В. И. Харламова теория вероятностей и


НазваниеВ. И. Харламова теория вероятностей и
страница4/15
Дата публикации18.07.2013
Размер2.12 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

^ Определение 1.14 Если объем всей выборки равен n, то относительной частотой варианты xi называется число , равное отношению частоты mi к объему n:

.

Каждая варианта выборки имеет соответствующую относительную частоту:

.

Не трудно проверить, что сумма относительных частот всех вариант выборки равна 1:

.

Определение 1.15 Множество всех вариант выборки, расположенных в порядке возрастания их значений, вместе с их соответствующими частотами или относительными частотами называется вариационным рядом.

Вариационный ряд удобно представлять в виде следующей таблицы.
Таблица 1.3 – Вариационный ряд

















Пример 1.6 В течение недели было проведено исследование посещаемости университетской библиотеки студентами группы, состоящей из 25 человек. Зафиксированное число посещений каждого студента представляет следующая выборка:

2 2 1 2 2

0 5 0 2 0

1 0 4 1 1

4 2 1 0 2

3 3 4 5 1

Объем выборки n = 25. Выпишем все варианты в порядке их возрастания:

0, 1, 2, 3, 4, 5.

Найдем частоту каждой варианты:

.

Для проверки найдем сумму всех частот:

5 + 6 + 7 + 2 + 3 + 2 = 25.

Теперь вычислим относительные частоты соответствующих вариант:

; ; ;

; ; .

Проверим сумму:

0,20 + 0,24 + 0,28 + 0,08 + 0,12 + 0,08 = 1.

Составим вариационный ряд данной выборки.

Таблица 1.4 – Вариационный ряд данных посещаемости

библиотеки

Число

посещений

0 1 2 3 4 5






5 6 7 2 3 2



0.20 0.24 0.28 0.08 0.12 0.08



Вариационный ряд часто помогает сгруппировать и более организованно записать результаты статистических экспериментов. Однако преимущества вариационного ряда теряются в тех случаях, когда выборка имеет большой объем и не содержит повторяющихся значений. Для выборочных данных с большим объемом существует более общая форма представления.

Рассмотрим произвольную выборку значений случайной величины Х объема n. Обозначим через а наименьшее выборочное значение, а через b – наибольшее. Тогда вся выборка принадлежит отрезку [а; b]. Разделим этот отрезок точками на k меньших интервалов равной длины:

а = < < < … < = b.

Для каждого i-го интервала [; ), = 1,2,…, k, найдём частоту , равную числу выборочных значений, принадлежащих этому интервалу. Частное является относительной частотой выборочных значений, принадлежащих i-му интервалу. Используем стандартное обозначение: =.

Очевидно, что сумма частот всех интервалов равна объему выборки:

,

а сумма всех относительных частот равна 1:

.

Определение 1.16 Таблица интервалов, содержащая данную выборку значений случайной величины Х и соответствующие частоты или относительные частоты, называется статистическим рядом.

В общем случае статистический ряд представляется следующим образом.

Таблица 1.5 – Интервальный статистический ряд

Интервалы значений Х

[x0; x1)

[x1; x2)



[]































Заметим, что вариационный ряд является частным случаем статистического ряда.
Пример 1.7 Администрацией поликлиники были собраны данные о возрасте 250 наиболее нуждающихся в лечении пациентов. Результаты этого исследования представлены следующим статистическим рядом.

Таблица 1.6 – Данные исследования возраста пациентов

поликлиники

Возраст

в годах

10–20

20–30

30–40

40–50

50–60

60–70

70–80

80–90






17

24

35

48

57

42

21

6



0,068

0,096

0,140

0,192

0,228

0,168

0,084

0,024



Следующие суммы находятся для проверки вычислений:






Рассмотрим общую последовательность действий при построении статистического ряда.

Алгоритм построения статистического ряда

случайной выборки
1. Заранее определяется число интервалов k.
Число интервалов можно выбирать произвольно, оно не должно быть слишком большим и слишком малым. Можно воспользоваться известной оценочной формулой:

k ≈ 1 + 3,2 lgn,

где правая часть равенства округляется до ближайшего целого.
^ 2. Определяется длина интервала.

Для этого вычисляется число



при этом значение округляется так, чтобы получилось простое и удобное число.
^ 3. Определяется начало и конец всего интервала наблюдений, содержащего всю данную выборку.

Число а, обозначающее нижнюю границу, должно быть чуть меньше, чем наименьшее выборочное значение. Число b, обозначающее верхнюю границу, находится по формуле:

b = ∙ k ,

где – длина интервала, k – число всех интервалов.
^ 4. Находится частота каждого интервала, равная числу выборочных значений, принадлежащих этому интервалу.

При этом пограничные значения приписываются только одному интервалу. В результате получится k значений:

,,…,, причем .

^ 5. Вычисляются соответствующие относительные частоты:

, , … , .

Для проверки находится их сумма: .
^ 6. Полученные результаты заносятся в таблицу представляющую статистический ряд.
Пример 1.8 Составим статистический ряд по данным измерений высот 40 зданий города.

7,2

15,2

20,8

24,6

27,5

30,6

34,7

38,5




9,6

16,3

22,4

25,1

28,3

31,8

35,6

42,3

10,5

17,2

23,5

25,7

28,8

32,3

35,8

43,4

12,8

18,4

23,7

26,4

29,4

33,2

36,2

44,5

14,2

18,8

24,5

27,2

30,4

34,5

37,4

48,5


Будем строить статистический ряд для девяти интервалов: k = 9, n = 40.

Наименьшее выборочное значение равно 7,2 , наибольшее – 48,5. Определим длину каждого интервала. Найдем

=.

Округлив полученное число до ближайшего целого, будем считать, что длина интервала = 5.

В качестве нижней границы всех наблюдаемых значений выберем число 5. Тогда имеем следующие интервалы:

[5;10), [10;15), [15;20), [20;25), [25;30), [30;35), [35;40), [40;45), [45;50].

Теперь считаем частоту выборочных значений для каждого интервала:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Проверка подтверждает правильность равенства

.

Далее вычисляем относительные частоты:

; ; ; ;

; ; ; ; .

Суммирование относительных частот показывает, что равенство выполняется. Запишем статистический ряд.

Таблица 1.7 – Статистический ряд измерений высоты зданий

Высота зданий

5–10

10–15

15–20

20–25

25–30

30–35

35–40

40–45

45–50






2

3

5

6

8

7

5

3

1



0,050

0,075

0,125

0,150

0,200

0,175

0,125

0,075

0,025


Вместо короткого названия статистический ряд часто используются более точные по смыслу такие названия, как статистическое распределение выборки, или статистический закон распределения.

Напомним, что в теории вероятностей законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми её возможными значениями и их вероятностями. Статистическое распределение отличается от теоретического вероятностного распределения тем, что вероятность отдельных значений в математической статистике заменяется их относительной частотой.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Похожие рефераты:

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и...
Рабочая программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов
Факультет математический (название факультета) Кафедра экономической...
Учебная программа составлена на основе типовой программы «Теория вероятностей и математическая статистика» утвержденной Министерством...
Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Литература Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986
Ознакомление студентов с основными принципами теории вероятностей и примерами их приложений, дальнейшее формирование у студентов...
Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Сложение и умножение вероятностей
Занятие № «Основные аксиомы теории вероятностей. Вычисление вероятностей события»
Теория вероятностей и математическая статистика Цель дисциплины
Цель дисциплины изучение основ теории вероятностей, формирование у студентов знаний, умений и навыков построения и анализа математических...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика» по разделу теория вероятностей и математическая статистика,...
Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...
Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза