Эксремум функции многих переменных


Скачать 256.19 Kb.
НазваниеЭксремум функции многих переменных
страница1/3
Дата публикации17.09.2013
Размер256.19 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
  1   2   3
Практическое занятие 5

ЭКСРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Понятие экстремума функции многих переменных.

2. Необходимые и достаточные условия экстремума.

3. Достаточные условия экстремума.
Понятие экстремума функции многих переменных. Пусть дана функция , определенная в некоторой -окрестности точки .

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность этой точки, что для всех выполняется неравенство



(),

значение называют локальным максимумом (минимумом) функции.

Обозначается:



().

Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – экстремумами функции.

Замечание. Если функция имеет в точке локальный экстремум, то:

в случае локального максимума – ,

в случае локального минимума – .

Из сказанного выше следует, что полное приращение функции не меняет знака в окрестности . Однако для всех точек определить знак приращения практически невозможно, поэтому надо искать другие условия, по которым можно судить о наличии и характере экстремума функции в данной точке.

Теорема 1 (необходимые условия существования локального экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

, (1)

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Следствие. Если функция имеет в точке локальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

Точка , в которой выполняется условие (1), называется точкой возможного экстремума или стационарной (критической).

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума функции в точке .

Некоторые сведения о квадратичных формах. Функция вида





называется квадратичной формой от переменных , , ,, числа , , называются коэффициентами квадратичной формы, матрица



называется матрицей квадратичной формы.

Если для , то квадратичная форма называется симметричной.

Определители

, ,…,

называются главными минорами матрицы .

Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных , , ,, одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является положительно определенной или отрицательно определенной. Квадратичная форма называется квазизнакоопределенной, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значении, при этом обращается в нуль не только при . Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

^ Теорема 2 (критерий Сильвестра).

1) Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны:

, ,…, .

2) Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее матрицы чередовались следующим образом:

, , , , .

Теорема 3 (достаточные условия существования локального экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем – точка возможного экстремума, т.е. . Тогда 1) если второй дифференциал является положительно определенной (отрицательно определенной) формой от переменных , , , , то функция имеет в точке локальный минимум (максимум); 2) если является знакопеременной квадратичной формой, то функция в точке экстремума не имеет.

Замечание. Если , а является квазиопределенной квадратичной формой, то функция может иметь в точке локальный экстремум, а может и не иметь.

Теорема 4 (достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных). Пусть – стационарная точка, дважды дифференцируемой в окрестности функции . И пусть

. (2)

Тогда стационарная точка является: 1) точкой локального максимума, если и ; 2) точкой локального минимума, если и ; 3) если , то в стационарной точке локального экстремума нет, 4) , то локальный экстремум в стационарной точке может быть, а может и не быть.

Замечания. 1. Если , то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке . В этом случае необходимо произвести дополнительные исследования знака функции в . Действительно, если и , то и , т.е. в этом случае знак определяется знаком . Следовательно, требуются дополнительные исследования по определению знака в окрестности стационарной точки .

2. При выводе достаточных условий экстремума предполагалось, что . Если для любого , то получаем экстремум функции одной переменной . Аналогично если для любого , то .

Приращения и не могут равняться нулю одновременно, поскольку в подобном случае точка совпала бы с точкой и функция не получила бы никакого приращения.
^ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Дайте определение локального экстремума функции.

2. Сформулируйте теорему о необходимом условии локального экстремума .

3. Какие точки называются точками возможного экстремума функции?

4. Какая функция называется квадратичной формой? Что такое матрица квадратичной формы и ее главные миноры?

5. Какая квадратичная форма называется 1) положительно определенной, 2) отрицательно определенной, 3) знакоопределенной, 4) квазизнакоопределенной, 5) знакопеременной?

6. Сформулируйте критерий Сильвестра.

7. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных .
^ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. 1. Вычислим частные производные первого порядка данной функции:

, .

2. Находим точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений:

.

Отсюда , .

Таким образом, существует только одна стационарная точка , в которой функция может достигать экстремума.

3. Исследуем знак приращения в окрестности стационарной точки . Для этого вычислим частные производные второго порядка функции в точке :

,

,

.

Так как



и , то точка является точкой локального минимума: .

2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. 1. Вычислим частные производные первого порядка данной функции:

, .

2. Для определения точек возможного экстремума решим систему уравнений:

.

Отсюда и .

Таким образом, функция имеет только одну стационарную точку .

3. Исследуем знак приращения в окрестности стационарной точки. Для этого вычислим частные производные второго порядка функции в точке :

,

,

.

Так как , то в точке нет экстремума, т.е. в окрестности исследуемая функция меняет знак.

3. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. 1. Вычислим частные производные первого порядка функции :

, .

2. Решая систему уравнений находим стационарную точку данной функции.

3. Исследуем знак приращения в окрестности стационарной точки . Так как

, , ,

то . Следовательно, нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке .

В данном случае стационарная точка является точкой локального минимума, поскольку ; .
^ ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
  1   2   3

Похожие рефераты:

Программа вступительного экзамена по специальности для поступающих...
Функции многих переменных. Предел функции многих переменных. Формула Тейлора для функции многих переменных. Локальные экстремум функции...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический анализ....
Рабочая программа дисциплины «Математический анализ. Анализ функции многих переменных» для студентов
Тест 2 Дифференцирование функции многих переменных

Вопросы к экзамену по математическому анализу для студентов специальности...
...
Учебная программа курса «Математический анализ»
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
Примерный перечень вопросов по дисциплине
Функции нескольких переменных (основные понятия). Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Курс, 4 семестр Вопросы к зачету Предел функции нескольких переменных....
Вычисление объемов тел и площадей поверхностей с помощью определенного интеграла
Предел и непрерывность функции многих переменных
...
Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Если правило каждой точке ставит в соответствие некоторое вполне определенное действительное число, то говорят, что на множестве...
Вопросы к экзамену (303-304 гр.) по математическому анализу
Понятия функции многих переменных, её области определения и области значений, графика. Линии и поверхности уровня

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза