Конкурс «Методический вернисаж». Методическое обеспечение учебного процесса «Решение олимпиадных задач по планиметрии»


НазваниеКонкурс «Методический вернисаж». Методическое обеспечение учебного процесса «Решение олимпиадных задач по планиметрии»
страница1/11
Дата публикации10.05.2013
Размер1.15 Mb.
ТипКонкурс
referatdb.ru > Математика > Конкурс
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


Управление образования Карагандинской области

VII областной Конкурс «Методический вернисаж».


Методическое обеспечение учебного процесса

«Решение олимпиадных задач по планиметрии»

Методическое пособие для учителей математики.

Составитель: Гудовщикова Д.С.

учитель математики СШ №3

г. Шахтинск


г. Караганда 2011

«Решение олимпиадных задач по планиметрии»

Методическое пособие для учителей математики.

Составитель: Гудовщикова Д.С. учитель математики СШ №3 г. Шахтинск

Олимпиадная задача по математике - это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Целью данного пособия является более глубокое и детальное рассмотрение вопроса решения олимпиадных задач по планиметрии. Сейчас в школьном курсе геометрии учеников знакомят с разнообразными понятиями и средствами решения задач, но именно их разнообразие оставляет мало времени на приобретение навыков решения этих задач, и вкус к такого рода задачам, как олимпиадные, у современных школьников несколько снизился. Конечно, вопрос о том, насколько важно научиться решать трудные геометрические задачи, спорен. Быть может, и в самом деле тем, кто связывает свое будущее с профессией математика или программиста, полезнее заниматься задачами комбинаторно-логического характера, изучать начала анализа, учиться составлять программы для ЭВМ. Но все же, развитое геометрическое воображение - качество, необходимое будущему математику и полезное будущим инженерам, физикам, строителям, архитекторам и многим другим.

В данном пособии разобраны основные методы решения планиметрических задач, на каждый метод приведены примеры решения задач повышенной трудности. В процессе решения таких задач мы не только знакомимся с новыми математическими закономерностями, но и по-другому смотрим на уже известные факты. Решая такие задачи, можно значительно повысить уровень своего математического образования. Рассмотренные методы были практически применены при решении олимпиадных заданий городских олимпиад Карагандинской области последних лет. При решении более сложных геометрических задач олимпиадного характера чаще всего одновременно используются несколько методов. В отличие от алгебры, в геометрии почти нет стандартных задач, решающихся по образцам. Практически каждая геометрическая задача требует "индивидуального" подхода, четкости и последовательности в рассуждениях, понимания логических связей между различными этапами решения задачи.

Актуальность пособия заключается в том, что оно показывает возможности использования различных методов при решении геометрических задач. Знание альтернативных методов решения приводит к получению более рациональных решений задачи, позволяет проявить смекалку, хорошее знание теории; кроме этого, во многих случаях упрощает решение задач за счет сокращения алгебраических преобразований и вычислений.

Пособие может быть использовано при проведении факультативных занятий, при подготовке учащихся к олимпиадам по математике, а также в прикладных курсах профильного обучения в старших классах.

Рецензент: А. А. Абдрашитова

Введение.

Математические олимпиады являются одной из разновидностей соревнований. Сегодня олимпиады по математике являются наиболее массовой формой внеклассной работы по математике.

Целями проведения олимпиад являются:

  1. расширение кругозора учащихся;

  2. развитие интереса учащихся к изучению математики;

  3. общий подъем математической культуры, интеллектуального уровня учащихся;

  4. выявление учащихся, проявивших себя по математике,

  5. для участия их в следующем туре олимпиад и для организации индивидуальной работы с ними;

  6. знакомство учащихся с важнейшими проблемами и методами современной математики.

Первые олимпиады по математике начали проводиться в Венгрии с 1896 г., назывались они Этвешское соревнование. Сборник задач этих олимпиад был издан на русском языке в 1896 г. С 1894 г. в России выходил журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики», где читателям предлагались математические олимпиады на конкурс. Можно сказать, что это были первые заочные олимпиады. Первые математические олимпиады в СССР состоялись в Тбилиси - 3 ноября 1933 г. и в 1934 г. - в Ленинграде, а с 1935 г. стали проводиться в Москве. В то время основная цель их была в выявлении способных в математическом отношении школьников для организации их дальнейшего обучения и, насколько это возможно, более раннего их привлечения к научной работе. Причем главная ценность олимпиад состоит не в выявлении победителей и награждении особо одаренных учащихся, а в общем подъеме математической культуры, интеллектуального уровня учащихся.

Можно принять такое определение: под олимпиадной задачей по математике будем понимать задачи повышенной трудности, нестандартные по формулировке или по методам их решения. При таком определении понятия олимпиадной задачи под класс олимпиадных задач попадут как задачи повышенной трудности (в том числе и рассматриваемые на уроках), так и нестандартные задачи, использующие необычные идеи, а также специальные методы их решения.

Решение олимпиадных задач требует от учащихся как хорошей подготовки в области школьной математики, так и хорошего развития некоторых качеств мышления, в частности гибкости, глубины, осознанности.

Планиметрия – один из самых увлекательных и важных разделов школьной математики. Прежде всего она необходима для того, чтобы понять как устроен окружающий нас мир, научиться правильно ориентироваться в нем. Геометрия, и в частности планиметрия, соединяет наглядные представления со строгой логикой, способствуя развитию логического мышления. «Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга. Воображение дает непосредственное видение геометрического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика, в свою очередь, придает точность воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи». Эти слова принадлежат известному современному математику, автору учебников по геометрии для средней школы А.Д. Александрову. Помимо сказанного, планиметрия и сама по себе очень интересна, так как имеет яркую историю, уходящую в глубь веков и связанную с именами знаменитых ученых, например Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония и многих других. Она изучает красивые математические объекты, широко применяется в искусстве: живописи, скульптуре, архитектуре. Выдающийся архитектор ХХ столетия Ле Корбюзье (1887-1965) писал: "Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора».

^ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

Опыт показывает, что некоторые разделы теоретического курса геометрии и многие приемы и способы решения геометрических задач вызывают серьезные трудности прежде всего из-за того, что требуют четкости и последовательности в рассуждениях, понимания логических связей между различными этапами решения задачи.

Рассмотрим некоторые способы решения задач, характерные именно для геометрии, покажем различные приемы и методы, которые используются при решении геометрических задач.

^ 1.1 Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем.

Большой класс задач решается с помощью различных теорем. Условия подобных задач таковы, что можно непосредственными вычислениями получить искомый результат. Разберем некоторые задачи с использованием этого метода.

Задача 1:

Внутри острого угла, равного α, взята точка М, удаленная от его сторон на расстояния k и n. Найти расстояние от вершины угла до точки М.

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .

Решение:

Угол ВАС острый, расстояние от точки М до стороны ВА – это длина перпендикуляра МВ, расстояние от точки М до стороны СА – это длина перпендикуляра МС. В четырехугольнике АВМС сумма внутренних углов равна 360°.

Значит,  ВМС = 360°-(ВАС+90°+90°) = 180°-ВАС.

Из ВМС по теореме косинусов найдем длину ВС:



Заметим, что в четырехугольнике АВМС суммы попарно противоположных углов равны по 180°: А+М=В+С=180°. Значит, около этого четырехугольника можно описать окружность. Точки А, В, М, С – лежат на одной окружности. Это означает, что полученная окружность описана около АВС, эта же окружность описана около АВМ. АВМ прямоугольный с прямым углом В, значит, сторона АМ является диаметром этой окружности.

Из АВС по теореме синусов имеем . Поэтому АМ=.

Ответ: Е.

Задача 2:

Докажите, что в треугольнике АВС .

Решение:

Пусть в АВС стороны равны a, b и с, тогда по теореме косинусов имеем: .

По теореме синусов имеем: ,

тогда имеем: .

Разделим полученное равенство на и получаем: .

, если , то А=0° или А=180°, что невозможно.

Умножим последнее равенство на и получаем: , ч.т.д.

Задача 3:Олимпиадная задача II тура олимпиады по математике среди школьников, проводимой Карагандинским государственным университетом им. Е.А. Букетова, 11 класс, февраль 2004 года.

Две противоположные стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами сторон ВС и АD равно 5. Найти расстояние между серединами диагоналей AC и BD.

Решение:

ABCD выпуклый четырехугольник, у которого AB  CD.

М – середина AD, N – середина BC, K – середина BD, Р – середина AC.

В АСD МР средняя линия, значит, МР ║СD.

В ВСD KN средняя линия, значит, KN ║СD.

Две прямые параллельные третьей параллельны, поэтому МР ║ KN ║СD.

В АВС РN средняя линия, значит, РN ║AB.

В AВD MK средняя линия, значит, MK ║AB.

Две прямые параллельные третьей параллельны, поэтому NР ║ KM ║AB.

По условию AB  CD, то и параллельные им прямые будут тоже перпендикулярны и четырехугольник MPNK – параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник. Значит, его диагонали PK и MN равны. MN =5  PK =5.

Ответ: 5.

Задача 4:

В окружности с центром О вписана трапеция ABCD, в которой AB ║ DC, AВ=5, DС=1, АВС =60°. Точка К лежит на стороне АВ, причем АК = 2. Прямая СК пересекает окружность в точке F, отличной от С. Найти площадь треугольника ОFC.

Решение:

Известно, что трапецию можно вписать в окружность, если она равнобедренная. Проведем СН АВ, тогда .

По условию АК=2, значит, АКD = ВСН, оба они прямоугольные. АВС = ВАD =60°  ВСН=30°. Тогда СВ=2НВ= 4. По теореме Пифагора из ВСН находим

СН=

По теореме Пифагора из КСН находим СК=

Хорды CF и AB пересекаются в точке К, тогда по свойству хорд имеем: .

ОСF - равнобедренный, так как OF=OC как радиусы одной окружности. Поэтому ОМ – медиана и высота ОСF. .

Окружность с центром О описана около трапеции ABCD, а также около треугольников ACD, ABD. Найдем диагональ трапеции АС = BD по теореме косинусов: , тогда находим радиус окружности по известной формуле: . По теореме Пифагора из ОМС находим . .

Ответ:

Задача 5:

^ В AMC известны величины двух углов M=600;C=100. Из вершины M проведены отрезок MB так, что BAC и MBA=500. Доказать, что , где MA=a; MB=b; MC=c.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие рефераты:

Конкурс «Методический вернисаж» «Методическое обеспечение учебного процесса»
Управление образования Карагандинской области IX областной конкурс «Методический вернисаж»
Программа факультативных занятий “решение олимпиадных задач по физической химии”
Курс факультативных занятий «Решение олимпиадных задач по физической химии» ориентирован на учащихся 10, 11 классов химико-биологического...
Положение о проведении XI открытого областного фестиваля педагогических...
«Методический вернисаж» меняет в 2013-2014 году свой формат и объявляет о проведении серии методических конкурсов, участие в которых...
О деятельности информационно библиотечного
Библиотека является структурным подразделением школы, вся её работа направлена на выполнение задач, поставленных перед школой, обеспечение...
4. Руководство и методическое обеспечение
...
Тема Дата проведения
Нормативно правовое и учебно-методическое обеспечение образовательного процесса по иностранному языку в 2012-2013 учебном году. Создание...
1. 2 информационно-методическое и библиотечное обеспечение учебного процесса
Общая площадь библиотеки – 560 кв м. Читальный зал – 200 кв м. Наличие видиотеки – нет, фонотеки – нет, медиатеки – нет, Книгохранилище...
О порядке организации учебного процесса
Приказом мон рк №152 от 20. 04. 2011г., Уставом Университета, Правилами внутреннего распорядка, Академическим календарем и графиком...
Нормативное правовое, учебно-методическое обеспечение образовательного...
Создание условий для ознакомления с нормативными правовыми актами, регулирующими деятельность вечерних школ средствами управленческих...
8. Раздел учебно-методическое обеспечение
Ф. Г. Серова, А. А. Янкина «Сборник задач по термодинамике», «Просвещение», Москва, 1981

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза