Рекомендации по проведению II (районного, городского) этапа республиканской олимпиады школьников по математике в 2005/2006 учебном году

Задачи для проведения районной (городской) олимпиады по математике представлены шестью «пакетами»:

• 
  VII класс – для учащихся седьмого класса общеобразовательной средней школы с 12-летним сроком обучения,
  
• 
  VIII класс - для учащихся восьмого класса общеобразовательной средней школы с 12-летним сроком обучения,
  
• 
  8 (IХ) класс - для учащихся восьмого класса общеобразовательной средней школы с 11-летним сроком обучения и учащихся девятого-штрих класса общеобразовательной средней школы с 12-летним сроком обучения,
  
• 
  9 класс - для учащихся девятого класса общеобразовательной средней школы с 11-летним сроком обучения,
  
• 
  10 класс - для учащихся десятого класса общеобразовательной средней школы с 11-летним сроком обучения,
  
• 
  11 класс - для учащихся одиннадцатого класса общеобразовательной средней школы с 11-летним сроком обучения.
  

1. 
   Две лошади начали пить воду из одного бака, до верху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды?
   

2. 
   Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство
   

3. 
   Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?
   

4. 
   Огород квадратной формы 5 м  5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.
   

5. 
   Каждый из трех мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. На вопрос «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Какой ответ дал третий мальчик. Ответ объясните.
   

1. 
   Натуральные числа А и В таковы, что их наименьшее общее кратное в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что А=8В или В=8А.
   

2. 
   Компания ОГОГО обещает на каждый вложенный рубль через 10 лет выплатить 20052005200520062006 рублей, а компания ОХОХО – 20062006200620052005 рублей. В какую компанию выгоднее вложить деньги?
   

3. 
   Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общую массу любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общую массу всех арбузов?
   

4. 
   Пять прямых на рисунке пересекаются в одной точке. Известно, что 1=50°, 2=3=20°, 4 вдвое больше 5. Найдите величину угла 5.
   

5. 
   В ящике у Карлсона лежат шоколадные конфеты трех сортов: с ромом, с орехами и с мармеладом. Карлсон утверждает, что, какие бы сто конфет ни вынуть из ящика, среди них обязательно окажется и конфета с ромом, и конфета с орехами. Какое наибольшее число конфет может быть у Карлсона в ящике?
   

1. 
   Коля написал на доске несколько целых чисел, Саша записала под каждым Колиным числом его квадрат, а Лена сложила все написанные на доске числа и получила 2005. Докажите, что кто–то из девочек ошибся.
   

2. 
   Имеются 11 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общую массу любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общую массу всех арбузов?
   

3. 
   Решите арифметический ребус
   

4. 
   Докажите, что треугольник, у которого две медианы равны и пересекаются под прямым углом, является равнобедренным.
   

5. 
   В городе Глупове каждый житель – полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры – полицейским, обыватели – ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят друг другу правду. Однажды несколько глуповцев разговаривали, стоя по кругу, и каждый сказал своему соседу: «Я – полицейский». Сколько обывателей было среди этих жителей города?
   

1. 
   Имеется линейка без делений длины 13 см. Сколько промежуточных делений и как нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было измерить расстояния от 1 см, 2 см, …, 13 см? Какое число делений наименьшее?
   

2. 
   Пусть , причем , , . Найдите значение выражения .
   

3. 
   Сколько корней имеет квадратное уравнение x²+px+q=0, если известно, что p–q>1?
   

4. 
   Диагонали выпуклого четырехугольника АВСD пересекаются в точке О. Точка М на отрезке АО и точка Р на отрезке DО таковы, что ВМСD и СРАВ. Докажите, что МРАD.
   

5. 
   Найдите углы равнобедренного треугольника АВС, если известно, что сумма углов АВВ₁ и ВАА₁ равна 60, где А₁ и В₁ – середины сторон ВС и АС соответственно.
   

1. 
   Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так, что каждая точка его стебля поднимается вверх с одной и той же скоростью. На это улитка затратила 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно 1 час, улитка за 8 часов спустилась на землю. Определите, во сколько раз скорость улитки больше скорости бамбука, если обе скорости постоянны.
   

2. 
   В некоторой компании 100 акционеров, причем любые 66 из них владеют не менее чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть акционер?
   

3. 
   Пусть xyz=1 и , , . Докажите, что если abc – целое число, то и a²+b²+c² является целым числом.
   

4. 
   Решите уравнение ( – целая часть ).
   

5. 
   На стороне ^ ВС квадрата ABCЕ выбрана отличная от вершины точка М и через нее проведена прямая, которая пересекает диагональ АС и прямую АВ в точках Т и Р соответственно. Известно, что МТ=ЕТ. Найдите величину угла MPЕ.
   

1. 
   Футбольные матчи между командами «Зубило», «Дробило», «Молотило» оказались результативными. Команда «Зубило» в сумме забила 60 голов, «Дробило» пропустила 80, «Молотило» забила столько же, сколько пропустила. Докажите, что в матче «Дробило»-«Молотило» было забито не менее 40 голов.
   

2. 
   Известно, что многочлен
   

3. 
   Функция f(x) определена для всех действительных х, и для всех значений х верны неравенства:
   

4. 
   Цилиндр и конус имеют общее основание и пересекаются. Найдите объем их общей части, если объем каждого тела равен 27.
   

5. 
   Есть лампочка и 10 пронумерованных кнопок. Известно, что ровно пять из этих кнопок действующие. За одну попытку разрешается одновременно нажать любые три кнопки. Если хотя бы одна из нажимаемых кнопок действующая, то лампочка загорается. Как при помощи не более 9 проверок выяснить, является ли кнопка № 1 действующей?
   

1. 
   Ответ: лошади выпили равное количество воды.
   

2. 
   Ответ: 1111+888+6=2005.
   

3. 
   Ответ: 8 внуков.
   

4. 
   Ответ: хватит.
   

5. 
   ^ Ответ: «Нет».
   

1. 
   Доказательство: Пусть НОД(А, В)=d, А=аd, В=bd. Тогда НОД(a, b)=1, а НОК(a, b)=аbd. По условию задачи аbd=8d, т.е. аb=8. Поскольку а и b взаимно простые, то одно из чисел а или b равно 1, а другое – 8. В первом случае А=d, В=8d, т.е. В=8А, во втором – А=8d, В=d, А=8В.
   

2. 
   Ответ: Выгода одинаковая.
   

3. 
   Решение. Пронумеруем каждый из арбузов: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №7, №8, №9 и №10. Тогда взвешивания можно проводить в таком порядке:
   

4. 
   Ответ: 30°.
   

5. 
   ^ Ответ: 197 конфет.
   

1. 
   Доказательство: Пусть Коля записал на доске числа х₁, х₂, …, х_п, тогда Саша должна была записать числа , Лена – составить сумму , т.е.
   

2. 
   Решение. Пронумеруем каждый из арбузов: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №7, №8, №9, №10 и №11. Тогда взвешивания можно проводить в таком порядке:
   

3. 
   Ответ: .
   

Доказательство: Рассмотрим треугольник АВС, АМ и ВК – медианы
С К М О А В Е	треугольника, которые перечекаются в точке О; причем АМ=ВК, АМВК. Поскольку медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то АО=АМ, ВО=ВК, а, следовательно, ^ АО=ВО. Значит, треугольник АОВ – прямоугольный,

5. 
   Ответ: ни одного.
   

1. 
   Ответ: достаточно нанести 4 деления: 1 см, 6 см, 9 см, 11 см.
   

2. 
   Ответ: –1.
   

3. 
   Ответ: два корня.
   

4. 
   Указание. В силу подобия треугольников ОВМ и ОDС и треугольников ОАВ и ОСР, получаем пропорции:
   

5. 
   Ответ: все углы по 60.
   

В С1 М А С А1 В1

С В1 А1 М А В С1

1. 
   ^ Ответ: в 9 раз.
   

2. 
   ^ Ответ: 25%.
   

3. 
   Доказательство. Составим разность
   

4. 
   Ответ: .
   

5. 
   Ответ:45°.
   

Решение. Поскольку диагональ АС является серединным перпендикуляром к диагонали ВЕ, то ВТ=ТЕ. Тогда из равенства МТ=ЕТ следует ВТ=МТ. Значит, треугольник ВТМ – равнобедренный. Так как РВТ=АВС–МВТ=90°–МВТ и ВРТ=90°–МВТ, то РВТ=ВРТ.
В М С Т А Е Р	Значит, треугольник РВТ – равнобедренный. Поскольку ВТ=МТ=РТ=ЕТ, то точки В, М, Р, Е лежат на окружности с центром в точке Т. А так как углы МРЕ и МВЕ опираются на одну и ту же дугу окружности, то они равны и МВЕ=МРЕ=45°.

1. 
   Доказательство. Составим турнирную таблицу игр команд «Зубило», «Дробило», «Молотило» между собой:
   

2. 
   Ответ: да.
   

3. 
   Доказательство. Из первого условия следует, что
   

4. 
   Ответ: 19.
   

5. 
   Решение. Для удобства раскрасим кнопки № 2, № 3, № 4, № 5, № 6, № 7, № 8, № 9 и № 10 в три цвета; например, № 2, № 3, № 4 – красные, № 5, № 6, № 7 – синие, № 8, № 9 и № 10 – зеленые. Тогда в группе одного цвета ровно различные три пары кнопок, всего – 9 пар. Тогда можно выполнить ровно 9 проверок, нажимая одну цветную пару и кнопку № 1. По результатам этих проверок выяснится, является ли кнопка № 1 действующей. Действительно, поскольку имеется ровно 5 действующих кнопок, то по принципу Дирихле найдутся две недействующие кнопки одного цвета. Следовательно, если хотя бы один раз лампочка не загорится, то кнопка № 1 недействующая. Если же кнопка № 1 действующая, то лампочка будет загораться во всех 9 проверках.