Методические указания к лабораторным работам для студентов специальности 1- 54 01 01- 04 “Метрология, стандартизация и сертификация (легкая промышленность)”


Скачать 464.03 Kb.
НазваниеМетодические указания к лабораторным работам для студентов специальности 1- 54 01 01- 04 “Метрология, стандартизация и сертификация (легкая промышленность)”
страница2/5
Дата публикации07.02.2014
Размер464.03 Kb.
ТипМетодические указания
referatdb.ru > Право > Методические указания
1   2   3   4   5

Математическое моделирование – моделирование, при котором реализуется математическое подобие. При этом математическое подобие рассматривается как подобие между величинами, входящими в математические выражения, описывающие моделируемый и моделирующий объекты. В зависимости от степени подобия различают полное, неполное и приближенное моделирование.


^ Функциональное моделирование - моделирование, при котором реализуется функциональное подобие, т.е. подобие между моделируемым объектом и моделью, рассматриваемое с точки зрения выполнения ими сходственных функций при соответствующих воздействиях.

Система – упорядоченная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, образующих единое функциональное целое, предназначенное для решения определенных задач (достижения определенных целей)

Число степеней свободы системы – число параметров, характеризующих систему как целое, изменение которых в определенных пределах не нарушает ее целостности.

^

Динамическая система – система с конечным числом степеней свободы.


Черный ящик – материальная система (объект, процесс, явление), структура и поведение которой неизвестно, но имеется способ влиять на систему в целом через ее входы и регистрировать ее реакции через выходы.

В процессе изучения такой системы исследователь и “черный ящик” образуют замкнутую систему с обратной связью.
^

Системный анализ – методология исследования любых объектов посредством представления их в качестве элементов некоторых систем и анализа этих систем.


Системный анализ применяется для:

  • выявления и четкого формулирования проблемы в условиях большой неопределенности;

  • выбора стратегии исследования и разработок;

  • точного определения систем (границ, входов, выходов, связей), выявления целей развития и функционирования системы;

  • выявления функций и состава вновь создаваемой системы.




  1. Общее формализованное представление объекта моделирования


Любую систему можно рассматривать в качестве “черного ящика”. Как следует из определения, по отношению к такой системе есть способ влиять на нее через входы и регистрировать реакции на выходе. При этом сигналы на входах и выходе системы будем ассоциировать соответственно с входными продуктами и выходным.

Формализованная схема любого технологического объекта будет иметь следующий вид:



На представленной схеме x1 x2 …xn – входные воздействия или факторы, Y – выходной параметр или отклик объекта (системы). Будем полагать, что любое значение выходного параметра обусловливается определенным сочетанием значений факторов и только им. Таким образом, мы постулируем существование функции вида

Y = f (x1, x2, …, xn) (1)
Эта функция и может рассматриваться как математическая модель системы.

В большинстве случаев применительно к реальным системам вид этой функции неизвестен, в связи с чем ставится и решается задача аппроксимации, т.е. приближенной замены приемлемой точностью функции (1) другими подходящими функциями, определить которые проще, чем установить истинный вид функции (1). В математическом анализе доказано, что широкий класс дифференцируемых гладких функций может быть представлен аппроксимациями полиномиального типа. Важно отметить, что в большинстве практических приложений степень полинома, аппроксимирующего данную функцию, не превышает двух. Аппроксимация функции (1)в форме полинома и будет математической моделью изучаемой системы.

Полиномиальная модель первого порядка представляет собой линейную комбинацию факторов из правой части (1), имеющую вид:

Y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + xn , (2)
где bi - некоторые постоянные коэффициенты, определяемые эмпирически, т.е. в экспериментах, организованных специальным образом. Однако линейные модели на практике встречаются относительно редко, т.к. большинство реальных искусственных систем и объектов обладают нелинейными свойствами. Для нелинейных систем, как известно, характерно то, что их реакции Y обусловлены не только входными воздействиями (факторами) xi, но и их внутренними свойствами. Этого как раз и не отражают линейные модели в форме (2). Поэтому при аппроксимации функции (1) используются полиномы второго порядка.

В общем случае полиномиальная модель второго порядка представляет собой линейную комбинацию трех компонент: суммы линейных эффектов типа bixi, суммы эффектов парного взаимодействия типа bijxixj и суммы квадратических эффектов типа biixi2. В частности, полиномиальная модель второго порядка для функции Y = f (x1, x2) будет иметь следующий вид:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x12 + b22x22 (3)
Это так называемая полная полиномиальная модель 2-го порядка относительно двух факторов. Модели такого типа в системном анализе особенно эффективны тогда, когда факторы xi отображают другие системы, связанные с исследуемой. Например, любая технологическая система включает в себя три подсистемы – сырье, оборудование, реализующее процесс получения конкретного продукта, и обслуживающий персонал, В качестве интегративной характеристики на практике используется величина отходов сырья, которые неизбежно возникают в процессе производства конкретного продукта. Обозначим их через Y. Тогда x1 можно интерпретировать как отходы, обусловленные качеством сырья, x2 - как отходы, обусловленные техническим состоянием применяемого оборудования, а x3 - как отходы, обусловленные уровнем квалификации обслуживающего персонала. В итоге получаем функцию типа (1):
Y = f (x1, x2, x 3)
Для случая трех факторов полная полиномиальная модель второго порядка будет иметь вид аналогичный (3), а именно:

Y=b0+b1x1+b2x2+bx3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b11x12+b22x22+b33x32 (3а)
Как показывает практика, зависимость отходов сырья от показателей его качества, характеристик применяемого оборудования и уровня квалификации обслуживающего персонала может быть аппроксимирована полиномом не ниже второго порядка, т.к. реальные технологические системы чаще всего нелинейные. И полиномиальная модель второго порядка способна отобразить эту, часто сложную, нелинейность.

Построение полиномиальной модели любого порядка сводится к определению ее коэффициентов bi, bij и bii. Полиномиальную модель 2-го порядка называют квадратичной формой или квадрикой. Вид поверхности, описываемой квадрикой, определяется чередованием знаков коэффициентов ее канонической (т.е. простейшей) формы. Это чередование знаков называется сигнатурой (от английского слова sign - знак). Каноническая форма квадрики имеет такой вид:
Y- Ys = B11X12 + B22X22 + … + BnnXn2 , (4)

где Ys – значение выходного параметра в геометрическом центре поверхности, описываемой каноническим уравнением в новой системе координат Xi, получаемой путем сдвига и поворота старой системы таким образом, чтобы из уравнения полиномиальной модели исчезли линейные эффекты и эффекты взаимодействия факторов. Сигнатура формы (4) определяет 17 поверхностей стандартного вида, из которых три: эллиптическая, гиперболическая и параболическая представлены графически и аналитически в табл. 1.

Особый интерес представляет случай гиперболических форм. Если поверхность описывается моделью гиперболического типа, то при определенной сигнатуре она может быть разрывной в случае двухполостного гиперболоида. Это создает условия для скачкообразных переходов системы из одних состояний в другие. Эта гиперболическая форма – убедительное свидетельство того, что реакции нелинейной системы обусловлены не только входными воздействиями, но и внутренними особенностями самой системы.

Обнаружение способности системы к скачкообразным изменениям своего состояния вынуждает по иному оценивать управляемость системы. Это обусловлено тем, что по мере приближения значений факторов к тем уровням, при которых может произойти скачок, управляемость системы снижается, и в момент совершения скачка система становится полностью неуправляемой. Потому для систем, моделируемых полиномами, соответствующими двухполостному гиперболоиду, важно осуществлять слежение за значениями факторов xi с целью недопущения (предотвращения) скачкообразных изменений, если они нежелательны или опасны для системы.

Рассмотрим последовательность проведения канонического анализа полиномиальной модели второго порядка на конкретном примере.

Таблица 1

Поверхности стандартного вида, описываемые трехфакторными

полиномиальными моделями второго порядка


Схематическое изобра-

жение поверхности

Название поверхности

Каноническое урав-

нение поверхности




Эллипсоид (в том числе

сфера и эллипсоид вращения)







Однополостный гиперболоид









Двуполостный гиперболоид




Или







Эллиптический параболоид







  1. ^ Пример канонического анализа трехфакторной полиномиальной

модели второго порядка
При исследовании воздухопроницаемости текстильного материала рассматривалась задача, связанная с оценкой его фильтрующей способности в газовых средах. В качестве математической модели исследуемого материала как системы использовалась функция:

W = f (M, δ, ∆P) (5)
Для проведения необходимых экспериментов устанавливались верхняя (+) и

нижняя (-) границы интервалов возможных значений факторов: M+, M- для поверхностной плотности материала, г/м2 ; δ +, δ - для объемной плотности; г/см3 ; ∆P +, ∆P - для разности давлений на обеих сторонах пробы материала Н/м2 . Адекватная полиномиальная модель в форме полинома второго порядка была получена относительно так называемых кодированных значений факторов, получаемых по следующим формулам кодирования:

x1=(M–M0)/0.5(M+−M); x2=(δ– δ 0)/0.5(δ+− δ);

x3=(∆P– ∆P0)/0.5(∆P+ −∆P), (6)
где M0, δ 0, ∆P0 – средние уровни (значения) соответствующих факторов.

Как следует из формул кодирования, кодированные значения факторов x1, x2,

x3 безразмерны и принадлежат отрезку [− 1, 1].

По отношению к кодированным значениям факторов x1, x2, x3 была получена полиномиальная модель второго порядка в виде:
Y=353−145,1x1–192,8x2+133,7x3+6x1x2−41.1x1x3−52,3x2x3+41,8x12+

+51,4x22−2,7x32. (7)
Этот полином был преобразован к каноническому виду следующим образом.

Сначала были определены координаты центра поверхности, описываемой каноническим уравнением. С этой целью отыскивались частные производные ∂Y/ ∂x1, ∂Y/∂x2 , ∂Y/∂x3 и приравнивались к нулю:
∂Y/∂x1 = −145,1+83,6x1+6x2−41.1x3 = 0;

∂Y/∂x2 = −192,8+6,0 x1+102,8x2−52,3x3 = 0;

∂Y/∂x3 = 133,7− 41,1x1−52,3x2−5,4x3 = 0; (8)
Решение этой системы: x1S = 1,37; x2S = 1,53; x3S = − 0,55. В то же время эти величины являются координатами нового центра поверхности, описываемой каноническим уравнением в форме (4). Подставив значения x1S =1,37; x2S = 1,53; x3S = −0,52 в уравнение (7), получим значение выходного параметра в новом центре, равное YS =73,0. После сдвига начала системы координат x1x2x3 в точку S – новый центр, в уравнении (7) исчезают линейные члены. Таким образом, новое уравнение поверхности примет вид:
Y=73,0+6x1x2−41,1x1x3−52,3x2x3+41,8x12+51,4x22−2,7x32. (9)
Каноническое уравнение этой модели получаем из уравнения (4) при n=3:
Y- YS = B11X12 + B22X22 + B33X32 . (10)
Для определения коэффициентов B11,B22,B33 строим характеристическое уравнение в виде определителя 3-го порядка. Оно имеет вид:
│ (b11− B) 0,5b12 0,5b13

F(B)= │ 0,5 b12 (b22− B) 0,5b23 │ = 0. (11)

│ 0,5b13 0,5b23 (b33− B) │
Раскрыв этот определитель, получаем кубическое уравнение вида:

B3 + αB2 + βB + γ + 0. (12)
Три его корня и являются коэффициентами B11, B22 и B33. В развернутом виде уравнение (11) будет таким:
B3 − 90,5B2 + 784B + 47091 = 0. (13)
Корни этого уравнения: 39,6=B11; 69,4=B22; − 17,6=B33 . Каноническое уравнение (10) примет вид:
Y−73 = 39,6X12 + 69,4X22 − 17,6X32 . (14)

Вид поверхности представлен на рис. 1. Как видно на этом рисунке, по условиям эксперимента Ymin = 100. Следовательно, левая часть (10) величина поло-

жительная при любых значениях Х.

Построим каноническое уравнение

модели (14) при Ymin = 100. Подставив

это значение в (14), получим:

100−73=39,6X12+69,4X22 −17,6X32 .
Разделив правую часть на левую, рав-

ную 17, получим каноническую форму

модели (14):

X12/0,43 + X22/0,24 − X32 = 1
Сигнатура этого уравнения + + − (два

Рис. 1. плюса и один минус) с положительной

правой частью. Она совпадает с сигнатурой уравнения, которое описывает поверхность во второй строке табл. 1, являющуюся однополостным гиперболоидом. Таким образом, поверхности равных значений выходного параметра имеют вид однополостных гиперболоидов, вытянутых вдоль оси X3, т.к. коэффициент B33 наименьший среди коэффициентов канонического уравнения (10).

Важно отметить, что однополостные гиперболоиды – поверхности, не имеющие разрывов. Это означает, что из любой точки этой поверхности можно перейти в любую другую точку, не совершая скачков. Следовательно, ни при каких сочетаниях поверхностной плотности материала, плотности вещества, из которого он состоит, и перепаде давления воздушного потока по обеим сторонам материала не может возникнуть резкое (близкое к скачкообразному) изменение воздухопроницаемости. Такой вывод может рассматриваться как аргумент в отношении надежности данного материала в процессе эксплуатации (например, в качестве фильтров в ответственных узлах машин или приборов).



  1. ^ Пример канонического анализа двухфакторной полиномиальной

модели второго порядка
Зафиксируем в модели (5) фактор x3 - разность давлений ∆P на обеих сторона испытываемой пробы материала на уровне ∆P0. (По существующим стандартным методикам испытания на воздухопроницаемость как раз и проводятся при постоянном ∆P0 = 5 мм вод. ст.). Это будет соответствовать моделированию функции W = f(M, δ) при ∆P = ∆P0. В таком случае из формул кодировании (8) следует, что x3=(∆P– ∆P0)/(0.5(∆P+ −∆P)) = 0. Тогда полиномиальную модель для функции W = f (M, δ) при ∆P=∆P0 легко получить из (7), подставив в нее значение x3=0. В итоге, в качестве модели функции W = f(M, δ) при ∆P = ∆P0 получим:

Y=353−145,1x1–192,8x2+6x1x2+41,8x12+51,4x22 (15)
Система (8) для определения координат нового центра станет системой всего двух уравнений вида:

∂Y/∂x1= −145,1+83,6x1+6x2 = 0;

∂Y/∂X2=–192,8+6x1+102,8x2 = 0. (16)
Решение этой системы x1S = 1,61; x2S = 1,78;

Подставим найденные значения координат нового центра в уравнение (15) и получим значение параметра оптимизации в этой точке S: YS = 64,8. Уравнение модели примет вид:
Y=67,8+6x1x2+41,8x12+51,4x22 (17)
В этом уравнении остались коэффициенты b12=6, b11= 41,8, b22= 51,4. Для построения канонического уравнения раскрываем определитель:
│(b11−B) 0,5 b12

│ 0,5 b1 (b22−B)│
Или: (b11−B) (b22−B) − 0,5 b12 0,5 b12 . После перемножения получим:

b11b22 − b11B − b22B + B2 − 0,25b12 = 0. Перегруппируем слагаемые:

B2 − (b11+ b22)B + (b11b22−0,25b12 = 0. Подставляя в последнее уравнение численные значения коэффициентов b11,b22 и b12 , получим характеристическое уравнение в виде:

B2 − 93,2 B + 2147,0 = 0
Корни его B1 = 51.4 и B2 = 41,8 будут коэффициентами канонического уравнения исходной полиномиальной модели (15):
Y−64,8 = 51,4X12 + 41,8X22 (18)
Сигнатура этой формы соответствует первой строке табл. 1. Это означает, что линии равных значений выходного параметра представляют собой семейство эллипсов с центром в точке с координатами x1S = 1,61; x2S = 1,78. Этот вывод полностью соответствует результатам канонического анализа трехфакторной полиномиальной модели (7). На рис. 1 также хорошо видно, что в системе координат x2, x3 (т. е. в направлении перпендикулярном оси x3) сечения поверх-ности, описываемой уравнением (14), являются эллипсами, в то время как в системах x1, x2 и x1, x3 сечения являются гиперболами.

Состав лабораторной работы


  1. Изучить основные понятия: система, динамическая система, моделирова-ние, полиномиальная модель, каноническая форма полиномиальной модели и уяснить их информационное содержание.

  2. Изучить полиномиальные модели первого и второго порядков, выяснить различия между ними, установить информационное содержание линейных эффектов, эффектов взаимодействия факторов и квадратических эффектов.

  3. Изучить на примерах, приведенных в данных методических указаниях, технику использования полиномиальных моделей в системном анализе.

  4. Выбрать из таблицы 2 индивидуальный вариант двухфакторной полиномиальной модели второго порядка, провести ее канонический анализ и сделать заключение о возможности скачкообразных изменений состояния описываемой ею системы.



Таблица 2

Коэффициенты двухфакторной полиномиальной модели второго порядка


Номер

Варианта

b0

b1

b2

b12

b11

b22

1

300

−140

− 210

5

38

54

2

380

−120

− 190

7

43

51

3

340

−150

− 205

6

38

49

4

360

−135

− 187

8

45

57

5

350

−147

− 195

5

30

52

6

360

−142

− 197

7

42

48

7

345

−139

− 200

5

39

54

8

350

−140

− 195

6

41

56

9

347

−147

− 192

5

38

54

10

360

−141

− 210

7

43

54
1   2   3   4   5

Похожие рефераты:

Методические указания для студентов направления специальности 1-54...
Методические указания предназначены для студентов направления специальности 1-54 01 01-04 «Метрология, стандартизация и сертификация...
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Сертификация»
«Сертификация» для студентов специальности 5В073200 Стандартизация, метрология и сертификация
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Сертификация»
«Сертификация» для студентов специальности 050732 Стандартизация, метрология и сертификация
Управления качеством
Методические указания предназначены для студентов специальности 1-54 01 01-04 «Метрология, стандартизация и сертификация (лёгкая...
Конспект лекций для студентов специальности 1-54 01 01-04 «Метрология,...
Конспект лекций предназначен для студентов специальности 1-54 01 01-04 «Метрология, стандартизация и сертификация (лёгкая промышленность)»...
Методические указания к курсовому проектированию для студентов специальности...
Методические указания предназначены помочь студентам в расчетах, проектировании и оформлении курсовой работы по прикладной механике....
Методические указания к контрольной работе по дисциплине «Стандартизация,...
...
Курсовой проект по дисциплине «Детали машин и подъемно-транспортные средства (детали машин)»
Федосеев, Г. Н. Прикладная механика : методические указания к курсовому проектированию для студентов специальности 1-540101-04 «Метрология,...
Курсовой проект по дисциплине «Детали машин и подъемно-транспортные средства (детали машин)»
Федосеев, Г. Н. Прикладная механика : методические указания к курсовому проектированию для студентов специальности 1-540101-04 «Метрология,...
Контрольные вопросы по темам курса и контрольные задания
Экономика предприятия отрасли: практикум для студентов специальности 1 54 01 01 – 04 “Метрология, стандартизация и сертификация (легкая...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
referatdb.ru
referatdb.ru
Рефераты ДатаБаза