимых событий, воспользовавшись формулой . Найдем вероятность этих событий . Так как детали из ящика вынимают последовательно и вторая деталь должна быть второго сорта, то наступление события А2 будет происходить при условии, что событие А1 уже наступило: . Аналогично наступление события А3 при условии, что события А2 и А1 произошли . Тогда искомая вероятность равна Пример 7. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8, а вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразили цель. Решение. Введем следующие события: А — «цель поражена обоими стрелками»; — «цель поражена первым стрелком»; — «цель поражена вторым стрелком». Тогда событие , где и — события независимые. Следовательно, вероятность события А равна. Тогда . Пример 8. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,9, вторым — 0,85, третьим — 0,8. Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из трех орудий. Решение. Введем следующие события. Пусть событие А — хотя бы одно попадание при одном залпе из трех орудий, — попадание первым орудием, — попадание вторым орудием, — попа-дание третьим орудием, — промах первым орудием, — промах вторым орудием, — промах третьим орудием. Из условия имеем: Тогда вероятность события А равна Пример 9. Три стрелка выстрелили по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,9, для второго стрелка — 0,8, для третьего стрелка — 0,7. Найти вероятность того, что: 1) в мишени одна пробоина — событие ^ А; 2) в мишени две пробоины — событие В; 3) в мишени три пробоины — событие С. Решение. Рассмотрим стрельбу как три независимых эксперимента: стрельба по мишени первым стрелком — первый эксперимент, вторым — второй эксперимент и третьим — третий эксперимент. Пусть i (i = 1,2,3) попадание в мишень i-м стрелком, i — промах совершенный i-м стрелком. Тогда пространство элементарных событий экспериментов: 1 = 1, ; 2 = 2, ; 3 = 3, . По условию задачи имеем: Р1(1) = 0,9; Р2(2) = 0,8; Р3(3) = 0,7. Вероятности противоположных событий определим согласно свойству: Р(А) = 1 – Р(). Тогда Р1 () = 0,1; Р2 () = 0,2; Р3() = 0,3. Попадание в мишень любым из стрелков или промах не зависят от результатов стрельбы двух других стрелков. Это значит, что элементарные события 1, 2, 3, ,, независимы в пространстве . Тогда: 1) Р(А) = Р(∙ ∙ 3) + Р(∙∙ 2) + Р(∙∙ 1) = = 0,1  0,2  0,7 + 0,1  0,8  0,3 + 0,9  0,2  0,3 = 0,092. Р(В) = Р(∙2 ∙ 3) + Р(∙ 1 ∙ 3) + Р(∙ 1 ∙ 2) = = 0,1 0,8  0,7 + 0,9  0,2  0,7 + 0,9  0,8  0,3 = 0,398. Р(С) = Р(1 ∙ 2 ∙ 3) = 0,9  0,8  0,7 = 0,504. Формула полной вероятности и формула Байесса Пример 10. На сборку телевизоров поступают микросхемы от двух поставщиков, причем 70% микросхем поступает от первого поставщика, 30% от второго поставщика. Брак микросхем первого поставщика составляет 2%, второго 3%. Какова вероятность того, что взятая наудачу микросхема окажется бракованной. Решение. Эксперимент состоит в том, что проверяется взятая наудачу микросхема. Исходов два: ^ А — микросхема дефектная, — микросхема годная. Обозначим через Hi событие (гипотезу), состоящие в том, что микросхема поставлена i-м поставщиком (i=1, 2). Вероятности гипотез Hi (i=1, 2) и условные вероятности события А при этих гипотезах по условию примера соответственно равны: Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3; P(A|H1) = 0,02; P(A|H2) = 0,03. Значит, получим Пример 11. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна , а второго — . После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок. Решение. В рассматриваемом примере до стрельбы о результатах стрельб можно высказать четыре несовместные гипотезы: оба стрелка не попадут в мишень попадет только первый стрелок попадет только второй стрелок оба стрелка попадут в мишень Вероятности этих гипотез соответственно равны: . Сумма этих вероятностей . Условные вероятности события А — в мишени одна пробоина — по всем четырем гипотезам: После подстановки полученных вероятностей в формулу Байесса получаем апостериорную вероятность второй гипотезы: . Задачи для подготовки к тестированию: Бросают одновременно две игральные кости. Найти вероят-ность события А — сумма выпавших очков равна 8. (Ответ: .) Считая выпадение любой из граней игральной кости одинаково вероятным, найти вероятность выпадения грани с четным числом очков. (Ответ: 0,5.) Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. (Ответ: .) Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности (все 10 кандидатов имеют разные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов? (Ответ: 720.) Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий эконо-мического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления? (Ответ: 720.) Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки «а», «к», «н», «о», «с», «у», «ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в ряд в порядке извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «конус». (Ответ: 0,00039.) Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина. (Ответ: 0,087.) Из партии, состоящей из 20 радиоприемников для проверки произвольно, отбирают три приемника. Партия содержит 5 неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут: 1) только исправные приемники; 2) только неисправные приемники; 3) один неисправный и два исправных. (Ответ: 0,399; 0,0014; 0,077.) В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наудачу пара обуви окажется недетской. (Ответ: 0,6.) Из колоды в 36 карт одну за другой вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что первой картой будет туз, второй — король, третьей — дама. (Ответ: 0,001.) Для того, чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Независимо сбросили 3 бомбы с вероятностями попадания 0,5; 0,2 и 0,4. Какова вероятность, что мост разрушен. (Ответ: 0,3.) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,9, а вторым стрелком 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком. (Ответ: 0,26.) Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки в первое отделение равна 0,95, во второе — 0,9, в третье — 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты вовремя. (Ответ: 0,999.) Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, соответственно равна 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. (Ответ: 0,225.) На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% — вторым и 45% — третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту на первом станке равна 0,99, на втором 0,988 и на третьем 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту. (Ответ: 0,015.) Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй — 35, третий — 40. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, второго — 4, третьего — 2. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим. (Ответ: 0,406) Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,25, ко второму— 0,26, к третьему— 0,49. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,95, вторым — 0,98, третьим— 0,97. Найти вероятность того, что стандартное изделие проверено вторым товароведом. (Ответ: 0,26.)

Похожие рефераты: