Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по математике дисциплина для специальности (-ей)

УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _____________________ФИО _____________________ подпись «____»________20___г., протокол №___ Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по математике дисциплина для специальности (-ей): «Информационные системы и технологии» (по направлениям), (название специальности) __2___курс___________3___________семестр ФЗО 4___курс___________7___________семестр ФНО (номер курса (1, 2, 3…), номер семестра (1, 2, 3…) факультет заочного образования, факультет непрерывного образования (название факультета (ФЗО, ФНО)) Барановичи 2011 ВВЕДЕНИЕ Данные методические указания содержат тематический план курса «Высшая математика», вопросы для подготовки к компьютерному тестированию, некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач, задачи для подготовки к тестированию, список учебной литературы. Тематический план курса РАЗДЕЛ VII. Числовые и функциональные ряды Тема 7.1. Числовые ряды. Тема 7.2 Общие свойства степенных рядов. Тема 7.3 Общие функциональные ряды. Тема 7.4 Ряды Тейлора. Тема 7.5 Применение степенных рядов. РАЗДЕЛ VIII Ряд и интеграл Фурье Тема 8.1 Тригонометрические ряды Фурье. Тема 8.2 Интеграл Фурье. РАЗДЕЛ IX Интегральное исчисление функций многих переменных Тема 9.1 Двойной интеграл. Тема 9.2 Двойной интеграл в криволинейных координатах. Тема 9.3 Приложения двойного интеграла. Тема 9.4 Криволинейный интеграл первого рода. Тема 9.5 Криволинейный интеграл второго рода. Тема 9.6 Формула Грина. Тема 9.7 Тройной интеграл. Тема 9.8 Тройной интеграл в криволинейных координатах. Тема 9.9 Приложения тройного интеграла. Тема 9.10 Поверхностный интеграл первого рода. Тема 9.11 Поверхностный интеграл второго рода. Тема 9.12 Формулы Остроградского – Гаусса и Стокса. РАЗДЕЛ X Векторный анализ и элементы теории поля Тема 10.1 Скалярное и векторное поля. Тема 10.2 Потенциальное поле. Тема 10.3 Поток и дивергенция векторного поля. Тема 10.4 Циркуляция и ротор векторного поля. Тема 10.5 Дифференциальные операции первого и второго порядков. РАЗДЕЛ XI Элементы теории функций комплексной переменной Тема 11.1 Функции комплексной переменной. Тема 11.2 Дифференцирование функции комплексной переменной. Тема 11.3 Интегрирование функции комплексной переменной. Тема 11.4 Функциональные ряды в комплексной области. Тема 11.5 Ряды Лорана. Тема 11.6 Вычеты аналитических функций и их применение. РАЗДЕЛ VII. Числовые и функциональные ряды Вопросы для подготовки к тестированию: 1. Сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости. 2. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши). 3. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. 4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. 5. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. 6. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование). 7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда. 8. Основные свойства степенных рядов. 9. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функции в ряд Тейлора. 10. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. 11. Вычисление значение функций и интегралов с помощью степенных рядов. Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач П р и м е р  1. Найти выражение для –й частичной суммы числового ряда и найти сумму этого ряда. Р е ш е н и е. Шаг 1. Находим выражение для –й частичной суммы данного числового ряда. По определению . Общий член ряда – правильная рациональная функция от . Разложим общий член ряда на простые дроби: . Тогда для –й частичной суммы имеем: . Давая индексу последовательно значения 1, 2, 3 и , , , получим: . Отсюда имеем следующее выражение для –й частичной суммы: . Шаг 2. Согласно определению сумма ряда – предел последовательности его частичных сумм: . Тогда в силу шага 1 получаем: . О т в е т. . П р и м е р  2. Найти сумму числового ряда . Р е ш е н и е. Шаг 1. Сводим данный числовой ряд к разности двух геометрических рядов. Последовательно имеем: . Шаг 2. Воспользуемся следующей известной формулой суммы геометрического ряда: . Тогда с учётом шага 1 сумма данного ряда . О т в е т. . П р и м е р  3. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения). Р е ш е н и е. Искомое разложение ищем в виде ряда Тейлора с центром разложения (в виде ряда Маклорена): , в котором по условию . Перепишем дифференциальное уравнение с указанием аргумента: . Тогда значение первой производной . Согласно определению . Тогда вторая производная . Её числовое значение . Подставляем данное значение и найденные значения и в записанный выше ряд Тейлора с центром разложения и получаем следующий ответ. О т в е т. . Задачи для подготовки к тестированию: Исследовать на сходимость. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .; е) Ответ: а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) расходится; д) сходится; е) сходится Найти область сходимости степенного ряда а) ; б) ; в) Ответ: а) ; б) ; в) . Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , , (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения). Ответ: РАЗДЕЛ VIII Ряд и интеграл Фурье Вопросы для подготовки к тестированию 1. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье. 2. Условия сходимости ряда Фурье. 3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций. 3. Ряд Фурье для функций с периодом . 4. Ряд Фурье в комплексной форме. 5. Представление функции интегралом Фурье. 6. Косинус- и синус- преобразования Фурье. Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач П р и м е р  4. По формуле , в которой дискретный параметр пробегает натуральные значения =1, 2, 3, …, методом интегрирования по частям вычислить синус-коэффициенты Фурье функции Р е ш е н и е. Разбиваем отрезок интегрирования на два: и . Тогда для синус-коэффициентов Фурье данной функции имеем: . Воспользуемся формулой интегрирования по частям: . Тогда последовательно получаем: . С учётом значений тригонометрических функций , , и , для синус-коэффициентов Фурье данной функции имеем: . Отсюда для соответственно чётного и нечётного получаем следующий ответ. О т в е т. Задачи для подготовки к тестированию: Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на отрезке формулой Ответ: . Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале Ответ: . Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале Ответ: .

Похожие рефераты: