Высших порядков


Скачать 152.08 Kb.
НазваниеВысших порядков
Дата публикации19.10.2013
Размер152.08 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
§ 11. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

п. 1. Частные производные высших порядков

Пусть функция z=f(x,y) – дифференцируемая в области . Тогда по Т. 1 § 5  частные производные – это также функции 2-х действительных переменных х и у. Если окажется, что функции дифференцируемые в области , то по Т.1 § в  частные производные



– это также функции 2-х действительных переменных х и у, их называют частными производными 2-го порядка. Частные производные и отличаются порядком дифференцирования и называются смешанными частными производными 2-го порядка. Аналогично вводятся частными производными 3-го, …, п-го порядков. Частные производные 2-го и более высокого порядков называются частными производными высшегго порядка.

Пример. Найти частные производные 3-го порядка функции z = 2 x3 y2 .

Решение.

Теорема 1. Если функция z=f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки смешанные частные производные 2-го порядка, причем эти частные производные – непрерывные в точке , тогда в точке смешанные частные производные равны, т.е. .

Доказательство.


п. 2. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция z=f(x,y) – дифференцируемая в области . Тогда в ее дифференциал , где , – приращения аргумента х и у соответственно. Далее будем считать, что , –const . Тогда дифференциал dz – это также функции 2-х действительных переменных х и у. Если окажется, что функция dz – дифференцируемая в области , то диффернциал от диффернциала 1-го порядка называется диффернциалом 2-ого порядка и обозначается . Аналогично вводится понятие дифференциала 3-го, …, п-го порядков. Дифференциалы 2-го и более высоких порядко называют дифференциалами высших порядков.

С помощью метода мат. индукции можно доказать формулу для вычисления дифференциалов высших порядков



Проверим для п=2:

Как и для функции 1-ой переменной дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы записи. Покажем это на примере дифференциала 2-го порядка.

Замечание. Если функции и являются линейными, то для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы записи сохраняется, т.к. .
§ 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. КРИТЕРИЙ ПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

п.1. Формула Тейлора для ДФМП

Формула Тейлора для функции одной переменной имела вид

, если перенести f(a) влево и считать x a = ∆x, то тогда формулу Тейлора можно записать следующим образом

, (1)

где f(x)-f(a)=∆f(a), f(k)(a)·(x-a)k= f(k)(a)·xk·=dkf(a).

Для функции z=f(x,y) имеет место аналогичная формула

Теорема 1. Пусть функция z=f(x,y) n-раз непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности U(M0;r) точки M0(x0,y0), тогда справедлива формула

(2)

где 0<Θi<1

Доказательство.

В данной δ -окрестности точки M0(x0,y0) возьмем точку M(x0+∆x, y0+∆y). Пусть тогда точка N(x,y)U(M0;δ) и при t=0 получаем точку M0 , а при t=1 получаем точку M. Падставим в z=f(x,y) выражения для x и y . В результате получим сложную функцию от одной переменной t:

.

Тогда прирощение функции f(M0)=F(1)-F(0)= ∆F(0) при t=1 можно записать по формуле (1) следующим образом:



где 0<Θ<1. Вернемся в последнем равенстве к переменным x и y, так как x и y линейно зависят от t ,то инвариантность формы записи для ифференциалов высших порядков сохраняется (см замечание §11), значит имеет место формула (2).

п.2. Критерий постоянства функции 2-х переменных

Теорема 2. (критерий постоянства функции 2-х переменных) Для того, чтобы функция z=f(x,y) была постоянной в области D необходимо и достаточно, чтобы в этой области были равны 0 частные производные, или,что тоже, чтобы df(M)=0 .

Доказательство. Сначала докажем эквивалентность условий (А) и (В), где

(А) (В) .

Известно, что . Значит из условия (А) условие (В).

Пусть выполняется условие (В), тогда .Сначала будем считать, что dy=∆y=0, dx=∆x≠0. Тогда , разделим на , dx≠0 . Аналогично доказывается, что .

Перейдем к доказательству теоремы.

Необходимость. Пусть f(x;y)=cconst тогда будут постоянными функции от одной переменной φ(x)=f(x;y0) ( y0 - фиксированное) и ψ(y)=f(x0;y) (x0 - фиксированное). Из критерия постоянства функции 1-й переменной получаем φ’(x)=fx’(x;y)=0 и ψ(y)=fý’(x,y)=0 df(x;y)=0.

Достаточность. Пусть fx’(x;y)= fý’(x,y)=0 , тогда df(x;y)=0. По условию теоремы f(x;y) дифференцируемая функция в , тогда для неё справедлива формула (2). При n=1, формула (2) примет вид f(x0;y0)=f(x0+∆x; y0+∆y)-f(x;y)=df(x0+Θx;y0+ Θy) и точка (x0+Θx;y0+ Θy)D, поэтому f(x0;y0)=0 f(x;y) – постоянная.
§ 13. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

п.1. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума

Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве .

Определение 1. Точка называется точкой максимума (минимума) функции f , если существует окрестность точки такая, что выполняется неравенство

(1) () (2)

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание 1. Неравенство (1) и (2) эквивалентны соответственно неравенствам

(1')

(2')

Пример 1. а) для функции z = x2 + y2 точка (0;0) – точка минимума.

б) для функции точка (0;0) – точка максимума.

Теорема 1. (необходимое условие экстремума)

Если точка является точкой экстремума функции f, и f – дифференцируемая в точке, то все частные производные функции f в точке равны нулю, т.е. .

Доказательство.


Замечание 2. Необходимое условие не является достаточным условием экстремума.

Пример 2. Для функции частные производные

в точке (0;0) равны 0, но точка (0;0) не является точкой экстремума

Определение 2. Точки, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными точками.

Замечание 3. Точки экстремума будем искать среди стационарных точек и точек, в которых частные производные не существуют.

п.2. Достаточное условие экстремума

Теорема 2. (достаточное условие экстремума)

Пусть точка М0(х0,у0) – стационарная точка функции z = f(x,y) и в некоторой окрестности точки М0(х0,у0) функция f имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Обозначим через A = f' ''xx (М0), В = f ''yy(М0), C = f ''xy(М0), . Тогда, если

  1. >0, то М0 – точка экстремума, причем

а) при А>0, М0 – точка минимума;

б) при А<0, М0 – точка макcимума;

  1. <0, то М0 точкой экстремума не является;

  2. =0, то М0 может быть, а может и не быть точкой экстремума, необходимо дополнительное исследование.

Доказательство. Так как по условию f(x,y) имеет непрерывные частные производные 2-го порядка в некоторой окрестности точки М0(х0,у0), то f(x,y) – дважды дифференцируемая  справедлива формула Тейлора при п = 1:

(где 0<  <1)

По условию М0(х0,у0) – стационарная точка  d f(x0,y0) = 0, поэтому



По условию частные производные 2-го порядка – непрерывные функции, тогда в окрестности точки М0(х0,у0) их можно представить в виде



(воспользовались критерием непрерывности функции). Продолжим доказательство

где – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем функция, стоящая в скобках (при ). Поэтому знак  f(x0,y0) определяется знаком выражения . Найдём знак  f(x0,y0). Возможны случаи:

  1. A>0, ABC2 = >0, то  f(x0,y0) > 0  М0(x0,y0) – точка минимума;

  2. A<0, ABC2 = >0, то  f(x0,y0) < 0  М0(x0,y0) – точка максимума;

  3. ABC2 = <0, то рассматриваемое выражение может быть как положительным, так и отрицательным, всё зависит от х и у   f(x0,y0) не имеет конкретного знака в окрестности точки М0М0 точкой экстремума не является;

  4. ABC2 = =0, то М0 может быть, а может и не быть точкой экстремума (привести 2 примера, когда М0 – точка экстремума и когда не является точкой экстремума).

п.3. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных на компакте.

Напомним, что в Rn любое замкнутое ограниченное множество является компактом. Пусть функция z=f(x,y) – непрерывная на компакте . Тогда по II Т. Вейерштрасса она принимает наибольшее и наименьшее значения на ^ К.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений на компакте К

Найти стационарные точки и точки, в которых не существуют частные производные z'x , z'y , принадлежащие К.

Найти значение функции в этих точках.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе компакта ^ К.

Выбрать наибольшее и наименьшее значения среди значений пунктов 2 и 3.

п.4. Условный экстремум. Метод Лагранжа

Пусть функция z = f(x,y) определена на множестве X . Рассмотрим точки из множества X, удовлетворяющие дополнительному условию F(x;y;)=0, они образуют множество Е. Уравнение

F(x;y;)=0 (3)

называют уравнением связи. Точка М0(x0,y0) называется точкой условного экстремума функции z = f(x,y) относительно уравнений связи (3), если она является точкой обычного экстремума функции z = f(x,y) на множестве E.

Возможны случаи:

1. Из уравнения (3) можно выразить явно y через x, т.е. y =g(x). Тогда нахождение условного экстремума сводится к нахождению экстремума функции z = f(x,y) = f(x, g(x)).

2. Из уравнения (3) нельзя выразить явно y через x., т.е. (3) задаёт неявно функцию y=y(x). В этом случае будем находить точки условного экстремума с помощью метода Лагранжа, т.е. используя

Теорема 3. (Необходимое условие условного экстремума)

Если точка М0(x0,y0) – точка условного экстремума функции z = f(x,y) относительно уравнений связи (3), то найдется такое действительное число λR, что

(4)

Доказательство. Т.к. (3) задаёт неявно функцию y=y(x), то (по необходимому условию экстремума) в точке (x0,y0): , (5)

где dx – приращение аргумента, а dy – дифференциал неявной функции y=y(x). Подставим в уравнение связи (3) вместо y значение y(x), получим тождество F(x;y(х))0. Продифференцируем его и подставим x0,y0: . Умножим на λ и прибавим к (5):

. (6)

Выберем λ таким, чтобы . Тогда (6) верно для любых dx и dy , если выполняются два первых уравнения системы (4). Т.к. (x0,y0) удовлетворяют уравнению связи (3), то должно выполняться и третье уравнение системы (4). Т. о. получаем систему 3-х уравнений (4) с 3-мя неизвестными x, y, её решение (x0,y0, λ0), где λ0 – вспомогательная величина , а пара (x0,y0) – координаты точки условного экстремума.

Замечание 4. Вместо системы (4) часто используют вспомогательную функцию Лагранжа

(7)

Требуем, чтобы все частные производные (7) были равны нулю.

Замечание 5. Решение системы (4) – точки подозрительные на условный экстремум. Чтобы выяснить вопрос о существовании и характере экстремума, будем изучать знак 2-го дифференциала. Если

, то (x0,y0) –точка условного максимума;

, то (x0,y0) –точка условного минимума.

Пример 3. Найти условный экстремум функции относительно уравнения связи

Решение.

Похожие рефераты:

Тематика курсовых работ
Алгебраические уравнения 2, 3, 4 порядков. Приближенные методы вычисления корней
Восстание скифов, узнавших о почитании Скилом греческих порядков
Великая Китайская стена была построена, чтобы защищаться от кочевых племён Гуннов
Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальностям
Общая характеристика Высших растений. Черты сходства и отличия от низших растений. Происхождение высших растений. Основные отделы...
О разрешениях и уведомлениях
Настоящий Закон регулирует общественные отношения, связанные с установлением разрешительного или уведомительного порядков осуществления...
8. обыкновенные дифференциальные уравнения
Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких...
Указ президента республики беларусь
Гражданам республики беларусь кредита на льготных условиях для оплаты первого высшего образования, получаемого в высших учебных заведениях...
Систематика высших растений Типовая учебная программа для высших...
Ректор Государственного учреждения образования «Республиканский институт высшей школы»
Методические указания по изучению дисциплины 1 Цели и задачи дисциплины,...
Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование координат и упрощение уравнений второго порядков. Поверхности...
Вопросы для подготовки к зачету по Морфологии растений
Понятие о высших растениях. Особенности строения тела высших растений. Своеобразие вегетативных и репродуктивных органов
Океанология типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заве-дений Республики Беларусь по естественно-научному образованию

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза