Сложение и умножение вероятностей


Скачать 80.03 Kb.
НазваниеСложение и умножение вероятностей
Дата публикации02.05.2013
Размер80.03 Kb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
Занятие № 2. «Основные аксиомы теории вероятностей. Вычисление вероятностей события ».


  1. совместные события

  2. несовместные события

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие  — выпадание трех очков на первой игральной кости, событие  — выпадание трех очков на второй кости.  и  — совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие  — наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие  — коробка окажется с обувью коричневого цвета,  и  — несовместные события.

  1. теорема сложения вероятностей двух событий (совместных)

  2. теорема сложения вероятностей двух событий (несовместных)

  3. теорема умножения вероятностей двух событий (независимых)

  4. теорема умножения вероятностей двух событий (зависимых)
^

Сложение и умножение вероятностей


Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем .

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двухнесовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.



Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

.

Если случайные события  образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и Bназываются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

.

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событийА и В вычисляется по формуле:

.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий



Если события  имеют одинаковую вероятность , то формула принимает простой вид:

.

Задача 1.

В урне 7 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Найти вероятность того, что извлеченный шар цветной. (0,72)

Задача 2.

Из 20 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта, наугад взято 2 изделия. Найти вероятность того, что оба они – перового сорта. (0,4368)

Задача 3.

Спортсмен стреляет по мишени разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор? (0,7)

Задача 4.

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен? (0,97)

Задача 5.

Вероятность попадания в цель каждого из трех спортсменов равна соответственно 0,8; 0,7; 0,9. Стрелки произвели один залп. Найти вероятность только одного попадания. (0,092)
«Формула полной вероятности. Формула Байса.»


  1. формула полной вероятности

 Формула полной вероятности. 

   Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,



   Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем



   Но  (i=1, 2, ..., n), поэтому



(11)



   Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами». 

Пример. В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов? 

   Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более 1500 часов, а Н1, Н2, Н3 и Н4 — гипотезы, что она изготовлена соответственно 1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт., то вероятности гипотез соответственно равны



   Далее, из условия задачи следует, что



   Используя формулу полной вероятности (11), имеем



  1. понятие гипотезы

  2. формула Байса

 Формула Бейеса. 

   Предположим, что производится некоторый опыт, причем об условиях его проведения можно высказать n единственно возможных и несовместных гипотез , имеющих вероятности . Пусть в результате опыта может произойти или не произойти событие А, причем известно, что если опыт происходит при выполнении гипотезы , то   

   Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей . 

   На основании соотношений (4) и (5) имеем 
 

 

   откуда



   Но по формуле полной вероятности



   Поэтому





(12)



   Формула (12) называется формулой Бейеса*. 

 Пример. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460—на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для 3-го — 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом? 

   Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а  - гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют




   Из условия задачи следует, что



   Найдем , т. е. вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем



   Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен 1-м заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.
Задача 1.

На фабрике изготавливающей изделия, первая машина производит 30 %, вторая 25%, третья 45 % всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался бракованным. (0,022)

Задача 2.

В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара, это ящик состава Н1; в двух других ящиках, состава Н2, по 8 голубых и 2 красных шара, в одном ящике состава Н3 – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик, из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным? (0,4)

Задача 3.

В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах. 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные вторым. Брак в продукции первого автомата 3%, второго 2 %. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным. (0,5)
Задача 4.

Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода 2%, у второго 1%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретенное изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным? (0,6)

Похожие рефераты:

Задача «Новогодняя ёлка» О. В. Печёнова, учитель высшей категории...
Взаимосвязь со знаниями, ранее полученными: младшие школьники знают табличное умножение и соответствующие случаи деления, умеют выполнять...
Лабораторная работа №1
Доказать, что с введенными операциями сложение, и умножение на скаляр из, не является линейным пространством. Укажите, какие из аксиом...
Вопросы к зачету
Матрицы и операции над ними: сложение, вычитание, умножение. Транспонированная матрица. Эквивалентные матрицы. Обратная матрица
Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Схемотехника»
Цель – привить навыки решения задач в других системах счисления: сложение, вычитание, умножение. А так же составлять таблицы истинности...
Лекция №2
В элементарной математике сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня примеры взаимообратных...
Тема: «Год бережливости. Закрепление устных и письменных приёмов вычислений многозначных чисел»
Задачи: закреплять умения выполнять устное и письменное умножение и деление, сложение и вычитание; решать задачи разных типов
Урока: Сложение и умножение числовых неравенств. Учитель математики Кулемина Ольга Ивановна
Цель: Закрепить навыки сложения и умножения числовых неравенств. Воспитание внимания, трудолюбия. Развитие математической речи, алгоритмического...
Вопросы к экзамену за первый семестр специальностей 1-50 01 01 «технология...
Определение вектора, как математической модели векторной величины. Виды векторов, их взаимное расположение на плоскости и в пространстве....
Вопросы к экзамену по курсу «Общая математика»
Векторы на плоскости. Равные векторы. Нулевой вектор. Противоположные векторы. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства...
Урок на умножение и деление десятичных дробей». Тема урока: «Обобщающий...
Цель урока: закрепить и проверить знания учащихся на умножение и деление десятичных дробей

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза