В. И. Харламова теория вероятностей и

Таблица 2.6 – Статистический ряд измерений высоты зданий Высота зданий 5–10 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50 2 3 5 6 8 7 5 3 1 Объем всей выборки , поэтому = 20. Находим последовательно суммы частот: 2 + 3 + 5 + 6 = 16 < 20, но 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 24 > 20. Поэтому пятый интервал [25; 30) является медианным. Вычислим медиану по указанной выше формуле: Х. Следовательно, Xмед = 27,5. Это значение показывает, что в исследуемой выборке половина зданий имеет высоту не более 27,5 метров. ■ Заметим, что медиана существует в любой статистической выборке. Следует подчеркнуть и такое полезное свойство медианы как её нечувствительность к месторасположению экстремальных значений в больших выборках. Наличие в выборке сильно отклоняющихся значений создает определенные проблемы при анализе, поэтому использование медианы позволяет в определенных случаях обойти некоторые трудности. Известно, что существуют симметричные и асимметричные распределения случайных величин. В том случае, когда выборочные данные реализуют симметричное распределение, то значение медианы и моды практически совпадают. Для асимметричных распределений равенство не выполняется. ^ 2.2 Выборочное среднее Теперь рассмотрим наиболее часто используемое понятие среднего, которое в отличие от моды и медианы объединяет все выборочные значения. Определение 2.3 Средним арифметическим выборки x1, x2, …, xn значений случайной величины Х называется число , равное сумме всех выборочных значений, деленной на число всех наблюдений n: Обычно среднее арифметическое называется выборочным средним или просто средним. В случае, когда выборка совпадает со всей исследуемой генеральной совокупностью, то таким же образом вычисляется её генеральное среднее. В дальнейшем выборочное среднее всей генеральной совокупности значений случайной величины Х будем обозначать символами или и называть генеральным средним. Пример 2.7 Студент Денисов по пяти предметам получил следующие экзаменационные оценки по десятибальной системе: 8, 9, 8, 7, 6. Вычислим среднее данных оценок: . ■ Подчеркнем, что выборочное среднее не обязательно должно быть элементом самой выборки. В том случае, когда выборка представляется вариационным рядом, содержащим вариант x1, x2, …, xk с соответствующими частотами , то среднее вычисляется по следующей формуле: , или , где . Пример 2.8 Результаты экзамена по математике для группы студентов, состоящей из 25 человек, представлены следующим вариационным рядом: Таблица 2.7 – Экзаменационные оценки группы студентов Оценки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 2 5 4 4 5 2 3 0 Найдем среднее: ■ Пример 2.9 Для вариационного ряда данных о посещаемости университетской библиотеки из примера 1.6., найдем среднее, моду и медиану: ^ Таблица 2.8 – Вариационный ряд данных посещаемости библиотеки Число посещений 0 1 2 3 4 5 5 6 7 2 3 2 Вычислим среднее: . Очевидно, что мода данного ряда . Легко находится и медиана . Среднее меньше моды и медианы, равным 2. Равенство приводит к предположению о симметричности этого распределения. ■ В случае, когда выборка сгруппирована в виде статистического ряда, состоящего из k интервалов , , …, , …, , то конкретные выборочные значения могут быть неизвестными, и рассмотренные выше формулы не пригодны для вычисления среднего. Поэтому для каждого интервала вычисляется его середина, или интервальное среднее по формуле: . При выполнении вычислений каждое выборочное значение, принадлежащее интервалу, заменяется интервальным средним. Определение 2.4 Если – интервальные средние, а – соответствующие частоты всех интервалов статистического ряда, то выборочное среднее определяется формулой: , или . Пример 2.10 Найдем выборочное среднее возраста пациентов поликлиники по данным статистического ряда из примера 1.3. Таблица 2.9 – Данные исследования возраста пациентов поликлиники Возраст 10–20 15 20–30 25 30–40 35 40–50 45 50–60 55 60–70 65 70–80 75 80–90 85 17 24 35 48 57 42 21 6 Вычислим интервальные средние всех интервалов: Найдем выборочное среднее: Среднее характеризует средний возраст наиболее нуждающихся в лечении пациентов. ■ Пример 2.11 Найдем выборочное среднее для статистического ряда из примера 1.8. по данным о высоте зданий: Таблица 2.10 – Данные исследования высоты зданий Высота зданий 5–10 7,5 10–15 12,5 15–20 17,5 20–25 22,5 25–30 27,5 30–35 32,5 35–40 35,4 40–45 42,5 45–50 47,5 2 3 5 6 8 7 5 3 1 Объем исследуемой выборки . Вычислим интервальные средние: Найдем выборочное среднее: Итак, метров – это среднее высот зданий данной выборки. ■ Существуют различные приемы, облегчающие вычислительную работу при нахождении выборочного среднего. Если выборка содержит большие числа или многократно повторяющиеся близкие значения, то статистические данные можно преобразовать с помощью следующего равенства: где и – любые действительные числа, причем . Число подбирается так, чтобы разности были бы наименьшими, число изменяет масштаб данных. В результате преобразования данная выборка x1, x2, …, xn заменяется выборкой с такими же соответствующими частотами. Выборочная средняя выражается через выборочную среднюю по формуле: . Правильный подбор значений и обычно облегчает нахождение среднего. Отметим, что при вычислении выборочных числовых показателей удобно пользоваться определенными расчетными таблицами, в которые обычно записывают необходимые промежуточные результаты. Пример 2.12 Найдем среднее возраста пациентов поликлиники по статистическому ряду из примера 1.3., используя преобразования выборочных данных. ^ Таблица 2.11 – Данные исследования возраста пациентов поликлиники Возраст 10–20 15 20–30 25 30–40 35 40–50 45 50–60 55 60–70 65 70–80 75 80–90 85 17 24 35 48 57 42 21 6 Положим, что . Такой выбор обусловлен тем, что именно это значение имеет наибольшую частоту. В качестве выберем длину интервалов, то есть . Запишем формулу преобразования выборки: Все необходимые расчеты будем записывать в следующей таблице. ^ Таблица 2.12 – Вычисления среднего возраста пациентов поликлиники Возраст Х Интервальное среднее Частота 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 15 25 35 45 55 65 75 85 17 24 35 48 57 42 21 6 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -68 -72 -70 -48 0 42 42 18 Найдем . Выборочное среднее вычислим по следующей формуле: Это значение совпадает с ранее найденным значением из примера 2.10. ■

Похожие рефераты: