В. И. Харламова теория вероятностей и


НазваниеВ. И. Харламова теория вероятностей и
страница3/15
Дата публикации18.07.2013
Размер2.12 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Пример 1.4 Построим многоугольник распределения вероятностей для случайной величины Х по данным предыдущего примера 1.3.

Прежде всего, вычислим вероятность каждого возможного значения:

р0 = Р(Х = 0) = С70 (0,5)0 (0,5)7 = 0,0078125

р1= Р(Х = 1) = С71 (0,5)1 (0,5)6 = 0,0546875

р2 = Р(Х= 2) = С72 (0,5)2 (0,5)5 = 0,1640625

р3 = Р(Х= 3) = С73 (0,5)3 (0,5)4 = 0,2734375

р4 = Р(Х = 4) = С74 (0,5)4 (0,5)3 = 0,2734375

р5 = Р(Х = 5) = С75 (0,5)5 (0,5)2 = 0,1640625

р6 = Р(Х = 6) = С76 (0,5)6 (0,5)1 = 0,0546875

р7 = Р(Х = 7) = С77 (0,5)7 (0,5)0 = 0,0078125

Проверка показывает, что сумма вероятностей всех значений равна 1.

Округлим значения вероятностей:

р0 = 0,008

р1 = 0,055

р2 = 0,164

р3 = 0,273




р4 = 0,273

р5 = 0,164

р6 = 0,055

р7 = 0,008

Выполним построение многоугольника распределения вероятностей.

y



Рисунок 1.1 – Многоугольник распределения вероятностей

для числа появления герба при семикратном бросании монеты


1.4 Функция распределения случайной величины
Все рассмотренные способы задания закона распределения случайной величины являются неприемлемыми тогда, когда случайная величина имеет слишком много значений, которые невозможно перечислить. Для исследования закона распределения вероятностей произвольной случайной величины Х можно использовать не вероятность события Х = х, а вероятность события Х < х, где х – некоторое действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта примет значение, которое будет меньше числа х, является функцией аргумента х.
^ Определение 1.10 Функцией распределения случайной величины Х называется функция Fx(x) действительной переменной х ? (-?; ?), равная вероятности того, что Х принимает значения, меньшие числа х.

Таким образом, функция распределения случайной величины Х определяется следующим соотношением:

Fx(x) = P(X < x), x ?(-?; ?).

В дальнейшем вероятностную функцию распределения Fx(x) мы будем называть теоретической. Иногда вместо термина «функция распределения» используется равнозначный термин «интегральная функция распределения».
Пример 1.5 Обозначим через Х число нечетных цифр в произвольном четырехзначном номере. Найдем функцию распределения случайной величины Х и построим ее график.

Очевидно, что случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность выбора одной нечетной цифры равна 0,5, вероятность выбора четной цифры также равна 0,5. Вычислим вероятности соответствующих значений.

р0 = Р(Х = 0) = С40 (0,5)0 (0,5)4 = 0,0625

р1 = Р(Х = 1) = С41 (0,5)1 (0,5)3 = 0,2500

р2 = Р(Х = 2) = С42 (0,5)2 (0,5)2 = 0,3750

р3 = Р(Х = 3) = С43 (0,5)3 (0,5)1 = 0,2500

р4 = Р(Х= 4) = С44 (0,5)4 (0,5)0 = 0,0625

Суммирование вероятностей подтверждает условие нормированности распределения.

Пусть x ? (-?; 0], тогда

Fx(x) = P(X < x) = P(X < 0) = 0.

При x ? (0; 1] имеем

Fx(x) = P(X < x) = P(X < 1) = Р(X = 0) = 0,0625.

При x ? (1; 2] имеем

Fx(x) = P(X < x) = P(X < 2) = P(X = 0) + Р(Х = 1) =

= 0,0625 + 0,2500 = 0,3125.

При x ? (2; 3] имеем

Fx(x) =Р(X < x) = P(X < 3) = P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,0687.

При x ? (3; 4] имеем
Fx(x) = P(X < x) = P(X < 4) =

= P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х =3) = 0,9375.

Наконец, при x (4; ) имеем

Fx(x) = P(X < x) =

= P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 1.

В итоге получается следующее выражение функции распределения:



Построим график этой функции.



Рисунок 1.2 – График функции распределения числа

четных цифр в произвольном четырехзначном номере



В общем случае функция распределения любой дискретной случайной величины Х находится по формуле:

Fx(x) = Σ P (X = xi),

xi < x

то есть суммируются вероятности всех значений случайной величины, которые являются меньшими числа х.
Напомним основные свойства функции распределения.
^ 1. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть

Fx (x1) ≤ Fx(x2) при x1 < x2.

2. Справедливы следующие равенства:

lim Fx(x) = 0 и lim Fx(x) = 1.

x→ - ? x→ + ?

  1. Все значения функции распределения изменяются от 0 до 1, то есть

0 ≤ Fx(x) ≤ 1.


  1. Функция распределения является непрерывной слева, то есть

lim Fx(x) = Fx(x0).

xx0 – 0

^ 5. Вероятность неравенства a ≤ X < b для любых а и b вычисляется по формуле

P (a ≤ X < b) = Fx(b) – Fx(a).

Подчеркнем, что функция распределения является наиболее общей формой закона распределения и самой полной характеристикой случайной величины любого типа.

^ 1.5 Плотность распределения вероятностей
Результаты не всех реальных экспериментов можно исчерпывающе описать с помощью дискретных случайных величин. Например, основные метеорологические параметры погоды и физиологические показатели состояния здоровья человека такие, как температура, давление, вес, размеры, промежутки времени, концентрация химических веществ в жидкости изменяются непрерывно от наименьшего возможного значения до наибольшего. Если множество возможных значений случайной величины заполняют некоторый конечный или бесконечный числовой интервал, то такая случайная величина называется непрерывной.

Подчеркнем, что непрерывная случайная величина в отличие от дискретной имеет бесконечное множество значений, которые невозможно перечислить. Из определения непрерывности вытекает и другая ее особенность.

^ Вероятность любого конкретного значения х непрерывной случайной величины Х равна нулю, то есть

P(Х = х) = 0.

Заметим, что из равенства нулю вероятности конкретного значения х не следует невозможность принятия случайной величины Х этого значения. Так как непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество значений, то каждое из них реализуется крайне редко.

Поэтому для непрерывных величин определяется вероятность попадания значений в бесконечно малый интервал ∆х. Эта вероятность вычисляется по формуле:

P(х ≤ Х < х + ∆х) = Fx(x + ∆x) – Fx(x).

Долю вероятности, соответствующую единице длины интервала ∆х, показывает соотношение:

.

Очевидно, что предел этого соотношения при ∆х→0 является производной функции распределения:

.

^ Определение 1.11 Плотностью распределения вероятностей рх(х) непрерывной случайной величины Х называется первая производная (если она существует) ее функции распределения:

рх(х) = F΄х(х).

Плотность распределения вероятностей рх(х) сокращенно называют плотностью вероятности случайной величины Х. Иногда вместо термина «плотность вероятности» используется эквивалентный термин «дифференциальная функция распределения». Случайная величина имеет функцию плотности вероятности только тогда, когда ее функция распределения Fх(х) непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением отдельных точек на конечном промежутке. Функция плотности вероятности рх(х) дает возможность судить о характере распределения непрерывной случайной величины в малых окрестностях точек числовой оси.

Из предшествующих рассуждений следует, что плотность вероятности рх(х) пропорциональна вероятности того, что случайная величина примет значение, находящееся на бесконечно малом расстоянии ∆х→0 от точки х. Отсюда также вытекает следующее приближенное равенство:

Р(х ≤ Х < х + ∆х) ≈ рх(х ) ∆х.

Произведение рх(х)∆х называют элементом вероятности, оно равно площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой рх(х). Значит, вероятность попадания значений случайной величины Х в полузамкнутый интервал [х; х + ∆х) приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой, равной рх(х ).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию данного утверждения.

∆х


рх(х )



Рисунок 1.3 – Вероятность попадания значений случайной

величины Х в интервал [х; х + ∆х)
Площадь заштрихованного прямоугольника приближенно равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу [х; х + ∆х).

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.


  1. Плотность вероятности рx(х) всегда неотрицательна:

рх(х) ≥ 0.

  1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значения из интервала [х1; х2) вычисляется по формуле:

.

^ 3. Для плотности вероятности всегда справедливо равенство:

.

4. Функция распределения Fх(х) и плотность вероятности рx(х) непрерывной случайной величины Х связаны формулой:

.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию основных свойств плотности вероятности.


y = px(x)


Рисунок 1.4 – Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал [х1; х2)

Данный рисунок показывает, что в соответствии со вторым свойством площадь заштрихованной криволинейной трапеции, заключенной между кривой плотности вероятности y = px(x) и осью Ох, равна вероятности неравенства P(х1 ≤ Х < х2).

у = px(x)


Рисунок 1.5 – Полная площадь

под кривой плотности вероятности

Так как по третьему свойству плотности

,

то площадь заштрихованной фигуры, ограниченной графиком плотности вероятности y = рх(х) и осью Ох , всегда равна 1, что показывает рисунок 1.5.

Так как функция распределения Fх(х) равна вероятности того, что случайная величина Х примет значения, меньшие числа х, то по свойству 4 имеем:

.

Следовательно, геометрически функция распределения Fх(х) равна площади заштрихованной фигуры на рисунке 1.6, расположенной левее точки х, ограниченной графиком плотности вероятности y = рх(х) и осью Ох.


у = px(x)

Рисунок 1.6 – Геометрическая интерпретация

функции распределения Fх(х)

Подчеркнем, что функция распределения и плотность вероятности случайной величины являются фундаментальными понятиями как теории вероятности, так и математической статистики. Заданные в аналитической форме, они дают существенную информацию об исследуемой случайной величине и позволяют теоретически обосновать статистические выводы, сделанные на основе эмпирических данных.

^ 1.6 Группировка статистических данных
Полученные в результате экспериментов или наблюдений первичные статистические данные, как правило, записываются в рабочую таблицу наблюдений. К сожалению, на основе неорганизованного скопления числовых значений сложно сделать какие-либо статистические выводы. Прежде всего необходимо представить результаты экспериментов в рабочем виде. Существуют определенные способы группировки статистических данных в специальные таблицы.

Допустим, что в результате проведения n экспериментов получена некоторая выборка значений случайной величины Х. Расположим данные выборочные значения в порядке их возрастания, при этом некоторые из них могут повторяться несколько раз.
^ Определение 1.12 Все различные значения случайной величины, содержащиеся в выборке, называются вариантами.

Определение 1.13 Число mi, показывающее, сколько раз варианта xi встречается в выборке, называется частотой варианты xi.

Очевидно, что если – все варианты выборки, то сумма их соответствующих частот равна объему всей выборки:

.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Похожие рефераты:

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и...
Рабочая программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов
Факультет математический (название факультета) Кафедра экономической...
Учебная программа составлена на основе типовой программы «Теория вероятностей и математическая статистика» утвержденной Министерством...
Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Литература Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986
Ознакомление студентов с основными принципами теории вероятностей и примерами их приложений, дальнейшее формирование у студентов...
Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Сложение и умножение вероятностей
Занятие № «Основные аксиомы теории вероятностей. Вычисление вероятностей события»
Теория вероятностей и математическая статистика Цель дисциплины
Цель дисциплины изучение основ теории вероятностей, формирование у студентов знаний, умений и навыков построения и анализа математических...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика» по разделу теория вероятностей и математическая статистика,...
Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...
Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза