Теория вероятностей, элементы математической статистики и марковских процессов методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей Минск 2 0 1 1 удк 51 (075. 8) Ббк 22. 1я7 м 54


НазваниеТеория вероятностей, элементы математической статистики и марковских процессов методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей Минск 2 0 1 1 удк 51 (075. 8) Ббк 22. 1я7 м 54
страница1/14
Дата публикации17.09.2013
Размер1.49 Mb.
ТипМетодические указания
referatdb.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ЭЛЕМЕНТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

И МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников

инженерно-экономических специальностей


М и н с к 2 0 1 1
УДК 51 (075.8)

ББК 22.1я7

М 54
Составители:

А.Д. Корзников, Л.Д. Матвеева, А.Н. Рудый, В.В. Павлов

Рецензенты:

М.Б. Смирнов, П.Г. Ласый

Настоящее издание предназначено для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей.

Оно содержит вопросы учебной программы по теории вероятностей, математической статистике и системам массового обслуживания, контрольные задания и методические указания по их выполнению.

© БНТУ, 2011

С о д е р ж а н и е

Стр.


  • Введение



Данное пособие может быть использовано при изучении теоретического материала и как методические указания при решении задач.

Решение контрольных задач следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний рецензента. Решения задач необходимо располагать в порядке возрастания их номеров, записывая полностью их условия.

Если при проверке контрольной работы будут обнаружены ошибки, работа будет выслана студенту для их исправления. Работу над ошибками необходимо выполнить в этой же тетради и выслать на повторную проверку.

  • ^

    Тема 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛА ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ



1. Пространство элементарных событий.

2.Классификация событий (операции над множествами).

3. Относительная частота и ее свойства.

4. Аксиомы теории вероятностей.

5. Методы задания вероятностей.

6. Свойства вероятности ( теоремы сложения и умножения вероятностей).

7. Условная вероятность. Независимость событий.

8. Формула полной вероятности.

9. Формулы Бейеса.
Пространство элементарных событий. Непосредственный подсчет вероятности.

Элементарным событием называется любой возможный результат опыта или наблюдения. Элементарное событие является случайным, если в результате опыта или эксперимента оно может произойти, а может и не произойти. Совокупность всех элементарных событий Ω в данном эксперименте ( т.е. множество всех мысленно возможных исходов данного эксперимента) называется пространством элементарных событий.

При проведении некоторого эксперимента нас могут интересовать события более сложные, чем элементарные. Например, при бросании игральной кости нас может интересовать событие «выпало четное число очков». Событие произойдет, если в результате опыта появилось либо 2, либо 4, либо 6, т.е. интересующее нас событие состоит из множества элементарных событий , которое является подмножеством пространства элементарных событий . Таким образом, событием А мы будем называть любое подмножество пространства элементарных событий.

Событие, которое в данном эксперименте обязательно произойдет, а значит, в него входят все элементарные события, называется достоверным событием. То есть достоверное событие - это пространство элементарных событий Ω.

Невозможное событие ( событие, которое в данном эксперименте не может произойти) совпадает с пустым множеством ().

Два случайных события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в данном эксперименте.

Два события называются равновозможными, если при выполнении условий данного эксперимента одинаково возможны появления этих событий.

Вероятностью события А называется количественная оценка возможности появления события.

Рассмотрим вероятностный эксперимент, в котором пространство элементарных событий состоит из конечного числа n равновозможных элементарных событий. Событие А – некоторое подмножество пространства элементарных событий из m элементарных событий: . Эти элементарные события , называются благоприятствующими событию А, то есть, если в результате эксперимента происходит одно из элементарных событий , то наступает событие А. Если, например, эксперимент состоит в бросании игральной кости, а событие А - «выпало четное число очков», то элементарными событиями, благоприятствующими событию А, будут: выпало 2 очка, или 4, или 6, т.е. , при этом .

Классической вероятностью события А, называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е. .

Пример 1.1. На склад поступает продукция из четырех пунктов. Наудачу отобраны два изделия. Требуется: 1) составить пространство элементарных событий; 2) найти вероятность того. что эти изделия принадлежат продукции одного и того же пункта.

Решение. 1) Обозначим через элементарное событие, состоящее в том, что первое изделие из двух выбранных – с i- го пункта, а второе с j-го. Тогда пространство элементарных событий

2) Пусть событие ^ А состоит в том, что два отобранных изделия принадлежат продукции одного и того же пункта. Тогда событию А благоприятствуют элементарные события т.е. . Если предположить, что все элементарные события равновозможны, то по формуле классической вероятности имеем .

Таким образом, вероятность того. что два отобранных случайным образом изделия будут произведены в одном и том же пункте, равна .

^ Свойства вероятности

Поскольку под событием мы понимаем подмножество пространства элементарных событий, то действия над событиями определяются аналогично тому, как определяются действия над подмножествами.

Событием , противоположным событию А, называется событие, состоящее из тех элементарных событий эксперимента, которые не входят в событие А: .

Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, содержащее те элементарные события, которые принадлежат хотя бы одному из этих событий:

. Понятно, что .

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие С, содержащее те элементарные события, которые входят одновременно и в событие А, и в событие В:

.

Два события А и В называются несовместными, если их одновременное появление является невозможным событием, т.е. если .

Разностью двух событий А и В называется событие, (которое принято обозначать ), состоящее из тех элементарных событий , которые входят в событие ^ А, но не входят в событие В:

.

Вычисление вероятностей наступления событий частного вида (суммы, произведения двух событий и т.п.) значительно упрощается, если использовать свойства вероятностной меры.

Теорема 1. Если событие В содержится в событии А , то

.

Теорема 2. (сложение вероятностей):



Следствие. Если события А и В несовместны, то



Предположим, что на входе вероятностного эксперимента произошло некоторое событие ^ В. Эта информация может повлиять на вероятности появления других событий, связанных с событием В. Например, в урне находится пять белых и пять черных шаров. Наудачу выбран шар (событие В). Если теперь нас интересует вероятность того, что из девяти оставшихся шаров выбран, к примеру, белый шар, то она естественным образом зависит от того, каким было событие В. Поэтому вводится понятие условной вероятности появления события А при условии, что событие В произошло.

Определение. Пусть А и В произвольные события, причем . Условной вероятностью наступления события ^ А при условии, что событие В произошло, называется число , определяемое формулой . Аналогично .

Из приведенных определений вытекает следующая

Теорема 3. (умножение вероятностей):

.

События А и В называются независимыми, если и . Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид .

Пусть события (называемые гипотезами) образуют полную группу событий, т.е. они попарно несовместны и их объединение совпадает с пространством элементарных событий:

.

Пусть некоторое событие А может произойти только одновременно с одним из этих событий. Вероятности этих событий и условные вероятности , предполагаются известными. Тогда вероятность интересующего нас события ^ А определяется по следующей формуле, называемой формулой полной вероятности:

.

Если в результате эксперимента событие А произошло, то может возникнуть вопрос: «Какова вероятность того, что это событие осуществилось одновременно с событием ». Эта вероятность может быть найдена по формулам Бейеса:

.

Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Пример 1.2. Заводом послана автомашина за необходимым материалом на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0.9; на второй – 0,95; на третьей – 0,8; на четвертой – 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

Решение. Обозначим через события, состоящие в том, что нужный материал находится на первой, второй, третьей и четвертой базах.

Пусть А – событие, означающее, что только на одной базе не окажется нужного материала. Тогда имеем:

.

События независимы. События , , , несовместны.

По теореме сложения несовместных событий получаем



По теореме умножения независимых событий имеем:



Пример 1.3. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвертого – 0,5%. Производительности их относятся как 4: 3: 2: 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

Решение. Пусть А – событие, состоящее а том, что взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Рассмотрим четыре гипотезы , заключающиеся в том, что деталь изготовлена на первом, втором, третьем и четвертом станках. По условию задачи требуется найти вероятность .

По формуле Бейеса имеем =, где вероятность вычисляется по формуле полной вероятности .

Исходя из производительности станков находим вероятности . Поскольку события образуют полную группу событий, то .

Следовательно, .

Вероятность выпуска стандартной детали (с учетом данных задачи) на первом станке равна - ; на втором станке - ; на третьем - ; на четвертом станке - .

Подставляя полученные данные в формулу Бейеса, получаем

=.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие рефераты:

Математическое программирование методические указания и задания к...
Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей бнту. А также могут быть полезны преподавателям, ведущим...
Методические указания и задания контрольной работы №1 для студентов-заочников...
Методические указания и задания контрольной работы №1 для студентов-заочников. В работе изложены методические рекомендации, контрольные...
Методические указания и задания контрольной работы №2 для студентов-заочников...
В работе изложены методические рекомендации, контрольные задания, образцы решения задач по разделу «Дифференциальное исчисление функций...
Сведения для выполнения контрольных работ заочников в осеннем семестре 2012/2013 г
В. А. Груздев, Г. А. Дубченок, Г. М. Макаренко. Методические указания и контрольные задания для студентов заочников инженерно-технических...
Методические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Л26 Элементы математического программирования: Методическое пособие для студентов экономических специальностей бнту/ Корзников А....
Методические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Л26 Элементы математического программирования: Методическое пособие для студентов экономических специальностей бнту/ Корзников А....
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения
Методические указания к практическим занятиям для студентов экономических...
Методические указания и контрольные задания по курсу, для студентов специальности 1-260202 «Менеджмент», заочной формы обучения
Математика теория вероятностей и математическая статистика. Методические...
Рекомендовано к изданию методической комиссией инженерного факультета (протокол № от )
Методические указания для практических занятий студентов экономических специальностей
Основы предпринимательства [Текст] : метод указания для практ занятий студентов экономических и инженерно-экономических специальностей...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза