С. К. Крутолевич «экономико-математические методы и модели»


Скачать 134.67 Kb.
НазваниеС. К. Крутолевич «экономико-математические методы и модели»
Дата публикации02.09.2014
Размер134.67 Kb.
ТипКонспект
referatdb.ru > Математика > Конспект
Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации
Учреждение образования

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Автоматизированные системы управления»

С.К. Крутолевич

«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ»




Тема 5

Использование игрового моделирования для принятия решений в условиях неопределенности

Конспект лекций
для студентов экономических специальностей

Могилев 2006

5. Использование игрового моделирования для принятия решений в условиях неопределенности

5.1. Математические критерии для принятия решений

Метод экспертных оценок

5.2. Решение игровой задачи
5.1. Математические критерии для принятия решений

Метод экспертных оценок

Основные определения:

Игровые модели позволяют принять решение в условиях неопределенности. Условия неопределенности характеризуются множеством различных вариантов действий (ходов), последствия которых зависят от ходов противоположной стороны.

Данные модели используют для решения конфликтных ситуаций. Задача считается решенной, если игрок получил максимально гарантированный выигрыш.

Реализация игры, при которой можно оценить выигрыш одного игрока, называется партией.

Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то говорят об играх с нулевой главной диагональю платежной матрицы.

^ Платежная матрица – это таблица в которой отображаются возможные ходы игроков (строки и столбцы таблицы), а на пересечении располагаются суммы выигрыша либо проигрыша. Самое сложное – это определить коэффициенты платежной матрицы. При разработке платежной матрицы, необходимо определить реальные возможности игрока от вырожденных.

  1. Рассмотреть возможные ходы.
^

Число ходов соответствует числу строк элементов матрицы






Орел
Решка

Орел

0

+1

Решка

-1

0




  1. Определить число возможных наших ходов;

  2. Проанализировать возможные ходы противника (ситуации);

  3. Определить значение элементов платежной матрицы на пересечении столбцов и строк.


Одним из основных методов определения элементов платежной матрицы является метод экспертных оценок.

Эксперт – это человек, мнение которого по данному вопросу оправдывается с вероятностью больше чем 50%.

Решение игровой задачи позволяет получить максимальную прибыль при значительном числе партий (реализации игры).
Решение игры заключается в 2-х этапах:

  1. Определение элементов платежной матрицы.

Эти элементы уже выражаются в численных единицах критерия оптимальности.

2. С помощью одного из методов экспертных оценок определить стратегию, максимизирующую гарантийную прибыль
Задача

Рачительный хозяин определяет стратегию закупки дров на отопление дома. Летом 1 м3 стоит 100 рублей, при мягкой зиме – 120 руб., при обычной (средней) – 150 руб., при суровой зиме – 200 руб.

На отопление требуются следующие объемы:

мягкой зимы – 10 м3, средней – 15 м3, суровой – 20 м3

По весне приезжает бедный родственник и увозит остатки дров.

В данной игре платежная матрица состоит из 3 столбцов и 4 строк. Строки соответствуют следующим стратегиям:

1 – купить летом на мягкую зиму

2 – – // – на среднюю зиму

3 – – // – на суровую

4 – все покупать зимой





0°C

-10°C

-20°C

1

-1000

-1750

-3000

2

-1500

-1500

-2500

3

-2000

-2000

-2000

4

-1200

-2250

-4000

pj

0.25

0.5

0.25


Определяем элементы платежной матрицы aij, i – номер строки, j – номер столбца.

а11 = 100·10 = - 1000 руб;

а12 = - 1000 – (15 - 10)·150 = - 1750;

а13 = - 1000 – (20 - 10)·200 = - 3000;

а21 = а22 = 15·(- 100) = - 1500;

а23 = - 1500 – (20 - 15)·200 = - 2500;

а31 = а32 = а33 = - 100·20 = - 2000;

а41 = 10·(- 120) = - 1200;

а42 = 15·(- 150) = - 2250;

а43 = 20·(- 200) = - 4000.
1. ^ Критерий Вальда

Если дело началось хорошо, то закончится плохо.

Если началось плохо, то закончится еще хуже.

Наихудший вариант из всех.

;



Согласно критерию Вальда оптимальной является 3 стратегия.
2. ^ Критерий Байеса

Он считает, что вероятность каждого хода противника одинакова. Поэтому находится среднее значение суммы элементов платежной матрицы.

;



- самая оптимальная стратегия




^ 3. Критерий Лапласа

Он позволяет учитывать различную вероятность наступления событий по столбцам платежной матрицы.

Pj – данные из гидрометеоцентра за несколько лет. Pj – вероятность зимы.

;



- оптимальная стратегия




^ 4. Критерий Гурвица

Согласно этому критерию в качестве оптимальной применятся стратегия максимизирующая следующее выражение:



λ – коэффициент оптимизма – пессимизма;

при λ = 0 – критерий Вальда;

при λ = 1 – оптимальная стратегия 1:
1 – линейная кривая;

2 – кривая существенно увеличивает мнения (сред. значение) спектра. Она используется, когда есть большая группа экспертов средней квалификации без выдающихся личностей.

3 – кривая позволяет увеличить влияние крайних значений и снизить учет мнений в центре.

С учетом зимы считаем λ = 0.9

- оптимальная стратегия






^ 5. Критерий Сэвиджа

Он предложил оценивать не платежную матрицу, а матрицу рисков.

Риском называется разность между максимальным элементом в данном столбце и текущими элементами.



Матрица рисков





0°C

-10°C

-20°C

max Tij

1

0

250

1000

1000

2

500

0

500

500

3

1000

500

0

1000

4

200

750

2000

2000


  • min риск


- критерий минимального риска.

Задача

Транспортная компания разрабатывает стратегию выбора вместимости автобуса на дальнем маршруте. Она располагает автобусами на 20, 40, 60 чел. На остановке может находиться 10, 40, 70 чел. Любое число пассажиров вмещается в любой автобус.

При перевозке пассажиров прибыль = N; (номер варианта)

При перевозке пустого места убыток = N/2 +1;

При наличии пассажиров больше, чем грузоподъемность автобуса убыток от ремонта = 0.8·N + 2.
Составить платежную матрицу и определить все критерии.




10

40

70

20

150

88

-740

40

-190

1280

452

60

-530

940

1644

pj

0,4

0,3

0,3
Стратегии:

- автобус вместительностью 20 человек;

- автобус вместительностью 40 человек;

- автобус вместительностью 60 человек.

Элементы платежной матрицы: N = 32

а11 = 10·N – 10·(N\2 + 1) = 150;

а12 = 20·N – 20·(0.8·N + 2) = 88;

а13 = 20·N – 50·(0.8·N + 2) = -740;
а21 = 10·N – 30·(N\2 + 1) = -530;

а22 = 40·N = 1280;

а23 = 40·N – 30·(0.8·N + 2) = 452;
а31 = 10·N – 50·(N\2 + 1) = -530;

а32 = 40·N – 20·(N\2 + 1) = 940;

а33 = 60·N – 10·(0.8·N + 2) = 1644.
1. Критерий Вальда
;


2. Критерий Байеса
;





- самая оптимальная стратегия
^ 3. Критерий Лапласа
; pj – вероятность наличия людей на остановке



- оптимальная стратегия
^ 4. Критерий Гурвица


Считаем λ = 0.9





- оптимальная стратегия
^ 5. Критерий Сэвиджа





10

40

70

max Tij

20

0

62

890

890

40

1470

0

828

1470

60

2174

704

0

2174



- min риск

- критерий минимального риска.

Оптимальной является первая стратегия.

^ 5.2. Решение игровой задачи

Метод экспертных оценок используется при решении игровых задач в чистых стратегиях.

Стратегия называется чистой, если из всех возможных ходов выбирается только один.

Кроме чистой существует смешанная стратегия. В этом случае вероятность каждого хода находится между 0 и 1.

Такую задачу можно привести к задаче линейного программирования и решить традиционным способом.
Пример

Фермер определяет посевной план. Он располагает двумя культурами, урожайность которых зависит от количества осадков. Что выгоднее посадить?

К1 – картофель

К2 – капуста

200, 50 – прибыль





солнечно

дождливо

α

К1

200

50

50

К2

60

150

60

β

200

150





Для принятия решений о смешанной стратегии необходимо определить верхнюю и нижнюю цену игры

Нижняя цена игры α – максимальный из всех минимальных элементов платежной матрицы при рассмотрении ее по строкам.



Данный параметр соответствует максимально гарантированному выигрышу при чистой стратегии.

Верхняя цена игры β – минимальный из всех максимальных элементов платежной матрицы при рассмотрении ее по столбцам.



Если , то решение игры находится в смешанных стратегиях, если , то в чистой стратегии (см. критерий Вальда)




, значит можно применить смешанную стратегию.

Цель: получение максимальной прибыли

Переменные: х1 – доля отводимая под посадку культуры К1;

х2 - доля отводимая под посадку культуры К2.

Ограничения: х1 + х2 = 1;

хi > 0.

Целевая функция: в игровом моделировании количество целевых функций соответствует количеству возможных ходов противника.

При жаркой погоде:

При дождях:
Решим данную задачу графически

По оси абсцисс (х) – доли культур, по оси ординат (у) – значения целевых функций.
х1 = 0; х2 = 1.

х1 = 0.5; х2 = 0.5.

х1 = 1; х2 = 0.
r – риск,

120 – гарантированная прибыль,

1 – зона гарантированного выигрыша,

2 – зона недостижимой прибыли,

3 – зоны риска.

По краям диаграмм мы имеем дело с чистыми стратегиями.


Задача:
Брокер собирается купить акции трех компаний:

А1 – государственная компания,

А2 – зарубежная компания,

А3 – частная компания.

Дивиденды зависят от политики правительства:

П1 – политика госрегулирования,

П2 – политика либерализма в экономике,

П3 – политика вступления в ВТО.




А

В

С

D

E

1

1

П1

П2

П3

α

2

А1

20

1

12

1

3

А2

2

2

18

2

4

А3

6

15

0

0

5

β

20

15

18






Для примера N = 1.

α ≠ β


Цель: получение максимальной прибыли

Критерий: дивиденды от купленных акций

Переменные: х1 – доля акций компании А1;

х2 – доля акций компании А2;

х3 – доля акций компании А3.

Ограничения: х1 + х2 + х3 = 1;

хi ≥ 0.

Целевая функция: П1:

П2:

П3:
Приведение игровой модели к задаче линейного программирования.

Необходимо приводить к линейному программированию, если нижняя цена игры α ≠ верхней цене β.

Для приведения задачи к линейной модели целевые функции превращаются в ограничения, а ограничение – в целевую функцию.

Все 4 уравнения делят на критерий оптимальности:
– математическая модель задачи

Ограничения:









A

B

C

D

E

F

1

1

П1

П2

П3

Доли

Ограничения

2

А1

20

1

12

0,33

0,33

3

А2

2

2

18

0,33

3,08

4

А3

6

15

0

0,33

1,98

5










F

3

3,3

6
















0,333333


В столбец Е вносим начальные произвольные значения х1 + х2 + х3 = 1.

В ячейку Е5 вносим значение целевой функции.

Столбец F – ввод ограничений



F2

= E2/E5 + E3/E5 + E4/E5

F3

= B2 · E2/E5 + B3 · E3/E5 + B4 · E4/E5

F4

= C2 · E2/E5 + C3 · E3/E5 + C4 · E4/E5

F5

= D2 · E2/E5 + D3 · E3/E5 + D4 · E4/E5

F6

= 1/E5


«Сервис», «Поиск решения».

  • Установить целевую ячейку F6 минимальному значению

  • Изменяя значение в ячейке от Е2 до Е5 и понижая на кнопку «Добавить» вносим следующие ограничения:

F2 = F6;

F3 : F5 = 1;

E2 : E5 ≥ 0 – на неотрицательность

«Выполнить»

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

  • решение задачи;

  • матем. модель;

  • ответ на контрольный вопрос:

Как изменится решение задачи, если к-ты на диагонали D2:В4 увеличатся в 2 раза?

Похожие рефераты:

С. К. Крутолевич «экономико-математические методы и модели»
Графическое представление многокритериальной оптимизации в виде круговой диаграммы
С. К. Крутолевич «экономико-математические методы и модели»
Моделирование хозяйственной деятельности как средства для принятия эффективных управленческих решений
План практических занятий по дисциплине «Экономико-математические...
Тема: Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в промышленности
План практических занятий по дисциплине «Экономико-математические...
Тема: Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в промышленности
Методические указания составлены в соответствии с типовой программой...
Эконометрика и экономико-математические методы и модели: методические указания и контрольные задания для студентов экономических...
С. К. Крутолевич «экономико-математические методы и модели»
Случайной называется величина, значение которой для проведения опыта неизвестно. Случайные величины, как и детерминированные, подчиняются...
Методические указания к практическим работам по дисциплине "Экономико-математические...
Экономико-математические методы и модели для специальности 1-25 01 04 «Финансы и кредит»
Методические указания к практическим работам по дисциплине "Экономико-математические...
Экономико-математические методы и модели для специальности 1 – 25 01 10 «Коммерческая деятельность»
Рабочая программа По курсу “Экономико-математические методы и модели”...
По курсу “Экономико-математические методы и модели” для специальности 1-25 01 04 «Финансы и кредит»
Рабочая программа По курсу “Экономико-математические методы и модели”...
По курсу “Экономико-математические методы и модели” для специальности 1-25 01 04 «Финансы и кредит»

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза