В. И. Харламова теория вероятностей и


НазваниеВ. И. Харламова теория вероятностей и
страница8/15
Дата публикации18.07.2013
Размер2.12 Mb.
ТипДокументы
referatdb.ru > Математика > Документы
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15

Таблица 2.6 – Статистический ряд измерений высоты зданий

Высота зданий

5–10

10–15

15–20

20–25

25–30

30–35

35–40

40–45

45–50






2

3

5

6

8

7

5

3

1



Объем всей выборки , поэтому = 20. Находим последовательно суммы частот:

2 + 3 + 5 + 6 = 16 < 20,

но 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 24 > 20.

Поэтому пятый интервал [25; 30) является медианным.

Вычислим медиану по указанной выше формуле:

Х.

Следовательно, Xмед = 27,5. Это значение показывает, что в исследуемой выборке половина зданий имеет высоту не более 27,5 метров.



Заметим, что медиана существует в любой статистической выборке. Следует подчеркнуть и такое полезное свойство медианы как её нечувствительность к месторасположению экстремальных значений в больших выборках. Наличие в выборке сильно отклоняющихся значений создает определенные проблемы при анализе, поэтому использование медианы позволяет в определенных случаях обойти некоторые трудности.

Известно, что существуют симметричные и асимметричные распределения случайных величин. В том случае, когда выборочные данные реализуют симметричное распределение, то значение медианы и моды практически совпадают. Для асимметричных распределений равенство не выполняется.

^ 2.2 Выборочное среднее
Теперь рассмотрим наиболее часто используемое понятие среднего, которое в отличие от моды и медианы объединяет все выборочные значения.
Определение 2.3 Средним арифметическим выборки x1, x2, …, xn значений случайной величины Х называется число , равное сумме всех выборочных значений, деленной на число всех наблюдений n:



Обычно среднее арифметическое называется выборочным средним или просто средним.

В случае, когда выборка совпадает со всей исследуемой генеральной совокупностью, то таким же образом вычисляется её генеральное среднее. В дальнейшем выборочное среднее всей генеральной совокупности значений случайной величины Х будем обозначать символами или и называть генеральным средним.

Пример 2.7 Студент Денисов по пяти предметам получил следующие экзаменационные оценки по десятибальной системе: 8, 9, 8, 7, 6. Вычислим среднее данных оценок:

.



Подчеркнем, что выборочное среднее не обязательно должно быть элементом самой выборки. В том случае, когда выборка представляется вариационным рядом, содержащим вариант x1, x2, …, xk с соответствующими частотами , то среднее вычисляется по следующей формуле:

,

или

, где .

Пример 2.8 Результаты экзамена по математике для группы студентов, состоящей из 25 человек, представлены следующим вариационным рядом:

Таблица 2.7 – Экзаменационные оценки группы студентов

Оценки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10






0

0

2

5

4

4

5

2

3

0

Найдем среднее:





Пример 2.9 Для вариационного ряда данных о посещаемости университетской библиотеки из примера 1.6., найдем среднее, моду и медиану:

^ Таблица 2.8 – Вариационный ряд данных посещаемости библиотеки

Число посещений

0 1 2 3 4 5






5 6 7 2 3 2

Вычислим среднее:

.

Очевидно, что мода данного ряда . Легко находится и медиана . Среднее меньше моды и медианы, равным 2. Равенство приводит к предположению о симметричности этого распределения.


В случае, когда выборка сгруппирована в виде статистического ряда, состоящего из k интервалов

, , …, , …, ,

то конкретные выборочные значения могут быть неизвестными, и рассмотренные выше формулы не пригодны для вычисления среднего. Поэтому для каждого интервала вычисляется его середина, или интервальное среднее по формуле:

.

При выполнении вычислений каждое выборочное значение, принадлежащее интервалу, заменяется интервальным средним.

Определение 2.4 Если – интервальные средние, а – соответствующие частоты всех интервалов статистического ряда, то выборочное среднее определяется формулой:

,

или

.

Пример 2.10 Найдем выборочное среднее возраста пациентов поликлиники по данным статистического ряда из примера 1.3.
Таблица 2.9 – Данные исследования возраста пациентов поликлиники

Возраст

10–20

15

20–30

25

30–40

35

40–50

45

50–60

55

60–70

65

70–80

75

80–90

85






17

24

35

48

57

42

21

6


Вычислим интервальные средние всех интервалов:





Найдем выборочное среднее:



Среднее характеризует средний возраст наиболее нуждающихся в лечении пациентов.



Пример 2.11 Найдем выборочное среднее для статистического ряда из примера 1.8. по данным о высоте зданий:

Таблица 2.10 – Данные исследования высоты зданий

Высота зданий

5–10

7,5

10–15

12,5

15–20

17,5

20–25

22,5

25–30

27,5

30–35

32,5

35–40

35,4

40–45

42,5

45–50

47,5






2

3

5

6

8

7

5

3

1


Объем исследуемой выборки . Вычислим интервальные средние:





Найдем выборочное среднее:


Итак, метров – это среднее высот зданий данной выборки.



Существуют различные приемы, облегчающие вычислительную работу при нахождении выборочного среднего.

Если выборка содержит большие числа или многократно повторяющиеся близкие значения, то статистические данные можно преобразовать с помощью следующего равенства:



где и – любые действительные числа, причем .

Число подбирается так, чтобы разности были бы наименьшими, число изменяет масштаб данных.

В результате преобразования данная выборка x1, x2, …, xn заменяется выборкой с такими же соответствующими частотами.

Выборочная средняя выражается через выборочную среднюю по формуле:

.

Правильный подбор значений и обычно облегчает нахождение среднего.

Отметим, что при вычислении выборочных числовых показателей удобно пользоваться определенными расчетными таблицами, в которые обычно записывают необходимые промежуточные результаты.

Пример 2.12 Найдем среднее возраста пациентов поликлиники по статистическому ряду из примера 1.3., используя преобразования выборочных данных.

^ Таблица 2.11 – Данные исследования возраста пациентов поликлиники

Возраст

10–20

15

20–30

25

30–40

35

40–50

45

50–60

55

60–70

65

70–80

75

80–90

85






17

24

35

48

57

42

21

6


Положим, что . Такой выбор обусловлен тем, что именно это значение имеет наибольшую частоту. В качестве выберем длину интервалов, то есть .

Запишем формулу преобразования выборки:



Все необходимые расчеты будем записывать в следующей таблице.

^ Таблица 2.12 – Вычисления среднего возраста пациентов поликлиники

Возраст

Х

Интервальное среднее

Частота













10 – 20

20 – 30

30 – 40

40 – 50

50 – 60

60 – 70

70 – 80

80 – 90

15

25

35

45

55

65

75

85

17

24

35

48

57

42

21

6

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-68

-72

-70

-48

0

42

42

18




















Найдем .

Выборочное среднее вычислим по следующей формуле:



Это значение совпадает с ранее найденным значением из примера 2.10.


1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15

Похожие рефераты:

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и...
Рабочая программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов
Факультет математический (название факультета) Кафедра экономической...
Учебная программа составлена на основе типовой программы «Теория вероятностей и математическая статистика» утвержденной Министерством...
Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Литература Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986
Ознакомление студентов с основными принципами теории вероятностей и примерами их приложений, дальнейшее формирование у студентов...
Текст лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку...
Сложение и умножение вероятностей
Занятие № «Основные аксиомы теории вероятностей. Вычисление вероятностей события»
Теория вероятностей и математическая статистика Цель дисциплины
Цель дисциплины изучение основ теории вероятностей, формирование у студентов знаний, умений и навыков построения и анализа математических...
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию...
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика» по разделу теория вероятностей и математическая статистика,...
Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...
Пособие №3 Теория вероятностей Основным понятием теории вероятностей...
Относительной частотой появления события называется отношение числа появления данного события к общему числу проведённых одинаковых...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза